ऐसे प्रश्नों को पूछना जो सोच को चुनौती दे: भिन्न

यह इकाई किस बारे में है

इस इकाई में आप सोचेंगे कि आपके विद्यार्थियों को भिन्न कैसे सिखाया जाए।

कुछ विद्यार्थियों के लिए भिन्न समझना एक बहुत ही कठिन विषय हो सकता है। इसके कई कारण हैं, लेकिन यह सुनिश्चित करने से कि आपके विद्यार्थियों के पास भिन्न के साथ काम करने का एक समृद्ध और विविध अनुभव हो, उनकी समझ विकसित होगी।

इस इकाई में आप यह देखेंगे कि भिन्न का अर्थ तब ही होता है जब आप उसे संपूर्ण से संबंध के रूप में देखें, और भिन्नों की प्रतीकात्मक प्रस्तुति को पढ़ने के अलग अलग तरीकों को जानने के लिए विद्यार्थियों को कैसे मदद करें, इस पर विचार करेंगे।

गतिविधियों के द्वारा आप अपने विद्यार्थियों से दिलचस्प और चुनौतीपूर्ण प्रश्न पूछने, और अपने विद्यार्थियों को प्रश्न पूछने के लिए प्रेरित करने और भिन्नों के बारे में बात करने के महत्व के बारे में सोचेंगे।

आप इस इकाई में क्या सीख सकते हैं

• ऐसे प्रभावी प्रश्न कैसे पूछे जाएं जो दिलचस्प और चुनौतीपूर्ण हों।
• आपके विद्यार्थियों को भिन्नों की अपनी खुद की समझ बनाने में मदद करने के लिए कुछ उपाय।
• आपके विद्यार्थियों को भिन्नों के बारे में बात करने में मदद करने के लिए कुछ उपाय।

इस इकाई का संबंध NCF (2005) और NCFTE (2009) की दर्शाई गई शिक्षण आवश्यकताओं से है। संसाधन 1।

1 भिन्नों के बारे में इतना अलग क्या है?

भिन्नों के इतने कठिन प्रतीत होने का एक कारण हो सकता है कि उनमें समझने के लिए बहुत कुछ होता है। उदाहरण के लिए किसी का आधा किसी के चौथाई से छोटा हो सकता है। इसका एक उदाहरण है ‘छह का आधा तीन है’ और ‘सोलह का चौथाई चार है’। इसलिए कागज को मोड़ कर या गोलों को विभाजित करके भिन्न सीखने से विद्यार्थियों में गलतफहमी पैदा हो सकती है, खास कर यदि कागज हमेशा समान आकार का हो। विद्यार्थियों को यह पूछना सिखाया जाना चाहिए ‘किसका भिन्न?’

भिन्न की समझ विकसित करना अन्य गणितीय धारणाओं को समझने से ज़्यादा अलग नहीं है। उदाहरण के लिए बहुत छोटे बच्चों को जब ‘तीन’ की धारणा सिखाई जाती है तो उन्हें कई अलग अलग अनुभव दिए जाते हैं।

भिन्न के बारे में सीखते समय बड़े होने के बावजूद, यदि प्राथमिक कक्षा के विद्यार्थियों को भिन्नों की एक अच्छी समझ विकसित करना आरंभ करना हो तो उन्हें बेहद समृद्ध और विविध अनुभवों की आवश्यकता होगी।

कई विद्यार्थियों को ऐसे अनुभव हो चुके होंगे जिनसे उन्हें भिन्न की समझ विकसित करने में मदद मिली होगी। न्यून्स (2006) ने अपनी शोध में पाया कि प्राथमिक स्कूल के विद्यार्थियों के पास विभाजन समस्याएं हल करते समय पहले ही भिन्न के विषय में कुछ अंतर्दृष्टि होती है:

