संख्या खेलों का उपयोग : संख्याओं की समझ विकसित करना

यह इकाई किस बारे में है

‘संख्या समझ’ एक ऐसा शब्द है जिसका उपयोग अक्सर किया जाता है, लेकिन इसको परिभाषित करना बहुत कठिन है। आमतौर पर इसका मतलब विद्यार्थियों द्वारा संख्याओं का लचीले ढंग से और प्रवाहपूर्ण तरीके से उपयोग करने की योग्यता होता है। संख्या समझ के अंतर्गत संख्याओं को अर्थ दिया जाता है – जिसका मतलब यह जानना है कि वे एक दूसरे के साथ किस प्रकार संबंधित हैं और उनके आपेक्षिक परिमाण क्या हैं। यह संख्याओं पर गणितीय संक्रियाओं के प्रभाव पर भी आधारित है, जैसे कि क्या किसी अन्य संख्या द्वारा दी गई संख्या का गुणन करने पर संख्या अधिक बड़ी या छोटी हो जाती है। संख्यात्मक पहलुओं को समझने के लिए संख्या समझ का होना बहुत महत्वपूर्ण है।

संख्या समझ को सीखना और उसमें सुधार करना एक जीवन भर की गतिविधि है जिसका प्रारंभ बचपन से ही हो जाता है। विद्यालय में संख्याओं के बारे में और जानना और उनके साथ खेलना सिखाया जाना चाहिए और संख्याओं के स्वरूप और उनके बीच के संबंधों के बारे में सोचने के लिए प्रोत्साहित किया जाना चाहिए। अक्सर विद्यालय में पढ़ाए जाने वाले गणित में संख्याओं के साथ खेलने और उनका आनंद लेने जैसी चीज़ें नहीं होती हैं। इस इकाई का उद्देश्य उन गतिविधियों के रूप में संख्या खेलों की पहचान और उनका उपयोग करने के लिए विचार प्रदान करना है, जो विद्यार्थियों में संख्या समझ विकसित करने के लिए बेहतरीन शिक्षण पद्धति प्रदान करते हैं।

आप इस इकाई में क्या सीख सकते हैं

• संख्या के बारे में अपने विद्यार्थियों की समझ विकसित और मज़बूत करने के लिए कुछ विचार।
• जुड़ाव, सहभागिता और गणितीय तर्क को प्रोत्साहित करने के लिए किस प्रकार गणित के खेलों का शिक्षण रणनीति के रूप में उपयोग करें।

यह अंक NCF (2005) और NCFTE (2009) की निम्न शिक्षण आवश्यकताओं से संबंधित है तथा संसाधन 1 में रेखांकित आवश्यकताओं को पूरा करने में आपकी मदद करेगा।

1 संख्या समझ विकसित करने के लिए खेल का उपयोग करना

विचार के लिए रुकें अपने बचपन के बारे में सोचें। क्या आपने संख्याओं के बारे में विद्यालय से बाहर कुछ भी सीखा था? उदाहरण के लिए, हो सकता है कि आपने विद्यालय जाने से पहले गणना करना सीख लिया हो, या आपको पैसे, आयु या चीज़ों को समान रूप से बाँटने की समझ आ गई हो। आपने ये सब कैसे सीखा?

बच्चे बहुत कम उम्र से खेलना शुरू कर देते हैं। सामान्य रूप से यह माना जाता है कि खेलने से सामाजिक व्यवहार, तार्किक तथा रणनीतिक सोच, कभी-कभी प्रतिस्पर्धात्मकता या कभी टीमवर्क और एकजुटता जैसी चीज़ें विकसित होती हैं।

खेलना आपको रोमांच, हर्ष, निराशा और आनंद जैसे अनुभव प्रदान करता है। शोध बताते हैं कि गणित सिखाने में खेल का उपयोग करने से गणित के प्रति बेहतर रवैया पैदा होता है, उन्नत प्रेरणा मिलती है और विद्यार्थियों की समस्या निवारण योग्यताओं के विकास में सहायता मिलती है (अर्नेस्ट, 1986; सुलिवान और अन्य, 2009; ब्रैग, 2012)। ऐसा तर्क दिया जाता है कि गणितीय खेल खेलते समय होने वाली गणितीय चर्चाएँ गणितीय समझ को विकसित करती हैं (स्केम्प, 1993)।

इस इकाई में विद्यार्थियों की संख्या समझ को विकसित करने के लिए कुछ पहले ही आज़माए जा चुके खेलों के उदाहरण दिए गए हैं। इस इकाई में विद्यार्थियों द्वारा अच्छे संख्या खेलों को खोजने और खेलों द्वारा प्रस्तावित शिक्षण अवसरों की पहचान करने पर भी चर्चा होगी।

यहाँ पहली गतिविधि उस खेल का उदाहरण है, जो संख्या संबंधों की समझ विकसित करती है। इसमें ऐसे गणितीय साधन का उपयोग किया जाता है जिनके बारे में विद्यार्थी पहले से अवगत हैं: ‘सौ वर्ग’। पुस्तकों में और इंटरनेट पर ऐसे कई खेल नि:शुल्क उपलब्ध हैं। इस इकाई की गतिविधियाँ NRICH नामक एक नि:शुल्क गणितीय संसाधन वेबसाइट से ली गई हैं, जो कि कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय (यूके) की मिलेनियम गणितीय परियोजना का एक भाग है।

