الوحدة رقم ٢ :التقصي في الشكل و الفراغ

قرر بعض معلمي الرياضيات بالمدارس الاساسية في كردفان و كجزء من تطويرهم أثناء-الخدمة، أن يضعوا مخططا لمشروع هندسة عملية. . ، فقد أرادوا أن يستعملوا طرق جديدة لتدريس الهندسة. لهذا قرروا إستعمال أنشطة عملية هندسية، فهذا سيساعد التلاميذ على ربط الواقع اليومي بالرياضيات.

قرروا دعوة خبيرة تعليم رياضيات من معهد التأهيل التربوي المجاور، لتساعدهم في كتابة مشروعهم. قبلت الخبيرة الدعوة، و اقترحت عليهم أن يبدأوا بنشاط الفرزأولا: أي جمع أكبر عدد ممكن من المواد المختلفة، مثل العلب الفارغة، بكرات القطن، أنابيب لفة مشمعات و خلافه. و بالعمل ثنائياً. خططوا نشاطاً عمليا مستخدمين هذه الأشكال و جربوها بأنفسهم.

في فصولهم، طلب المعلمون من تلاميذهم أن يساعدوهم في جمع مواد مشابهة. حين جمعوا ما يكفيهم من مواد لتلاميذهم لكي يعملوا في مجموعات من خمسة أو ستة تلاميذ:أصبح لكل مجموعة عشرة أو أكثر من المواد للفرز، حينئذ قاموا بتجربة الأنشطة.

كانت المهام كلها عن وضع المواد في مجموعات لها خواص متشابهة، ثم يسجلون الخواص المشتركة بينها. دهش المعلمون و تشجعوا من الإهتمام و التفكير الذي خلقه النشاط في تلاميذهم.

في الإجتماع التالي أثناء الخدمة، أخبر كل معلم بما حدث مع تلاميذه

طلب الأستاذ أبابكر من تلاميذه أن يقوموا بفرز مجموعة من الأشياء التي وفرها لهم. وقد قرر بعض التلاميذ أن يقوموا بتجميع الأشياء حسب استخدامها المنزلي مثل الأشياء التي تستخدم في غرفة النوم أو المطبخ أو الحمام. بينما قام البعض الآخر من التلاميذ بالنظر في كيفية تشابه الأشياء. مجموعات أخرى وجدت صعوبة في توصيف خصائص الأشياء فمثلاً قالوا إن بعض الأشياء مسطحة بينما لم يستطيعوا أن يصفوا الأشياء الأخرى إلا بأنها غير مسطحة.

قام الأستاذ أبابكر بتجميع الصف الدراسي حوله، ثم قام بدراسة هذه الأشكال العصية "غير المسطحة" مع التلاميذ. وبدون استخدام لغة الرياضيات في بادئ الأمر، بدأ بتوضيح بعض الصفات (مثل المنحنيات والأطراف والزوايا) وطلب من التلاميذ أن يقوموا بوصف هذه الأشياء بلغتهم الخاصة. بعد أن قام بعض التلاميذ ذلك، فكروا في معظم المفردات التي يمكن استخدامها. فبدأ الأستاذ أبابكر في إدخال المفردات في لغتهم الخاصة. وشرح لهم أنهم قد بدؤوا في تعلم لغة الرياضيات الرائعة.

قام الأستاذ ابابكر بعمل لوحة كبيرة على الجدار، وبدأ في كتابة الكلمات الرياضية الجديدة عليها وكذلك كتب التعريف الذي تم الاتفاق عليه. طلب من التلاميذ أن يقوموا بالبدء في الكتابة في قاموس الرياضيات في نهاية كراساتهم وأن يرسموا رسوماً توضيحية لشرح معاني هذه الكلمات. وقد استمروا في إضافة مفردات جديدة لهذا القاموس خلال الدروس التالية في الرياضيات

قام الأستاذ دينق بصنع بعض الحقائب من القماش كبيرة الحجم، بدرجة كافية للتلاميذ ليضعوا فيها أيديهم مع وجود خيط يمكن شده على فم الحقيبة لقفلها.

قام بوضع أحد الأشياء من مجموعته في كل حقيبة مع اختيار الأشياء بحرص لتوفير درجة من التنوع فيها.