• वे भिन्न की प्रासंगिक प्रकृति समझते हैं: यदि एक विद्यार्थी को एक बड़े केक का आधा केक मिलता है और दूसरे को एक छोटे केक का आधा केक मिलता है, तो उन दोनों को केक की समान मात्रा नहीं मिलती। उदाहरण के लिए, उन्हें यह भी पता होता है, कि आप किसी चीज़ को अलग अलग तरीकों से काट कर उसे साझा कर सकते हैं: इससे बनता है ‘अलग अलग भिन्न लेकिन अलग अलग राशि नहीं’। अंत में, वे विभाजक और मात्रा के बीच के व्युत्क्रम संबंध को समझते हैं: किसी चीज़ को जितने ज़्यादा लोग साझा करते हैं, हर किसी को उतना ही कम मिलेगा।

2 भिन्नों की समझ विकसित करना

दूसरी गतिविधि विद्यार्थियों द्वारा भिन्न की धारणाओं को शारीरिक रूप से दर्शाने पर केन्द्रित है। इसे मूर्त रूप भी कहते हैं। आप उन्हें गणितीय विचार दर्शाने के लिए उनके शरीरों का उपयोग करने के लिए कहेंगे। यदि किसी पूर्ण का भिन्न बनाने के लिए स्वयं एक स्थान से उठकर दूसरे स्थान पर जाते हैं, तो वे यह धारणा विकसित करने लगेंगे कि भिन्न क्या है और वे भिन्नों के साथ कैसे काम कर सकते हैं।

इस अंक में अपने विद्यार्थियों के साथ गतिविधियों के उपयोग का प्रयास करने से पहले अच्छा होगा कि आप सभी गतिविधियों को पूरी तरह या आंशिक रूप से स्वयं करके देखें। यह और भी बेहतर होगा अगर आप अपने किसी सहकर्मी के साथ मिलकर इसे करने का प्रयास करें क्योंकि स्वयं के अनुभव के आधार पर सिखाना आसान होगा। स्वयं प्रयास करने से आपको शिक्षार्थी के अनुभवों के भीतर झांकने का मौका मिलेगा जिसके फलस्वरूप यह आपके शिक्षण और एक शिक्षक के रूप में आपके अनुभवों को प्रभावित करेगा।

वीडियो: चिंतन को बढ़ावा देने के लिए प्रश्न पूछने का उपयोग करना

विचार के लिए रुकें ऐसे चिंतन को गति देने वाले अच्छे प्रश्न निम्नलिखित हैं: आपकी कक्षा में इसका प्रदर्शन कैसा रहा? विद्यार्थियों से किस प्रकार की प्रतिक्रिया अनपेक्षित थी? क्यों? अपने विद्यार्थियों की समझ का पता लगाने के लिए आपने क्या सवाल किए? क्या किसी भी समय आपको ऐसा लगा कि हस्तक्षेप करना चाहिए? किन बिंदुओं पर आपको लगा कि आपको और समझाना होगा? क्या आपने कार्य में किसी भी तरीके का संशोधन किया? अगर हाँ, तो इसके पीछे आपका क्या कारण था?

3 प्रभावी ढंग से प्रश्न पूछना

शिक्षक अपने कार्य में बहुत से प्रश्न पूछते हैं – कुछ शोधकर्ताओं का कहना है कि पढ़ाने के दौरान शिक्षक हर दिन लगभग 400 प्रश्न पूछते हैं! शिक्षक जितने बेहतर प्रश्न पूछेंगे, उतना ही बेहतर उनका शिक्षण होगा।

अच्छे सवालों के बारे में काफी शोध हो चुका है, उदाहरण के लिए रैग एंड ब्राउन (2001) और हैटी के द्वारा (2008)। शोध का निष्कर्ष यह था कि प्रभावशाली प्रश्न:

• ठोस रूप से अध्याय को सीखने से जुड़े होते हैं
• विद्यार्थियों के पूर्व ज्ञान को आगे बढ़ाते हैं
• विद्यार्थियों को शामिल, आकर्षित और प्रेरित करते हैं
• उच्च स्तर की सोच (लेकिन बहुत जल्दी नहीं!) को प्रोत्साहित करने के लिए क्रमित किए जाते हैं
• विद्यार्थियों को उनके खुद के ज्ञान को बढ़ाने में सक्षम करते हैं
• गलत धारणाओं और गलत दिशाओं को उजागर करते हैं
• सोच और तर्कक्षमता को प्रेरित करते हैं और चुनौती देते हैं