इस अंक में अपने विद्यार्थियों के साथ गतिविधियों के उपयोग का प्रयास करने से पहले अच्छा होगा कि आप सभी गतिविधियों को पूरी तरह या आंशिक रूप से स्वयं करके देखें। यह और भी बेहतर होगा अगर आप अपने किसी सहकर्मी के साथ मिलकर इसे करने का प्रयास करें क्योंकि स्वयं के अनुभव के आधार पर सिखाना आसान होगा। स्वयं प्रयास करने से आपको किसी शिक्षा ग्रहण करने वाले व्यक्ति के अनुभव का ज्ञान होगा, जो आपके शिक्षण और एक शिक्षक के रूप में आपके अनुभवों को प्रभावित करेगा।

गतिविधि 1: आपको क्या चाहिए?

इस गतिविधि के लिए, विद्यार्थी जोड़ियों या छोटे-छोटे समूहों में कार्य करते हैं। आप गतिविधि के लिए स्वयं को तैयार करने के लिए संसाधन 2, ‘समूहकार्य प्रबंधन’ का उपयोग कर सकते हैं।

विद्यार्थियों को सौ वर्ग (चित्र 1) का प्रिंटआउट या उसकी एक प्रति दें, अथवा उनके पुस्तकों में पहले से दी गई प्रति का उपयोग करने के लिए कहें। सुनिश्चित करें कि उन्हें सभी सौ वर्ग दिखाई दें। उन्हें इस बारे में न बताएँ कि वे इस टास्क को कैसे करेंगे बल्कि उन्हें स्वयं इसका पता लगाने दें ताकि उन्हें इनकी रणनीतियों के बारे में सोचना पड़ें, जो कि बहुत महत्वपूर्ण है। इसके कारण संस्पेंस भी बना रहता है।

चित्र 1 एक सौ वर्ग।

भाग 1: यह निर्णय लेना कि आपको क्या जानना चाहिए

निम्नलिखित को ब्लैकबोर्ड पर लिखें:

आठ संकेत

• संख्या 9 से बड़ी है।
• संख्या 10 का गुणज नहीं है।

• संख्या 7 का गुणज है।

• यह एक विषम संख्या है।
• संख्या 11 का गुणज नहीं है।
• संख्या 200 से कम है।
• इसका इकाई अंक इसके दहाई अंक से बड़ा है।
• इसका दहाई अंक एक विषम संख्या है।

विद्यार्थियों को नीचे दी गई बातें कहें:

मेरे मन में एक संख्या है जो कि एक सौ वर्ग पर है लेकिन मैं आपको यह नहीं बताने वाला कि वह क्या है। हालाँकि, आप मुझसे ब्लैकबोर्ड पर लिखे आठ में से चार संकेत पूछ सकते हैं और मैं उसका हाँ या नहीं में जवाब दूँगा।

इसके अलावा एक और चीज़ है जो मैं आपको बताना चाहता हूँ: दिए गए संकेतों में से चार सही हैं लेकिन उनसे संख्या को ढूँढने में कोई मदद नहीं मिलेगी। उनका पता लगाने के लिए चार संकेतों को ढूँढना आवश्यक है।

क्या आप अपने समूह में उस संख्या को ढूँढ सकते हैं जिसके बारे में मैं सोच रहा हूँ और यह पता लगा सकते हैं कि किन चार संकेतों से आपको मदद मिलेगी और किन चार से नहीं? आपको अपने सौ वर्ग में से चुनी गई संख्या को ढूँढने के लिए किस चीज़ की जानकारी होनी चाहिए?

भाग 2: संख्या क्या है?

यह भाग गतिविधि भाग 1 में विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए अनुमान की परीक्षा लेने के लिए बनाया गया है।

• विद्यार्थियों से कहें कि: ‘मैं किसी संख्या के बारे में सोच रहा हूँ – अपने समूहों में रहकर, वे चार संकेत तय करें और मुझसे पूछें कि मैं किस संख्या के बारे में सोच रहा हूँ।’
• कुछ मिनट बाद एक अन्य समूह से उनके द्वारा सोचे गए संकेतों के बारे में पूछें और उन्हें इसे आज़माने दें। भले यह काम करे या न करे, लेकिन उनसे इन चार संकेतों को चुनने का कारण पूछें। यह पूछें कि क्या किसी समूह ने उनसे अलग चार संकेतों का चुनाव किया है और फिर उन संकेतों को आज़माएँ। संकेत सही होने पर रुक जाएँ और अपने द्वारा चुनी गई संख्या का पता लगाएँ।
• यही प्रक्रिया कई अलग संख्याओं के लिए दोहराएँ, या विद्यार्थियों से कहें कि वे अब आपकी भूमिका निभाएँ और कोई संख्या सोचें।
• उसके बाद इस बात पर चर्चा करें कि संख्या को ढूँढने के लिए किन चार संकेतों की आवश्यकता नहीं है। सर्वश्रेष्ठ संकेत क्या हो सकते हैं, और क्यों?