قام الأستاذ دينق بشرح اللعبة للصف، واختار التلميذ الذي سيقوم بتحسس وتوصيف محتويات الحقيبة الأولى. كان على هذا التلميذ أن يقوم بتوصيف محتويات الحقيبة مستخدماُ تعابيراً تعلمها حديثاً في الصف. كان على التلاميذ الآخرين في الصف أن يقوموا برفع أيديهم وأن يقوموا بإخبار المعلم إذا ظنوا أنهم قد عرفوا ماهية الشيء. ستكون جائزة للتلميذ الذي يتعرف على ماهية الشيء في الحقيبة، بصورة صحيحة، أن يقوم هو الآخر بتحسس ووصف الشيء في الحقيبة في المرة القادمة.

خلال القيام بهذا النشاط، تأكد الأستاذ دينق من أن التلاميذ يولون اهتمامهم بطريقة أفضل على أن يدع واحداً فقط من التلاميذ يتحدث في وقت واحد حتى يكتسب التلاميذ التفكير في الكلام الذي يقوله الشخص المتحدث

يريد الأستاذ سامي أن يبدأ دروسه حول المخططات، بجعل تلاميذه يكتشفون مخططاً مبسطاً بأنفسهم. وقد طلب منهم في اليوم السابق للدرس أن يحضروا علبة فارغة للدرس القادم.

تأكد من أن كل تلميذ قد أحضر علبة فارغة وأعطى بعض العلب للذين لم يتمكنوا من إحضار علبهم. كما أعطى كل تلميذ ورقة مقاس أ4. كان يعرف شكل مخطط العلبة الفارغة ولكنه كان يريد من التلاميذ أن يكتشفوا ذلك بأنفسهم. ولذلك سألهم هذا السؤال لمناقشته في أزواج: "لقد تم صنع علبتكم من صفيحة مسطحة، وعليكم أن تتخيلوا أن الورقة التي أمامكم هي الصفيحة التي ستصنع منها العلبة – ما هو الشكل الذي سيتم قطعه من هذه الورقة. هل يمكنك استخدام العلبة لمساعدتك في رسم هذا الشكل على ورقتك؟"

أعطى الأستاذ سامي التلاميذ، وقتاً لمحاولة حل هذه المعضلة. وقد استمتع الأستاذ سامي بمراقبة تلاميذه وهم يعملون، ولم يتدخل إلا عندما كان يراهم لايستطيعون التقدم. وكان سعيداً بأن العديد منهم استطاعوا عمل النموذج..

كان الأستاذ سامي سعيداً بتقدم تلاميذه في دراسة الحالة رقم ١. وقد شرح لهم بأن هناك كلمات في الرياضيات لها معان خاصة. فكلمة مخطط تستخدم أحياناً بمعنى شكل مسطح يمكن طيه لعمل شكل ثلاثي الأبعاد. طلب من التلاميذ أن يضيفوا هذا التعبير إلى قاموسهم الرياضي ووضع تعريف له. كما قاموا بعمل مخطط لعلبة مفتوحة من قبل، طلب منهم أن يقوموا بعمل مخطط لعلبة مغلقة. وقد اقترح عليهم أن يستعينوا بالمخططات التي رسموها سابقاً وأن يفكروا كيف يضيفوا أليها غطاءاً. باستخدام نفس المجموعات، طلب الأستاذ سامي منهم أن يتناقشوا مع بعضهم البعض عن كيفية إضافة الغطاء وأن يرسموا المخطط الجديد. أعطى المجموعة 10 دقائق ثم طلب من كل مجموعة أن ترسم ما توصلوا إليه على اللوحة.

ثم طلب من كل مجموعة أن تنظر إلى كل المخططات والموافقة على أنهم جميعاً قد قاموا بعمل ما. كل مجموعة كان لها مخطط يعمل مع بعض الاختلافات التي ظهرت، الشيئ الذي سر له الأستاذ

ترغب الأستاذة ليلى في تطوير وعي تلاميذها بالوجود اليومي للرياضيات من حولهم، ولذلك أخذتهم في جولة في السوبرماركت المجاور، وأخذت معها ورقاً وأقلاماً وطلبت من تلاميذها أن يحددوا أوعية متنوعة ومن ثم طلبت منهم أن يرسموها ويرسموا مخططاتها.