विचार के लिए रुकें आपके द्वारा पढ़ाए गए आखिरी अध्याय में अपने द्वारा पूछे गए प्रश्नों पर विचार करें। क्या उनसे विद्यार्थियों को सोचने के लिए चुनौती मिली? क्या कोई छोटा सा बदलाव विद्यार्थियों की वर्तमान शिक्षा के बारे में कुछ ज़्यादा उजागर कर पाता? क्या आपके सवालों ने विद्यार्थियों को अपनी शिक्षा को और विकसित करने के लिए और अधिक प्रोत्साहित किया होता?

गतिविधि 3 में आपसे पहले प्रभावशाली प्रश्न पूछने की तैयारी करने के लिए कहा जाता है, और फिर अपने विद्यार्थियों को पढ़ाते समय इन प्रश्नों को आज़माने के लिए कहा जाता है।

वीडियो: अध्याय नियोजन

विचार के लिए रुकें अपने विद्यार्थियों की समझ का पता लगाने के लिए आपने क्या सवाल किए? क्या आपको लगा कि आपको अपने तैयार किए गए प्रश्नों में कभी कोई फेरबदल करना पड़ा? क्यों? आपके अनुसार सीखने को बढ़ावा देने और आपको अपने विद्यार्थियों की सोच को समझने में मदद करने में आपके विद्यार्थियों को दिए गए आपके उत्तर कितने प्रभावशाली रहे?

4 प्रभावशाली प्रश्नकर्ता विद्यार्थियों को सोचने के लिए समय देते हैं

मैरी बड रो (1986) ने प्रश्न पूछने के बाद शिक्षकों द्वारा दिए जाने वाले ‘प्रतीक्षा समय’ पर शोध किया था। ‘प्रतीक्षा समय’ शांत समय की वह अवधि है जो कि शिक्षक कोई प्रश्न पूछने के बाद देते हैं जिससे पहले विद्यार्थी से उत्तर अपेक्षित होता है, या वे प्रश्न को अलग शब्दों में पूछते हैं या वो खुद प्रश्न का उत्तर दे देते हैं। उनकी टीम ने छह सालों में शिक्षकों द्वारा प्रश्न पूछने की 300 टेप रिकॉर्डिंग का विश्लेषण किया। उन्होंने पाया कि माध्य प्रतीक्षा समय 0.9 सेकंड था।

यदि आप एक ऐसा प्रश्न पूछते हैं जो विद्यार्थियों को सोचने पर मजबूर करता है, तो क्या आप वाकई उन्हें सोचने के लिए पर्याप्त समय दे रहे हैं, या आप उन्हें बस तुरंत प्रतिक्रिया देने के लिए समय दे रहे हैं?

बड रो के शोध के दौरान शिक्षकों को प्रशिक्षण दिया गया था ताकि वे अपने प्रतीक्षा समय को बढ़ा कर तीन से पांच सेकंड का कर सके। इस बढ़े हुए प्रतीक्षा समय के फलस्वरूप:

• विद्यार्थी के उत्तर की लंबाई में वृद्धि
• बिनमांगे, लेकिन उचित उत्तरों की बढ़ी हुई संख्या

• उत्तर देने में विफलता में कमी

• उत्तर पर आत्मविश्वास में वृद्धि

• विद्यार्थियों द्वारा दूसरे विद्यार्थी से अपने उत्तरों की तुलना करने की घटनाओं में वृद्धि