(स्रोत: NRICH से रूपांतरित, http://nrich.maths.org/ 5950.)

वीडियो: स्थानीय संसाधनों का उपयोग करते हुए

विचार के लिए रुकें निम्न चिंतन को बढ़ावा देने वाले अच्छे प्रश्न हैं: आपकी कक्षा में इसका प्रदर्शन कैसा रहा? अपने विद्यार्थियों की समझ का पता लगाने के लिए आपने क्या प्रश्न पूछे? विद्यार्थियों को अपने गणितीय विचार का प्रदर्शन करने के लिए सक्षम बनाने में कौन-कौन से प्रश्न सबसे सफल रहे? क्या आपके सभी विद्यार्थियों ने भाग लिया? क्या किसी भी समय आपको ऐसा लगा कि हस्तक्षेप करना चाहिए? क्या आपने कार्य में किसी भी तरीके का संशोधन किया? अगर हाँ, तो ऐसा करने का आपका क्या कारण था?

2 गणितीय शिक्षण के लिए अच्छे खेलों के आवश्यक गुण

पुस्तकों में और इंटरनेट पर कई सारे संख्या खेल उपलब्ध हैं, लेकिन क्या वे सभी गणित सीखने के लिए अच्छे तथा प्रभावी हैं? कक्षा में उपयोग किए जाने के लिए कौन से खेल अच्छा गणितीय शिक्षण प्रदान करते हैं, यह तय करने में मदद करने के लिए, पहले सामान्य रूप से अच्छे शैक्षणिक खेलों के गुणों के बारे में विचार करना उपयोगी होता है। गॉफ़ (1999) ने पता लगाया कि एक अच्छे खेल में निम्न आवश्यक गुण होते हैं:

• प्रतिस्पर्धात्मकता का एक तत्व; यह ऐसे दो या अधिक खिलाड़ियों से प्राप्त किया जा सकता है, जो बारी-बारी से किसी प्रकार की ‘विजयी’ स्थिति प्राप्त करने का प्रयास करते हैं
• संपूर्ण खेल में अगली चाल से संबंधित चुनाव करने और निर्णय लेने का तत्व
• खिलाड़ियों के बीच संवाद करने का तत्व, जिसमें एक खिलाड़ी की चालें दूसरों को प्रभावित करती हैं।

गतिविधि 2 कुछ ऐसे खेल प्रस्तुत करती है, जो संख्या के संबंधों के प्रति समझ विकसित करने में मदद करते हैं। इस तरह के कई खेल, पुस्तकों में और इंटरनेट पर खुलेआम पाए जा सकते हैं। इस इकाई की गतिविधि 1, 2 और 4 को NRICH गणितीय संसाधनों की वेबसाइट से लिया गया है।

गतिविधि 2: संख्याओं के संबंध में योजना बनाना

तैयारी

यह खेल विद्यार्थियों से स्थानीय मान के बारे में सोचने के लिए कहता है और सभी आयु वर्ग के विद्यार्थी इसका आनंद लेते हैं। कम उम्र विद्यार्थियों के लिए बॉक्स के आकार को छोटा किया जा सकता है।

खेल के सेट-अप और स्कोरिंग सिस्टम में कई विविधताओं का सुझाव दिया गया है। एक बार विद्यार्थियों द्वारा सेट-अप को समझ लिए जाने पर आप उनसे अधिक विविधताओं तथा अपने स्वयं के स्कोरिंग सिस्टम के साथ आगे आने के लिए भी कह सकते हैं, क्योंकि इनके लिए भी गणितीय सोच की आवश्यकता होगी।

इस गतिविधि के लिए विद्यार्थियों को छः-, नौ- या दस-तरफ वाले (1 से 6, 1 से 9 या 1 से 10 तक की संख्याओं वाले) पासे या 1 से 10 या 0 तक की संख्याओं वाले दस खंडों वाले स्पिनर की आवश्यकता होगी। आप संसाधन 3 में स्पिनर के लिए नमूना देख सकते हैं। इन संसाधनों का फिर से गतिविधि 4 में भी उपयोग किया जा सकता है।

नीचे दिया गया खेल 1, मूलभूत खेल कैसे सेट किया जाता है, इसका वर्णन करता है और खेल 2 से 6, खेल 1 की विविधताओं तथा विकास का वर्णन करते हैं।

खेल खेलना

खेल 1

यह खेल सबसे अच्छे तरीके से जोड़े में या एक दूसरे के विरुद्ध खेल रहे दो जोड़ों के साथ खेला जाता है।

प्रत्येक खिलाड़ी चार बॉक्स का एक सेट बनाता है, जैसा कि चित्र 2 में दिखाया गया है।

चित्र 2 प्रत्येक खिलाड़ी के पास चार बॉक्स का एक सेट होता है।

विद्यार्थियों को निम्नानुसार निर्देश दें:

• बारी-बारी से पासा फ़ेकें, संख्या पढ़ें और तय करें कि वह संख्या आपके चार बॉक्स में से किसमें भरी जानी चाहिए। ऐसा चार बार करें जब तक कि आपके सभी बॉक्स न भर जाएँ। चार अंकों को एक पूर्णांक के रूप में पढ़ें।

जिसके पास भी अधिक बड़ी चार-अंकीय संख्या होगी, वह विजेता होगा।

यहाँ दो संभावित स्कोरिंग सिस्टम दिए गए हैं:

• एक जीत के लिए एक अंक। जो सबसे पहले 10 अंक प्राप्त करेगा वह खेल का विजेता होगा।
• प्रत्येक चरण के बाद दो चार-अंकीय संख्याओं के बीच का अंतर पहचानें।

यह स्कोर विजेता को मिलेगा। 10,000 तक पहुँचने वाला पहला विद्यार्थी विजेता होगा।

खेल 2

जो भी सबसे पहले छोटी चार अंकीय संख्या बनाएगा, वह विजेता होगा।

आप संभवतः खेल 1 वाले स्कोरिंग सिस्टम को बदलना चाहेंगे।

खेल 3

एक लक्ष्य निर्धारित करें। प्रत्येक विद्यार्थी चार-चार बार पासा फ़ेंकेगा और यह पता लगाएगा कि हर एक लक्ष्य संख्या से कितनी दूर है। जो भी लक्ष्य संख्या के अधिक निकट होगा, वह विजेता होगा।

यहाँ दो संभावित स्कोरिंग सिस्टम दिए गए हैं:

• एक जीत के लिए एक अंक। जो सबसे पहले 10 अंक प्राप्त करेगा वह खेल का विजेता होगा।
• प्रत्येक चरण के बाद दो चार-अंकीय संख्याओं और लक्ष्य संख्या के बीच का अंतर पहचानें। एक चालू कुलयोग बनाए रखें। 10,000 तक पहुँचने वाला पहला विद्यार्थी हार जाएगा।

खेल 4

यह खेल दशमलव बिंदु से परिचय कराता है। किसी एक प्रकोष्ठ में दशमलव बिंदु आ जाएगा, इसलिए इस बार प्रत्येक खिलाड़ी को तीन बार पासा फ़ेंकना होगा। एक लक्ष्य संख्या चुनें। लक्ष्य के सबसे निकट वाला खिलाड़ी विजेता होगा।

दो संभावित संस्करण:

• प्रत्येक खिलाड़ी बारी-बारी से पासा फ़ेंकने से पहले ही यह तय करते हैं कि वे दशमलव बिंदु को कहाँ रखना चाहते हैं।
• प्रत्येक खिलाड़ी तीन बार पासा फ़ेंकता है और फिर तय करता है कि कहाँ अंक डालना है और कहाँ दशमलव बिंदु। यहाँ भी, भिन्न-भिन्न स्कोरिंग सिस्टम रखे जा सकते हैं।

खेल 5

इस खेल के लिए वास्तव में सोचने की आवश्यकता होती है और यह बहुत प्रतिस्पर्धात्मक हो सकता है! अपने विद्यार्थियों को निम्न बताएँ:

ऊपर दिए किसी भी खेल को खेलें। इस बार आप अपनी संख्या चुनकर उसे किसी एक प्रकोष्ठ में रख सकते हैं या अपने सहभागी को देकर उन्हें बता सकते हैं कि उस संख्या को किस प्रकोष्ठ में रखना है। इस खेल को निष्पक्ष बनाने के लिए हर राउंड अलग-अलग खिलाड़ी से शुरू करना आवश्यक है।

जब आप इस खेल को दो से अधिक लोगों के साथ खेलते हैं, तब इसकी विविधता और भी अधिक चुनौतीपूर्ण हो जाती है।

खेल 6

यह एक प्रतिस्पर्धात्मक खेल होने की बजाय एक सहायक खेल है – जिसे तीन या अधिक लोग खेलते हैं।

अपने विद्यार्थियों को निम्न बताएँ:

• ऊपर दिए गए खेलों में से कोई एक चुनें। यह निर्णय पहले ही कर लें कि आप लोगों में से लक्ष्य के सबसे निकट कौन पहुँचेगा, और दूसरे, तीसरे, चौथे, आदि स्थानों पर कौन होगा।
• अब साथ मिलकर निर्णय लें कि संख्याओं को किन प्रकोष्ठों में और कहाँ रखना है।

(स्रोत: NRICH से रूपांतरित, http://nrich.maths.org/ 6605.)

