वास्तविक जीवन के संदर्भों का उपयोग करना : औपचारिक भाग कलन विधि

यह इकाई किस बारे में है

इस अंक में आप अपने विद्यार्थियों को उनके परिचित संदर्भों के माध्यम से ‘भाग’ विधि के बारे में सिखाने का तरीका जानेगें। आप इस बात पर भी ध्यान देंगे कि विद्यार्थी किसी मूर्त सोच की बजाय उसका वास्तविक अर्थ बताते हुए किस प्रकार ‘भाग’ विधि व्यक्त कर सकते हैं।

इन गतिविधियों के माध्यम से आप अपने विद्यार्थियों द्वारा जटिल विचारों को समझने तथा कार्य बाटंने के लिए एक साथ काम करने की योग्यता को विकसित करने के बारे में सोच पाएँगे ताकि अधिक विचारों के बारे में सोचा और अधिक जुड़ावों के बारे में समझा जा सके। आप विद्यार्थियों के लिए इस बात को दृष्टिगोचर बनाने के बारे में भी सोच पाएँगे कि जो कुछ भी चल रहा है, उसके माध्यम से वे गणितीय विचारों को बेहतर नियंत्रण के साथ कर पाने में सक्षम होंगे।

आप इस इकाई में क्या सीख सकते हैं

• ‘भाग’ विधि के पीछे गणितीय विचारों को समझने में आपके विद्यार्थियों की मदद किस प्रकार करें।
• गणित की कक्षा में समूह कार्य का उपयोग करने के लिए कुछ सुझाव।
• गणितीय विचार और वास्तविक जीवन के बीच संबंध को समझने में आपके विद्यार्थियों की मदद के लिए कुछ विचार।

इस इकाई का संबंध NCF (2005) और NCFTE (2009) की दर्शाई गई शिक्षण आवश् यकताओं से है। संसाधन 1।

1 औपचारिक ‘भाग’ विधि

नीचे दी गई औपचारिक भाग विधि, भाग का बहुत ही स्पष्ट और औपचारिक रूप से वर्णन करती है:

किसी भी सटीक सकारात्मक पूर्ण संख्या d (भाजक) और पूर्ण संख्या a में अद्वितीय पूर्ण संख्याएँ q (भागफल) और r (शेषफल) होती हैं

a = qd + r

और

0

एक पूर्ण संख्या जो कि 0 से बड़ी हो, वह एक सटीक सकारात्मक पूर्ण संख्या होती है।

दो स्थितियाँ a = qd + r and 0

हालाँकि, ये दोनों स्थितियाँ प्रक्रियात्मक नहीं हैं, जिसका मतलब है कि ये वास्तव में भागफल और शेषफल का पता लगाने के लिए कोई विधि प्रदान नहीं करती हैं (लेडी, 2000)। यह जानते हुए कि 45 किसी ऐसी संख्या के बराबर है जो छः से गुणा करने, साथ ही कोई अन्य संख्या जोड़ने पर आती है। आपको स्वयं वह कार्यविधियाँ नहीं बताती हैं जिससे आप उन संख्याओं का पता लगा सकें।

औपचारिक भाग विधि मुख्यत: उन संख्याओं को ढूँढने का अध्ययन है जिसमें आपको संख्या a की सबसे निकटतम संख्या प्राप्त करने के लिए उसे भागफल से गुणा करना होता है। यह ध्यान देने वाली बात है, क्योंकि साझा करना किसी विद्यार्थी द्वारा भाग को समझने की एक उपयुक्त संकल्पना है (उदाहरण, अगर मैं 45 मिठाइयों को 6 बच्चों में बराबर-बराबर बाँट दूँ, तो उन्हें कितनी मिठाइयाँ मिलेंगी? कितनी मिठाइयाँ बच गई है?), या समूहीकरण (उदाहरण, कुल 45 बच्चों की संख्या पूर्ण करने के लिए 6 बच्चों के कितने समहू होने चाहिए?), उसके बाद उन्हें औपचारिक कलन विधि की समस्या हल करने की समझ आ जाएगी।