• प्रस्तावित किए गए वैकल्पिक वर्णनों की संख्या में अत्यधिक वृद्धि।

दूसरे शब्दों में विद्यार्थियों के पास सोचने के लिए अधिक समय था और इससे कक्षा में चलने वाली चर्चा का स्तर (और गुणवत्ता) बढ़ गया, और इसका अर्थ यह हुआ कि शिक्षकों को उनके विद्यार्थियों की सोच के बारे में अधिक पता चला और वे किसी भी गलतफहमी को दूर कर सकते थे। प्रतीक्षा समय को बढ़ाना आसान नहीं है शुरूआत में यह थोड़ा अजीब लग सकता है, लेकिन यदि आप चाहते हैं कि आपके विद्यार्थी सोचें, तो उन्हें पर्याप्त समय दिया जाना चाहिए।

गतिविधि 4 में आपसे इसी तरह अपनी कक्षा में प्रतीक्षा समय बढ़ाने के लिए कहा जाता है।

अगली गतिविधि में ऐसे कई विचारों को एक साथ लिंक किया गया है जिन पर अब तक चर्चा की जा चुकी है। इस में सुझाया गया है कि आप:

• विद्यार्थियों से कुछ चुनौतीपूर्ण प्रश्नों के जवाब देने के लिए ठोस वस्तुओं के साथ कार्य करने को कहें

• विद्यार्थियों से साथ में कार्य करने को कहें ताकि वो एक दूसरे की सहायता कर सकें
• उन्हें सोचने के लिए अधिक समय दें।

गतिविधि 5: भिन्न के बारे में सीखना

तैयारी

यह गतिविधि एक उदाहरण है कि विद्यार्थियों को भिन्न की समझ को बढ़ाने में किस तरह की समृद्ध गतिविधि की आवश्यकता है। इस कार्य के लिए आपको कागजी प्लेट, या समान आकार के आयतों में कटे कार्ड की आवश्यकता होगी।

विद्यार्थियों को तीन या चार के समूह में कार्य करने के लिए व्यवस्थित करें, और उन्हें कागजी प्लेट या कार्ड का एक गट्ठा दे दें। इसे तैयार करने में खुद की मदद के लिए आप शायद प्रमुख संसाधन ‘समूह कार्य का उपयोग’ पर नज़र डालना चाहें। Using groupwork

गतिवधि

• पहले अपने विद्यार्थियों को आपको आधी प्लेट, और और फिर चौथाई प्लेट दिखाने को कहें। यह महत्वपूर्ण है कि आप उन्हें यहां एक प्लेट लेने के बारे में न बताएं; उन्हें यह खुद ही सोचने दीजिए।
• अब हर समूह को प्लेट की मदद से ‘छह का आधा’ दिखाने को कहें।

सुनिश्चित करें कि आगे बढने से पहले हर कोई कर पा रहा है।

• विद्यार्थियों से ऐसी कई भिन्न समस्याएं सुझाने को कहें जो वे प्लेट की मदद से हल कर सकते हैं। हर बार कक्षा से प्लेट की मदद से आपको समाधान बताने को कहें। यदि वे बस एक प्लेट की मदद से प्रश्न नहीं सुझा पाते तो उन्हें बताएं।

इसके पीछे कारण है हर किसी को भिन्न से खेलने के लिए और यह विचार करने के लिए कि भिन्न क्या हैं, थोड़ा समय देना।

• विद्यार्थियों से पूछें कि जिन दो प्रकार के प्रश्नों पर उन्होंने अब तक काम किया है उनमें समान क्या है और अलग क्या है। इससे विद्यार्थियों को कुछ अलग तरीके समझ में आएंगे जिनके तहत गणित में भिन्न का उपयोग किया जाता है।