वीडियो: अध्याय नियोजन

विचार के लिए रुकें इस केस स्टडी में, श्री मेहता अपनी कक्षा में बड़ी और छोटी कक्षा के विद्यार्थियों के बीच बातचीत को लेकर सकारात्मक थे। अगर छोटी कक्षा के विद्यार्थी बातचीत करने में अधिक संकोच दिखाते या बड़ी कक्षा के विद्यार्थी चर्चा में हावी होते, तो वे विद्यार्थियों को शिक्षित करने के लिए किस प्रकार की रणनीति अपनाते? इन कुछ प्रश्नों का उत्तर देकर अपने पाठ (पाठों) का अनुभव बताएँ: आपको इन गतिविधियों के बारे में क्या अच्छा लगा? इन कार्यों में ऐसा क्या था कि विद्यार्थी इनमें भाग लेना और व्यस्त रहना चाहते हैं? ये गतिविधियाँ किस प्रकार के गणितीय शिक्षण अवसर प्रदान करती हैं? क्या कुछ ऐसा है जो आप जोड़ना या संशोधित करना चाहते हों? इन प्रश्नों के जवाब में अपने विचारों और सुझावों को कहीं लिख लें और अपने विद्यालय या सामूहिक बैठक में शिक्षकों से इन पर चर्चा करें।

3 संख्या खेलों के गणितीय शिक्षण अवसरों की पहचान करना

जैसा कि इस अंक के आरंभ में बताया गया है, संख्या खेल उत्कृष्ट सामाजिक संवाद, सोच- विचार और समस्या-निवारण कौशल के लिए लाभकारी हो सकते हैं और कुछ सीखने की प्रेरणा दे सकते हैं।

इस अंक में अब तक उपयोग किए गए खेल गणितीय शिक्षण अवसर प्रदान करते हैं – यानी इनसे विद्यार्थियों में विशिष्ट गणितीय सिद्धांतों और विचारों की समझ विकसित करने में मदद मिली – और इस मामले में उनकी संख्या की समझ बढ़ी। इसका मतलब है कि ये खेल विद्यार्थियों के लिए न केवल मनोरंजक हैं बल्कि गणित समझने का एक मान्य तरीका भी हैं।उदाहरण के लिए, गतिविधि 2 में विद्यार्थियों के लिए गणितीय शिक्षण अवसरों को निम्न के रूप में वर्णित किया जा सकता है:

• स्थान मान के बारे में सीखना
• संख्याओं के परिमाण के बारे में सीखना
• गणितीय सवालों का प्रभावी और सटीक ढंग से उपयोग करने का तरीका सीखना
• संख्याओं का लचीले ढंग से और प्रवाहपूर्ण उपयोग करने का तरीका सीखना।

इन गणितीय विचारों के बारे में सीखना पाठ्यक्रम के दृष्टिकोण से महत्वपूर्ण माना जाता है और यह संख्या की समझ विकसित करने के लिए अनिवार्य है।

गतिविधि 2 के खेल को आगे बढ़ाने वाली अगली गतिविधि। शिक्षण अवसरों को भिन्न संक्रियाओं, संख्या संबंधों की समझ और संख्याओं पर आधारित भिन्न गणितीय संक्रियाओं के प्रभाव को समझने के लिए विस्तारित किया गया है।

गतिविधि 3: ग्रिड खेल

तैयारी

ये खेल श्रृंखला गतिविधि 2 ‘संख्या रणनीतिक बनो’ नाम के खेल पर आधारित है।

एक बार फिर इनका चुनाव करने के लिए विभिन्न प्रकार दिए गए हैं। ये खेल एक दूसरे के विरुद्ध जोड़ियों में या दो जोड़ियों में सर्वश्रेष्ठ ढंग से खेले जाते हैं।

इस गतिविधि के लिए विद्यार्थियों को एक बार फिर छः, नौ, - या दस कोनों वाला पासा (जिसमें 1 से 6, 1 से 9 या 1 से 10 संख्या अंकित हो) या दस खंडों वाले स्पिनर चाहिए जिन पर 1 से 10 या 0 संख्या अंकित हों। आप संसाधन 3 से स्पिनर के लिए नमूना पाप्त कर सकते हैं।

सभी खेलों के लिए निर्देश

विद्यार्थी बारी-बारी से पासे फेंकते हैं (या स्पिनर घुमाते हैं) और निर्णय लेते हैं कि ग्रिड पर उनके किन प्रकोष्ठों को भरना है।

इसे दो तरीकों से किया जा सकता है: या तो पासे फेंकने के बाद सभी प्रकोष्ठों को भरकर या फिर सभी संख्याओं को जमा करके, बाद में उनके स्थान का चयन करके किया जा सकता है।

खेल खेलना

खेल 1

सभी विद्यार्थी एक अतिरिक्त ग्रिड बनाते हैं, जैसा चित्र 3 में दिया गया है।

चित्र 3 एक अतिरिक्त ग्रिड।

पासों को नौ बार फेंको जब तक कि सभी प्रकोष्ठ भर न जाएँ।

जिसका योग 1,000 से सबसे नजदीक होगा वह जीत जाएगा।

यहाँ दो संभावित स्कोरिंग प्रणालियाँ हो सकती हैं:

• एक जीत के लिए एक अंक। जो सबसे पहले 10 अंक प्राप्त करेगा वह खेल का विजेता होगा।
• प्रत्येक खिलाड़ी अपने ‘पेनल्टी अंकों’ की गणना करते रहेंगे, जो कि प्रत्येक दौर के बाद, 1,000 और खिलाड़ियों के कुल अंकों के बीच का अंतर होगा। सबसे पहले 5,000 पर पहुँचने वाला खिलाड़ी हार जाएगा।