وكواجب منزلي، طلبت منهم أن يحسنوا رسوماتهم حتى تتمكن من تعليقها في غرفة الدراسة. كان التلاميذ سعيدين بما أنتجوا ولذلك طلبت منهم أن يدعوا والديهم للحضور لرؤية أعمالهم. وكانت الأستاذة ليلى تعلم أنه من المهم الحصول على تعاون جيد من الوالدين، مما يحسن العملية التعليمية.

أرادت الأستاذة صباح، معلمة في المدارس الأساسية بنيالا جنوب دارفور، أن توضح لتلاميذها الفرق بين الأشياء الثلاثية الأبعاد و الثنائية الأبعاد. وكانت تعلم أن هذا الأمر قد يكون صعباً بالنسبة لهم.

قامت بوصف الشكل الثلاثي الأبعاد بأنه "شيء يمكن حمله مثل الكتب والأقلام وطاولة المكتب الخ." وعرفت الأشكال الثنائية الأبعاد بأنها أشياء يمكن رؤيتها ولكن لا يمكن رفعها: مثل صورة حصان أو رسم شخص أو مربع مرسوم على الورق. وقالت، مع أنه يمكن رفع الورقة المرسوم عليها الحصان، إلا أنه لا يمكن رفع الحصان أو الشخص نفسه من الورقة.

ومن ثم، طلبت منهم أن يقترحوا أشياء أخرى يمكن اعتبارها كأشكال ثنائية أو ثلاثية الأبعاد في غرفة الدراسة. كان بعض الطلاب متحمسين جداً للتفريق بين هذه الأشياء، إلا أن البعض الآخر وجدوا صعوبة في تصديق أن قطعة ورق أو نافذة يمكن أن تكون ثلاثية الأبعاد لأنها "غير سميكة" بما فيه الكفاية.

ولقد قررت الأستاذة صباح أن تعطي تلاميذها واجباً منزلياً وذلك بأن يذهبوا إلى منازلهم وأن يخبروا والديهم بما حدث في الصف وأن واجبهم المنزلي هو أن يحضروا إلى الصف قائمة بعشرة أشياء على الأقل، توجد بالمنزل يمكن اعتبارها أشياء ً ثلاثية الأبعاد. وكانت متأكدة من أن ذلك سيدعم ما قام به التلاميذ في الصف..

عندما قام الأستاذ شريف بالتخطيط لدرسه، كان هدفه أن يجعل المعلمين الآخرين يشاركون في الدرس، وأن يوفر للتلاميذ أكثر من خبرة رياضية. وقد تحدث مع زملائه معلمي الدراسات الاجتماعية للحصول على صور من مقررات الجغرافيا والتاريخ للأهرامات المصرية (أنظرإلى المصدر٢).

وقد قام بعرض الصورة، بحيث تأكد من أن كل التلاميذ يستطيعون رؤيتها وطلب منهم أن يحدثوه بكل ما يعرفوه عن الصورة وعن مصر. وقام الأستاذ شريف بعمل خريطة ذهنية عن مدى معرفتهم بكيفية بناء الأهرام.

وبعد ذلك قام بتجميعهم في مجموعات صغيرة لمناقشة موضوع الأهرام وكتابة أي سؤال عن هذا الموضوع. قام بجمع أسئلتهم وفرز الأسئلة التي تتعلق ببناء وشكل الهرم كل على حدة.

قام بإعطاء كل مجموعة هرماً، لقد قام بصنعه من الورق المقوى (المصدر رقم ٣) وطلب من المجموعات التفكير في شكل وتركيب الهرم والتعرف على المعالم المشتركة مثل الجوانب والحواف والوجوه على كل هرم.

بعد ذلك، طلب منهم أن يفكروا في كيفية بناء المصريين للأهرام، وعرض عليهم المزيد من الصور عن كيفية بنائها، الأمر الذي كان له أبلغ الأثر عليهم. ونتيجة لذلك طلبوا من معلم الدراسات الاجتماعية، أن يحدثهم أكثر عن الأهرام وفيما كانت تستخدم.