चित्र 1 विद्यार्थियों का एक समूह भिन्न सीखने के लिए प्लेटों का उपयोग करते हुए।

अब उन समस्याओं पर जाएं जो इन दो विचारों को मिलाती है।

• कक्षा से पहले 12 का ढूंढने के लिए कहें, और फिर 13 का ढूंढने के लिए कहें।
• जब कक्षा को इसे हल करने का समय मिल चुका हो, एक समूह से उस प्रक्रिया का वर्णन करने को कहें जिससे होकर उन्हें दूसरी समस्या को हल करने के लिए गुज़रना पड़ा।
• अब विद्यार्थियों से यह सुझाने को कहें कि वे गणितीय संकेतन का उपयोग करके समस्या और उसका उत्तर कैसे दर्ज कर सकते हैं। इस पर समय बिताएं, क्योंकि यह महत्वपूर्ण है कि विद्यार्थी समस्याओं को लिखने के तरीके और प्लेट के साथ वे क्या कर रहे हैं इसके बीच के संबंध को पहचान पाएं।
• अब कक्षा को प्लेट का उपयोग करके अन्य ‘कठिन भिन्न समस्याओं’ को हल करने के लिए कहें, उदाहरण के लिए, 12 का , या 10 का , जिसमें दो प्लेट को साझा करना होता है।
• एक बार फिर, सुझाव मांगें और चर्चा करें कि इन उपायों को कैसे लिखा जाना चाहिए।
• हर समूह को दूसरे समूह के लिए भिन्न की एक आसान समस्या और एक कठिन समस्या बनाने को कहें। प्रत्येक समूह को उनके उत्तर दर्ज करने को कहें।

विचार के लिए रुकें अपने विद्यार्थियों की समझ का पता लगाने के लिए आपने क्या सवाल किए? क्या किसी भी समय आपको ऐसा लगा कि हस्तक्षेप करना चाहिए? किन बिंदुओं पर आपको लगा कि आपको और समझाना होगा? क्या आपने श्री भाटिया की तरह कार्य में किसी तरह का कोई फेरबदल किया? अगर हाँ, तो इसके पीछे आपका क्या कारण था?

5 सारांश

इस इकाई में भिन्न पढ़ाने पर ध्यान केन्द्रित किया गया है, लेकिन आपने यह भी सीखा कि ऐसे प्रश्न कैसे पूछे जाएं जो विद्यार्थियों को सोचने का मौका दें और विद्यार्थियों को सोचने के लिए पर्याप्त समय देने के महत्व के बारे में भी जाना।

इस इकाई का अध्ययन करते समय आपने सोचा कि भिन्न के बारे में विद्यार्थियों के विचारों को विकसित करने में कैसे उन्हें सक्षम करें, और यह भी कि यदि विद्यार्थियों को भिन्नों के बारे में सीखना, समझना और विचारों का उपयोग करना है तो उन्हें समृद्ध और विविध गतिविधियां उपलब्ध कराना कितना आवश्यक है।

आपने यह भी देखा कि शिक्षण में बेहतर बनने के लिए शिक्षा पर विचार करना, और शिक्षा कैसे होती है, ये दोनों कितने महत्वपूर्ण हैं।

विचार के लिए रुकें इस इकाई में सीखी गई उन तीन तकनीकों अथवा पद्धतियों को पहचानें जिनका उपयोग आप गणित की भावी कक्षाओं में कर सकते हैं, और उन दो विचारों को पहचानें जिन्हें आप आगे और समझना चाहते हैं।

संसाधन

संसाधन 1: एनसीएफ/एनसीएफटीई शिक्षण आवश्यकताएँ

यह यूनिट NCF (2005) तथा NCFTE (2009) की निम्न शिक्षण आवश्यकताओं से जोड़ता है तथा उन आवश्यकताओं को पूरा करने में आपकी मदद करेगा:

• शिक्षार्थियों को उनके शिक्षण में सक्रिय प्रतिभागी के रूप में देखें न कि सिर्फ ज्ञान प्राप्त करने वाले के रूप में; ज्ञान निर्माण के लिए उनकी क्षमताओं को कैसे प्रोत्साहित करें; रटने वाली पद्धतियों से शिक्षण को दूर कैसे ले जाएँ।
• विद्यार्थियों को गणित को किसी ऐसी चीज़ के रूप में लेने दें जिसके बारे में वे बात करें, जिसके द्वारा संवाद करें, जिसकी आपस में चर्चा करें, जिस पर साथ मिलकर कार्य करें।
• विद्यार्थियों को महत्वपूर्ण गणित सीखने दें और देखें कि गणित, सूत्रों और यांत्रिक प्रक्रियाओं से कहीं ज़्यादा है।