आप इसे और सरल या अधिक कठिन बनाने के लिए इसका लक्ष्य बदल सकते हैं, या अपनी कक्षा से ऋणात्मक संख्याओं (1,000 के ऊपर धनात्मक, 1,000 के नीचे ऋणात्मक) का अभ्यास करने के लिए कह सकते हैं और सुझाव दे सकते हैं कि जो टीम दस राउंड के बाद शून्य के अधिक नजदीक होगी वही जीतेगी।

खेल 2

सभी विद्यार्थी एक व्यवकलन ग्रिड बनाते हैं, जैसा चित्र 4 में दिया गया है।

चित्र 4 एक व्यवकलन ग्रिड।

पासों को आठ बार फेंको जब तक कि सभी प्रकोष्ठ भर न जाएँ।

जिसका भी अंतर 1,000 के सबसे नजदीक होगा वह जीत जाएगा।

यहाँ दो संभावित स्कोरिंग सिस्टम दिए गए हैं:

• एक जीत के लिए एक अंक। जो सबसे पहले 10 अंक प्राप्त करेगा वह खेल का विजेता होगा।
• प्रत्येक खिलाड़ी अपने ‘पेनल्टी अंकों’ की गणना करते रहेंगे, जो कि प्रत्येक दौर के बाद 1,000 और खिलाड़ियों के कुल अंकों के बीच का अंतर होगा। सबसे पहले 5,000 पर पहुँचने वाला खिलाड़ी हार जाएगा।

आप इसे और सरल या अधिक कठिन बनाने के लिए इसके लक्ष्य को बदल सकते हैं, संभवतः अपने लक्ष्य में ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ सकते हैं।

खेल 3

सभी विद्यार्थी एक गुणन ग्रिड बनाते हैं, जैसा चित्र 5 में दिया गया है।

चित्र 5 एक गुणन ग्रिड।

पासों को चार बार फेंको जब तक कि सभी प्रकोष्ठ भर न जाएँ।

जिसका भी गुणनफल 1,000 के सबसे नजदीक होगा वह जीत जाएगा।

यहाँ दो संभावित स्कोरिंग सिस्टम दिए गए हैं:

• एक जीत के लिए एक अंक। जो सबसे पहले 10 अंक प्राप्त करेगा वह खेल का विजेता होगा।
• प्रत्येक खिलाड़ी अपने ‘पेनल्टी अंकों’ की गणना करते रहेंगे, जो कि प्रत्येक दौर के बाद 1,000 और खिलाड़ियों के कुल अंकों के बीच का अंतर होगा। सबसे पहले 5,000 पर पहुँचने वाला खिलाड़ी हार जाएगा।

आप इसे और सरल या अधिक कठिन बनाने के लिए इसके लक्ष्य को बदल सकते हैं।

खेल 4

सभी विद्यार्थी एक गुणन ग्रिड बनाते हैं, जैसा चित्र 6 में दिया गया है।

चित्र 6 एक गुणन ग्रिड।

पासों को पाँच बार फेंको जब तक कि सभी प्रकोष्ठ भर न जाएँ।

जिसका भी गुणनफल 10,000 के सबसे नजदीक होगा वह जीत जाएगा।

यहाँ दो संभावित स्कोरिंग सिस्टम दिए गए हैं:

• एक जीत के लिए एक अंक। जो सबसे पहले 10 अंक प्राप्त करेगा वह खेल का विजेता होगा।
• प्रत्येक खिलाड़ी अपने ‘पेनल्टी अंकों’ की गणना करते रहेंगे, जो कि प्रत्येक दौर के बाद 10,000 और उनके परिणाम के बीच का अंतर होगा। 10,000 तक पहुँचने वाला पहला विद्यार्थी हार जाएगा।

आप इसे और सरल या अधिक कठिन बनाने के लिए इसके लक्ष्य को बदल सकते हैं।

खेल 5

आप दशमलव बिंदु का उपयोग करके ऊपर दिया गया कोई भी खेल, खेल सकते हैं। दशमलव बिंदु इनमें से किसी एक प्रकोष्ठ को भर देगा, इसलिए प्रत्येक खिलाड़ी केवल चार बार पासा फेंकेंगे। आपको किसी उपयुक्त लक्ष्य का निर्णय करना होगा।

(स्रोत: NRICH से रूपांतरित, http://nrich.maths.org/ 6606.)

विचार के लिए रुकें आपकी कक्षा में इसका प्रदर्शन कितना अच्छा रहा? क्या आपने टास्क में ज़रा भी संशोधन किया, जिस प्रकार श्रीमती मेहता ने किया था? अगर हाँ, तो ऐसा करने का कारण क्या था? आपको क्या लगता है कि ये गतिविधियाँ विशेष रूप से संख्या संबंधों और संख्याओं पर गणितीय संक्रियाओं के प्रति विद्यार्थियों की समझ के किन पहलुओं को प्रभावी ढंग से विकसित करती हैं? इन कार्यों में ऐसा क्या है, जिसके कारण विद्यार्थी भाग लेना और उनसे जुड़ना चाहते हैं?