شعر الأستاذ شريف أن هذا المزج بين مادة الرياضيات والدراسات الاجتماعية ساعدت التلاميذ وحفزتهم لدراسة الرياضيات

أرادت الأستاذة سمية من تلاميذها أن يقوموا بصنع بعض المجسمات الثلاثية الأبعاد لعمل مجموعة جديدة من الاشكال المتحركة ( الموبايلات ) لتعليقها في غرفة الدرس. طلبت منهم أن يقوموا بتجميع أنفسهم في مجموعات بين الست وثمان تلاميذ وأعطتهم مقصات وورقاً مقوى وغراء. طلبت منهم أن يقوموا بعمل 32 مثلثات متساوية الأضلاع وست مربعات واثنا عشر مخمساً وكتبت لهم الأبعاد لكل شكل على السبورة.

طلبت منهم أن يقدروا كم من هذه المجسمات الثلاثية الأبعاد يمكن لهم أن يصنعوها من مضلعاتهم بإتباع القواعد الآتية:

استخدم نوعاً واحداُ من المضلعات في المرة الواحدة، لتكوين المجسم الثلاثي الأبعاد.

يجب أن يكون المجسم الثلاثي الأبعاد مغلقا، وكل الحواف ملتصقة.

استمتع التلاميذ بهذا التمرين.

بعد ذلك أعطتهم مخططات المجسمات الثلاثية الأبعاد منتظمة، وطلبت منهم أن يقوموا بقطعها بحرص وأن يقوموا بثنيها ولصقها لعمل المجسمات (أنظرإلى المصدر رقم ١). وجدوا أن الأشياء التي قاموا بعملها هي نفس المجسمات الثلاثية الأبعاد التي كانوا قد قاموا باكتشافها.

ناقشت معهم إذا كان من السهل عمل المجسمات الثلاثية الأبعاد من المخططات أو بدونها، ووافق كل التلاميذ بأن العمل من المخططات كان أسرع

أرادت السيدة بواليا المعلمة في مدرسة الأساسية بجوبا بجنوب السودان، أن تقدم إلى تلاميذها نظرية التماثل.

قامت بتقسيم الصف الدراسي إلى مجموعات متكونة من أربعة تلاميذ، ووزعت على كل مجموعة أربعة أوراق قامت بقصها على الأشكال التالية: مستطيل، مربع، مثلثات متساوية الساقين ومثلثات متقايسة الأضلاع. طلبت من أحد التلاميذ من كل مجموعة أن يأخذ المستطيل و يقوم بطيه حتى يتطابق النصفان تماماًَ. يمكن لباقي المجموعة أن تقوم بإسداء النصح أو التشجيع. لاحظت أن بعض المجموعات قد وجدت طريقة واحدة لتثني المستطيل في حين أن هناك مجموعات أخرى وجدت طريقتين. طلبت السيدة بواليا من كل مجموعة أن تقوم بعرض ما توصلت إليه.

بعد ذلك، طلبت المعلمة من تلميذ من كل مجموعة، أن يأخذ المربع ويكرر نفس التمرين. إتفق كل الصف على أن هناك أربع طرق لثني المربع. قالت للتلاميذ "إن هذه الخطوط تعرف بخطوط التماثل. للمستطيل خطان وللمربع أربع خطوط".

رسمت المعلمة جدولاً على السبورة ورسمت الأشكال وطلبت من التلاميذ كتابة عدد خطوط التماثل في كل شكل.

طلبت منهم بعد ذلك أن يشرحوا معنى "التماثل" ومعنى "خط التماثل" في كلمات يمكن لكل من في الصف أن يفهمها. قام التلاميذ بعد ذلك بإضافة هذه التعريفات إلى قاموسهم الرياضي.

وكواجب منزلي، طلبت منهم أن يقوموا بجمع بعض الأشياء التي لها خطوط تماثل من منازلهم أو في طريق العودة من المدرسة.