संसाधन 2: विद्यार्थियों से उत्तर प्राप्त करना

अतिरिक्त संसाधन

• A newly developed maths portal by the Karnataka government: http://karnatakaeducation.org.in/ KOER/ en/ index.php/ Portal:Mathematics
• National Centre for Excellence in the Teaching of Mathematics: https://www.ncetm.org.uk/
• National STEM Centre: http://www.nationalstemcentre.org.uk/
• National Numeracy: http://www.nationalnumeracy.org.uk/ home/ index.html
• BBC Bitesize: http://www.bbc.co.uk/ bitesize/
• Khan Academy’s math section: https://www.khanacademy.org/ math
• NRICH: http://nrich.maths.org/ frontpage
• Art of Problem Solving’s resources page: http://www.artofproblemsolving.com/ Resources/ index.php
• Teachnology: http://www.teach-nology.com/ worksheets/ math/
• Math Playground’s logic games: http://www.mathplayground.com/ logicgames.html
• Maths is Fun: http://www.mathsisfun.com/
• Coolmath4kids.com: http://www.coolmath4kids.com/
• National Council of Educational Research and Training’s textbooks for teaching mathematics and for teacher training of mathematics: http://www.ncert.nic.in/ ncerts/ textbook/ textbook.htm
• AMT-01 Aspects of Teaching Primary School Mathematics, Block 1 (‘Aspects of Teaching Mathematics’), Block 2 (‘Numbers (I)’), Block 3 (‘Numbers (II)’), Block 4 (‘Fractions’): http://www.ignou4ublog.com/ 2013/ 06/ ignou-amt-01-study-materialbooks.html
• LMT-01 Learning Mathematics, Block 1 (‘Approaches to Learning’) Block 2 (‘Encouraging Learning in the Classroom’), Block 4 (‘On Spatial Learning’), Block 5 (‘Exploring Numbers’), Block 6 (‘Thinking Mathematically’): http://www.ignou4ublog.com/ 2013/ 06/ ignou-lmt-01-study-materialbooks.html
• Manual of Mathematics Teaching Aids for Primary Schools, published by NCERT: http://www.arvindguptatoys.com/ arvindgupta/ pks-primarymanual.pdf
• Learning Curve and At Right Angles, periodicals about mathematics and its teaching: http://azimpremjifoundation.org/ Foundation_Publications
• Textbooks developed by the Eklavya Foundation with activity-based teaching mathematics at the primary level: http://www.eklavya.in/ pdfs/ Catalouge/ Eklavya_Catalogue_2012.pdf
• Central Board of Secondary Education’s books and support material (also including List of Hands-on Activities in Mathematics for Classes III to VIII) – select ‘CBSE publications’, then ‘Books and support material’: http://cbse.nic.in/ welcome.htm

References

Acknowledgements

अभिस्वीकृतियाँ

यह सामग्री क्रिएटिव कॉमन्स एट्रिब्यूशन-शेयरएलाइक लाइसेंस (http://creativecommons.org/ licenses/ by-sa/ 3.0/ )) के अंतर्गत उपलब्ध कराई गई है, जब तक कि अन्यथा निर्धारित न किया गया हो। यह लाइसेंस TESS-India, OU और UKAID लोगो के उपयोग को वर्जित करता है, जिनका उपयोग केवल TESS-India परियोजना के भीतर अपरिवर्तित रूप से किया जा सकता है।

कॉपीराइट के स्वामियों से संपर्क करने का हर प्रयास किया गया है। यदि किसी को अनजाने में अनदेखा कर दिया गया है, तो पहला अवसर मिलते ही प्रकाशकों को आवश्यक व्यवस्थाएं करने में हर्ष होगा।

वीडियो (वीडियो स्टिल्स सहित): भारत भर के उन अध्यापक शिक्षकों, मुख्याध्यापकों, अध्यापकों और विद्यार्थियों के प्रति आभार प्रकट किया जाता है जिन्होंने उत्पादनों में दि ओपन यूनिवर्सिटी के साथ काम किया है।