4 सारांश

इस इकाई ने प्राथमिक कक्षा में ऐसे खेलों का उपयोग करके संख्या बोध का विकास करने पर फ़ोकस किया है, जो समृद्ध गणितीय शिक्षा के अवसर प्रदान करते हैं।

इस इकाई का अध्ययन करते समय क्या आपने सोचा कि कैसे शिक्षण कार्यनीति के रूप में संख्या खेलों का उपयोग करके जुड़ाव, प्रतिभागिता और गणितीय तर्कों को प्रोत्साहित किया जा सकता है। आपने इस पर विचार किया कि संख्याओं को बदलने या भिन्न समूहों का उपयोग करने जैसे छोटे परिवर्तन करके कैसे गतिविधियों को विभिन्न आयु वर्गों और उपलब्धि के स्तर के अनुरूप बनाया जाए।

विचार के लिए रुकें इस इकाई में से कुछ विचारों का उपयोग करने पर अपने पाठों में से तीन अवसरों की पहचान करें।

संसाधन

संसाधन 1: एनसीएफ/एनसीएफटीई शिक्षण आवश्यकताएँ

यह यूनिट NCF (2005) तथा NCFTE (2009) की निम्न शिक्षण आवश्यकताओं से जोड़ता है तथा उन आवश्यकताओं को पूरा करने में आपकी मदद करेगा:

• उन गतिविधियों से सीखें, जो विद्यार्थियों को संख्याओं की विशेषताएँ एक्सप्लोर करने देती हैं।
• विद्यार्थियों को उनके अपने अध्ययन में सक्रिय प्रतिभागियों के रूप में देखें, जिससे ज्ञान की संरचना करने की उनकी क्षमता को प्रोत्साहन मिले।
• विद्यार्थियों को गणित को किसी ऐसी चीज़ के रूप में लेने दें जिसके बारे में वे बात करें, जिसके द्वारा संवाद करें, स्वयं के निष्कर्ष को साझा करें, जिसकी आपस में चर्चा करें, जिस पर साथ मिलकर कार्य करें।
• विद्यार्थियों को गणितीय गतिविधियाँ करने में सफलता का अनुभव होने दें।

संसाधन 2: समूह-कार्य प्रबंधन

आप अच्छे समूहकार्य के प्रबंधन के लिए दिनचर्याएं और नियम तय कर सकते हैं। जब आप नियमित रूप से समूहकार्य का उपयोग करते हैं, तो विद्यार्थियों को पता चल जाएगा कि आप क्या अपेक्षा करते हैं और वे इसे आनंददायक पाएंगे। टीमों और समूहों में काम करने के लाभों की पहचान करने के लिए आरंभ में कक्षा के साथ काम करना एक अच्छा विचार है। आपको चर्चा करनी चाहिए कि समूहकार्य में अच्छा व्यवहार क्या होता है और संभव हो तो ‘नियमों’ की एक सूची बनाएं जिसे प्रदर्शित किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, ‘एक दूसरे के लिए सम्मान’, ‘सुनना’, ‘एक दूसरे की सहायता करना’, ‘एक से अधिक विचार को आजमाना’, आदि।

समूहकार्य के बारे में स्पष्ट मौखिक अनुदेश देना महत्वपूर्ण है जिसे ब्लैकबोर्ड पर संदर्भ के लिए लिखा भी जा सकता है। आपको:

• अपनी योजना के अनुसार अपने विद्यार्थियों को उन समूहों की ओर निर्देशित करना होगा जिनमें वे काम करेंगे। ऐसा आप शायद कक्षा में ऐसे स्थानों को निर्दिष्ट करके कर सकते हैं जहाँ वे काम करेंगे या किसी फर्नीचर या स्कूल के बैगों को हटाने के बारे में अनुदेश देकर कर सकते हैं।
• कार्य के बारे में बहुत स्पष्ट होना और उसे बोर्ड पर लघु अनुदेशों या चित्रों के रूप में लिखना चाहिए। अपने शुरू करने से पहले विद्यार्थियों को प्रश्न पूछने की अनुमति प्रदान करें।

पाठ के दौरान, यह देखने और जाँच करने के लिए घूमें कि समूह किस तरह से काम कर रहे हैं। यदि वे कार्य से विचलित हो रहे हैं या अटक रहे हैं तो जहाँ जरूरत हो वहाँ सलाह प्रदान करें।

कार्य के अंत में, जो कुछ सीखा गया है उसका सारांश बनाएं और आपको नज़र आई किसी भी गलतफहमी को सुधारें। आप चाहें तो प्रत्येक समूह का फीडबैक सुन सकते हैं, या केवल एक या दो समूहों से पूछ सकते हैं जिनके पास आपको लगता है कि कुछ अच्छे विचार हैं। विद्यार्थियों की रिपोर्ट करने की प्रक्रिया को संक्षिप्त रखें और उन्हें अन्य समूहों के काम पर फीडबैक देने को प्रोत्साहित करें जिसमें वे पहचान सकते हैं कि क्या अच्छा किया गया था, क्या बात दिलचस्प थी और किस बात को और विकसित किया जा सकता था।