أرادت الأستاذة مريم أن تستخدم الفن لمساعدة التلاميذ على استكشاف التماثل ولذلك، قررت أن تستغل إحدى الحصص للقيام بعمل صور لفراشات مع تلاميذها. أحضرت صورتين لفراشتين قامت بعرضهما على تلاميذها وشرحت لهم أن الفراشة لها أربعة أجنحة وأن أشكال وأحجام وألوان هذه الأجنحة يمكن أن تكون مختلفة بشكل كبير ولكن شكل الأجنحة في الفراشة الواحدة يكون دائماُ متماثلا.

قامت الأستاذة مريم بثني ورقة و ذلك لتعريف الصف على كيفية قطع أجنحة الفراشة وأنه بعد فتح الورقة ستحصل على جناحين. وأفادتهم أيضاً بطريقة عمل تشكيلات مختلفة على الأجنحة، وذلك بثني ورقة تحتوي على لون سائل في الداخل. طلبت من التلاميذ القيام بصنع فراشاتهم بتخيل أشكال مختلفة للأجنحة بها تشكيلات مختلفة لجأ التلاميذ صغار السن إلى تلوين فراشاتهم، بينما قام الطلاب الأكبر سناً، برسم تشكيلات متماثلة أكثر تعقيداُ.

عندما اكتملت الفراشات، قامت الأستاذة مريم بتعليقها بسقف القاعة باستخدام الخيوط

اعتقد الأستاذ يوسف أن تلاميذه أصبحوا أكثر ثقة في التعامل مع خط التماثل الواحد وأراد أن يزيد من قدراتهم بجعلهم يدرسون أنواعاً أخرى من التماثل. قام برسم وقطع أربع رموز دينية مختلفة (أنظرإلى المصدر رقم ٣)، جاعلاُ كلاً منها أكبر ما يمكن على ورقة مقاس أ4.

قام الأستاذ يوسف برفع هذه الأشكال أمام التلاميذ وسألهم إن كانوا يعرفون ماذا يسمى كل واحد منها. طلب من التلاميذ أن يجدوا أولاً خطوط التماثل وقد وجدوها بسهولة على الصليب والمسجد. وبقليل من التشجيع، استطاعوا أن يتعرفوا على العديد من خطوط التماثل المحتملة على نجمة داود وعجلة الدارما وتمكن التلاميذ كبار السن من عد هذه الخطوط.

قام الأستاذ يوسف بعد ذلك بوضع دبوس في مركز الصليب وأوضح لهم أنه إذا قام بإدارته فإنه يظهر في صورة مشابهة لوضعه الأول فقط عندما يعود بدورانه إلى حيث بدأ. أخبرهم بأن هذا يعني أنه ليس له تماثل دائري. عرض باقي الأشكال على التلاميذ وجربوا إدارة كل منها بنفس الطريقة. قاموا بحساب ست مرات تماثل دائري لنجمة داود وثمان لعجلة الدارما. تشوق طلابه للبحث عن أشكال أخرى في الحياة العادية لها نقاط تماثل متعددة مما أسعد المعلم.

قام الأستاذ سعيد المعلم بمدرسة أم جر الأساسية، بمناقشة تجربته في تدريس الهندسة لتلاميذه مع أحد زملائه القدامى الأستاذ حامد. ولقد اشتكى من أن التلاميذ لا يحبون هذا الجزء من الرياضيات. ووفقا لما قاله، فإن التلاميذ يشتكون فعلا من كون الهندسة مادة مجردة جداً وتحتاج لدرجة عالية من التخيل وأن النظريات ليس لها معنى. وبالإضافة إلى ذلك، فإن علاقتها معدومة أو ربما قليلة مع واقع الحياة. لذلك، كان هو شخصياً غير متحمس لتدريسها.

وقد وافق الأستاذ حامد أن لديه تجربة مماثلة، ولكنه شجعه على استخدام أسلوب الدراسة العملية وتشجيع تلاميذه على التحدث عما يعملون. وقد قاما سوياً بالتخطيط لدرس يقومان فيه بإتباع الأسلوب العملي خطوة بخطوة، والذي يؤدي بالتلاميذ لاكتشاف الأفكار التي يجب أن يتعلموها بأنفسهم. وقد قاما بتقديم الدرس لتلاميذهما. ثم التقيا بعد ذلك ليناقشا كيف سارت الأمور. وقد كان الأستاذ سعيد مندهشاً من مستوى تفكير تلاميذه وعن مدى استعدادهم للتحدث عما كانوا يقومون به. وقد لاحظ الأستاذ حامد أن السماح للتلاميذ بالتحدث عن عملهم و مناقشة أفكارهم، لم يجعلهم فقط متحمسين، بل أعطاهم الثقة في قدرتهم على دراسة الرياضيات.