अपने विद्यार्थियों को प्रोत्साहित करना आवश्यक है ताकि वे भाग को गहराई से समझ पाएँ, और अगर वे इस सोच के पीछे के विचार के अर्थ को समझते हैं, तो उन्हें भाग कलन विधि और अच्छे से समझ आ जाएगी।

विचार के लिए रुकें इस बारे में सोचें कि आपने भाग को पहले कैसे पढ़ाया था। आप सामान्य रूप से भाग के बारे में कैसे बात करते हैं? उदाहरण के लिए, अगर आपके किसी विद्यार्थी को 24 ÷ 6 हल करने में समस्या आ रही है, तो आपके दिमाग में पहली चीज़ क्या आती है? क्या ये गुणन का उलट है (‘छः की तालिका के बारे में सोचें – कितने छः मिलकर 24 बनते हैं?’), समूहीकरण (‘छः के कितने समूह मिलकर 24 बन सकते हैं?’) या कुछ और? क्या आपने अपने विद्यार्थियों से इस बारे में बात की है कि भाग के बारे में इन विभिन्न सिद्धांतों में क्या समान और क्या अलग है? ये विभिन्न सिद्धांत आपके विद्यार्थियों को किस प्रकार भ्रमित कर सकते हैं?

2 यह देखने में सक्षम होना कि भाग में क्या हो रहा है

विद्यार्थियों के लिए भाग का सिद्धांत समझ पाना आंशिक रूप से कठिन हो सकता है, क्योंकि इसे समझने के कई सिद्धांत दिए गए हैं। जब आपको इस प्रकार की समस्या आए, जैसे कि ‘42 भाग 6’, तो आप इसे ऐसे पढ़ सकते हैं:

• ‘42 में कितने 6 आते हैं?’
• ‘42 में से 6 के कितने समूह बन सकते हैं?’
• ‘इनमें से कितने प्रत्येक छः समूहों में आ सकते हैं?’
• ‘42 का एक-छठा हिस्सा क्या होगा?’

हालाँकि, उत्तर हमेशा 7 होगा, लेकिन इस उत्तर तक पहुँचने के लिए कई अलग-अलग तरीके होंगे, जिससे कुछ विद्यार्थी भ्रमित हो सकते हैं।

विद्यार्थियों की यह समझने में मदद करना कि भाग के बारे में सोचने के एक से अधिक तरीके हैं और हर दिन बोली जाने वाली भाषा की संभावित अस्पष्टता के बारे में सचेत रहने से उनका गणितीय विकास होगा। विद्यार्थियों को विभाजन देने से संबंधित सभी कार्यों, जैसे कि ‘42 को 6 से विभाजित करें’, का निर्देश देने वाली प्रत्येक समस्याओं के अर्थ के बारे में बहुत ध्यानपूर्वक विचार करने की शिक्षा देना महत्वपूर्ण है।

यह कल्पना करने में सक्षम होना कि क्या हो रहा है, कलन विधि को समझने के लिए एक महत्वपूर्ण चरण है। निम्न गतिविधि में आप विद्यार्थियों से सरल ज्ञान का उपयोग करके भाग करने और भागफल तथा शेषफल ढूँढने के लिए कह सकते हैं। विद्यार्थियों द्वारा इस गतिविधि में समझी गई बातों के आधार पर आप आगे की गतिविधियाँ तैयार कर सकते हैं ताकि भाग कलन विधि के बारे में अधिक गहराई से समझा जा सके।

अपने विद्यार्थियों के साथ गतिविधियों के उपयोग का प्रयास करने से पहले अच्छा होगा कि आप सभी गतिविधियों को पूरी तरह या आंशिक रूप से स्वयं करके देखें। यह और भी बेहतर होगा यदि आप इसका प्रयास अपने किसी सहकर्मी के साथ करें क्योंकि स्वयं के अनुभव के आधार पर सिखाना आसान होगा। स्वयं प्रयास करने से आपको शिक्षार्थी के उन अनुभवों के भीतर झांकने का अवसर मिलेगा जो आपके शिक्षण और एक शिक्षक के रूप में आपके अनुभवों को प्रभावित कर सकते हैं।