भले ही आप समूह-कार्य को अपनी कक्षा में लागू करना चाहें, फिर भी आपको कुछ विद्यार्थियों द्वारा निम्न किए जाने के कारण कभी-कभी ऐसा करना कठिन लग सकता है:

• सक्रिय शिक्षण का प्रतिरोध करते हैं और उसमें शामिल नहीं होते
• हावी होने वाली प्रकृति के होते हैं
• अंतर्व्यैयक्तिक कौशलों की कमी या आत्मविश्वास के अभाव के कारण भाग नहीं लेते।

सीखने के परिणाम कहाँ तक प्राप्त हुए और आपके विद्यार्थियों ने कितनी अच्छी तरह से अनुक्रिया की (क्या वे सभी लाभान्वित हुए) इस पर विचार करने के अलावा, समूहकार्य के प्रबंधन में प्रभावी बनने के लिए उपरोक्त सभी बिंदुओं पर विचार करना महत्वपूर्ण होता है। सामूहिक कार्य, संसाधनों, समयों या समूहों की रचना में आप द्वारा किए जा सकने वाले समायोजनों पर सावधानी से विचार करें और उनकी योजना बनाएं।

संसाधन 3: स्पिनर/चर्खी बनाने के लिए नमूना

चित्र R3.1 स्पिनर/चर्खी बनाने के लिए नमूना

चित्र R3.2 दस-खंड स्पिनर का अधिक बड़ा संस्करण।

अतिरिक्त संसाधन

• ‘Number sense series: developing early number sense’ by Jenni Way: http://nrich.maths.org/ 2477
• A newly developed maths portal by the Karnataka government: http://karnatakaeducation.org.in/ KOER/ en/ index.php/ Portal:Mathematics
• National Centre for Excellence in the Teaching of Mathematics: https://www.ncetm.org.uk/
• National STEM Centre: http://www.nationalstemcentre.org.uk/
• National Numeracy: http://www.nationalnumeracy.org.uk/ home/ index.html
• BBC Bitesize: http://www.bbc.co.uk/ bitesize/
• Khan Academy’s math section: https://www.khanacademy.org/ math
• NRICH: http://nrich.maths.org/ frontpage
• Art of Problem Solving’s resources page: http://www.artofproblemsolving.com/ Resources/ index.php
• Teachnology: http://www.teach-nology.com/ worksheets/ math/
• Math Playground’s logic games: http://www.mathplayground.com/ logicgames.html
• Maths is Fun: http://www.mathsisfun.com/
• Coolmath4kids.com: http://www.coolmath4kids.com/
• National Council of Educational Research and Training’s textbooks for teaching mathematics and for teacher training of mathematics: http://www.ncert.nic.in/ ncerts/ textbook/ textbook.htm
• AMT-01 Aspects of Teaching Primary School Mathematics, Block 1 (‘Aspects of Teaching Mathematics’), Block 2 (‘Numbers (I)’), Block 3 (‘Numbers (II)’), Block 4 (‘Fractions’): http://www.ignou4ublog.com/ 2013/ 06/ ignou-amt-01-study-materialbooks.html
• LMT-01 Learning Mathematics, Block 1 (‘Approaches to Learning’) Block 2 (‘Encouraging Learning in the Classroom’), Block 4 (‘On Spatial Learning’), Block 6 (‘Thinking Mathematically’): http://www.ignou4ublog.com/ 2013/ 06/ ignou-lmt-01-study-materialbooks.html
• Manual of Mathematics Teaching Aids for Primary Schools, published by NCERT: http://www.arvindguptatoys.com/ arvindgupta/ pks-primarymanual.pdf
• Learning Curve and At Right Angles, periodicals about mathematics and its teaching: http://azimpremjifoundation.org/ Foundation_Publications
• Textbooks developed by the Eklavya Foundation with activity-based teaching mathematics at the primary level: http://www.eklavya.in/ pdfs/ Catalouge/ Eklavya_Catalogue_2012.pdf
• Central Board of Secondary Education’s books and support material (also including List of Hands-on Activities in Mathematics for Classes III to VIII) – select ‘CBSE publications’, then ‘Books and support material’: http://cbse.nic.in/ welcome.htm

References

Acknowledgements

अभिस्वीकृतियाँ

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गतिविधि 1 और चित्र 1: NRICH, http://nrich.maths.org/ 5950 से लिया गय (Activity 1 and Figure 1: adapted from NRICH, http://nrich.maths.org/ 5950)।

गतिविधि 2 और चित्र 2: NRICH, http://nrich.maths.org/ 6605 से लिया गया (Activity 2 and Figure 2: adapted from NRICH, http://nrich.maths.org/ 6605)।

गतिविधि 3 और चित्र 3–6: NRICH, http://nrich.maths.org/ 6606 से लिया गया (Activity 3 and Figures 3-6: adapted from NRICH, http://nrich.maths.org/ 6606)।

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वीडियो (वीडियो स्टिल्स सहित): भारत भर के उन अध्यापक शिक्षकों, मुख्याध्यापकों, अध्यापकों और विद्यार्थियों के प्रति आभार प्रकट किया जाता है जिन्होंने उत्पादनों में दि ओपन यूनिवर्सिटी के साथ काम किया है।