قامت الأستاذة عزيزة بالتدريس في صف متعدد الأعمار. كان فيه مجموعة من التلاميذ الممتازين في الرياضيات. عندما شعرت عزيزة بأن مقررهم ليس صعباً بما فيه الكفاية، قررت أن تنتهز هذه الفرصة لتستغل مواهبهم و ترفع من مستواهم بجعلهم يستمتعون بمواجهة تحد حقيقي.

كانت قد عرفت الصف على الإحداثيين س وص. وفي أحد الأيام، عندما كان الصف منهمكاُ في نشاط لترجمة المثلث باستخدام الكرتون المقطوع، قامت عزيزة بتقديم دعم إضافي لمجموعة من أربع تلاميذ (أنظرإلى المصدر رقم ٢).

مع رسم المثلث وترقيم المحورين س وص على ورقة رسم بياني، طلبت من التلاميذ أن يبينوا الإحداثيات على الرؤوس الثلاثة (القمم) والتي أجابوا عليها بسهولة وقاموا بكتابة الإجابات. بعد ذلك، سألتهم: ماذا سيحدث إذا قامت بتحريك الشكل لست خانات إلى الجهة اليمنى؟ وماذا تصبح الإحداثيتان س وص الجديدتان؟ وعندما قاموا بالإجابة على ذلك بصورة صحيحة، سألتهم مرة أخرى "ماذا سيحدث إذا حركته لثلاث خانات إلى الأسفل"؟. واستمرت عزيزة في هذا المنوال حتى تأكدت تماماً أن التلاميذ كانوا يفهمون ما كان يحدث.

قالت لهم بعد ذلك: "على كل واحد منكم أن يقوم بوضع مسألة لزميله بأن يعطيه إحداثيات لرؤوس مثلث وتحويل لتطبيقها. أكتب ثم أرسم المثلث الذي وضع لك وقم بكتابة الإحداثيات المحولة، وارسم الموقع الجديد. إذا قمت بعمل هذا الأمر بصورة صحيحة، يمكنك بتجربة أشكال أخرى غير المثلث لاختبار كل منكما الآخر.

استمتع التلاميذ باحترام المعلمة لهم وكذلك بفرصة العمل بحرية أكثر واستخدام الرياضيات في التحدي بينهم

قامت الاستاذة أكاسيا، وهي مدرسة متمرسة في التعليم الأساسي في إحدى المدارس بجنوب السودان، بتدريس أساسيات الإنعكاس لتلاميذها في الصف. وهي تنوي الآن أن تقوم بمساعدة التلاميذ على مناقشة النشاط والنتائج التي تحصلوا عليها.

كانت تعرف بأن المناقشة لا تعني فقط الإجابة على الأسئلة القصيرة المقفولة، ولذلك كانت مصممة على وضع مخطط لإثارة مناقشة وسط التلاميذ. فقامت بتوزيعهم إلى أزواج وطلبت منهم أن ينظر كل منهم إلى عمل الآخر ويدونوا ثلاثة ملاحظات عن الإنعكاس يعرضونها بعد ذلك. ويجب أن يكونوا مقتنعين بأنهم قد وجدوا طريقة لتوصيف كل ملاحظة وشرحها على أحسن وجه. عندما يتفق كل من التلميذين على أنهم قد توصلوا إلى ثلاث ملاحظات واضحة عليهم أن يرفعوا أيديهم.

تقوم الاستاذة أكاسيا بجمع أزواج التلاميذ ليصيروا أربعة، وتطلب من كل زوج أن يشرحوا ملاحظاتهم للآخرين. يمكنها أيضاً أن تطلب من الأربع تلاميذ أن يقرروا ما هي أحسن ثلاث ملاحظات أو أكثر الملاحظات تشويقاً، ويعرضونها على الصف.

وجدت استخدام هذه الطريقة في الدروس الأخرى غير الرياضيات