गतिविधि 1: लंबाइयों का भाग

तैयारी

यह गतिविधि विद्यार्थियों की भाग की गणितीय समझ को चुनौती देने के लिए तैयार की गई है। अगर आपके विद्यार्थी की आयु कम है या भाग का कम अनुभव है, तो सरल संख्याओं का उपयोग करें – महत्वपूर्ण है उनके द्वारा मन में बनने वाला चित्र और उनकी सोच।

यह गतिविधि सर्वश्रेष्ठ ढंग से चार से छः विद्यार्थियों के समूहों में की जा सकती है। इस गतिविधि के लिए स्वयं को तैयार करने हेतु हो सकता है कि आप संसाधन 2, 'समूहकार्य का उपयोग करना' देखना चाहें।

गतिवधि

अपने विद्यार्थियों को निम्न बताएँ:

रजनी को अपने बेडरूम में नया सिरेमिक फ्लोर टाइलें लगवाना है (चित्र 1)। बेडरूम के फ्लोर की लंबाई 5,273 मिमी और चौड़ाई 4,023 मिमी है।

चित्र 1 रजनी के बेडरूम फ्लोर के लिए टाइलें।

उसने कैटलॉग देखा और टाइलों के दो डिज़ाइन छाँट लिए:

• पिंक स्पैरो
• रोज़वुड मैट।

वर्गाकार पिंक स्पैरो की लम्बाई 600 मिमी और रोज़वुड मैट की लम्बाई 450 मिमी है।

• रजनी के बेडरूम फ्लोर का आकार कैसा होगा?
• अपनी कॉपी में रजनी के बेडरूम फ्लोर का चित्र बनाएँ। आरंभ करने से पहले, इस बारे में सोचें: आप कॉपी में 5273 मिमी0 की लंबाई और 4023 मिमी0 की चौड़ाई वाला आयत नहीं बना सकते हैं। आप रजनी के बेडरूम फ्लोर को दर्शाने वाला एक आयत कैसे बनाएँगे? समूह में चर्चा करें।
• (शिक्षक के लिए नोट: अगर आपकी कक्षा के विद्यार्थी कम आयु के हैं या उन्होंने अभी तक मापन करना नहीं सीखा है, तो इस प्रश्न को छोड़कर अगला प्रश्न पूछें)। अब:
  • रजनी के बेडरुम के फ्लोर का अलग–अलग पैमाने का उपयोग करके जितना सटीक हो सके उतना तीन अलग–अलग आकार के चित्र बनाए। (अगर अलग अलग पैमानों का उपयोग करने से गतिविधि बहुत कठिन हो रही है, तो केवल एक पैमाने का उपयोग करें।) चित्र के सामने उपयोग किए गए पैमाने को दर्ज करना याद रखें। तीनों चित्रों के बीच अंतर बताएँ।
  • प्रत्येक तीन चित्रों में, फ्लोर के चित्र को पिंक स्पैरो टाइलों और रोज़वुड मैट टाइलों से भर दें।
  • क्या अलग अलग आकारों वाले चित्र को भरने के लिए उपयोग की गई टाइलें/टाइलों की संख्या समान हैं? क्यों?
• रजनी हर तरह की टाइल से फ्लोर को कवर करने के लिए टाइलों की कितनी पंक्तियों का उपयोग करेगी? क्या ये पंक्तियाँ संपूर्ण फ्लोर को कवर करेंगी? क्यों या क्यों नहीं?
• रजनी हर तरह की टाइल से फ्लोर को कवर करने के लिए टाइलों के कितने स्तंभ का उपयोग करेगी? क्या ये स्तंभ संपूर्ण फ्लोर को कवर करेंगे? क्यों या क्यों नहीं?

वीडियो: समूहकार्य का उपयोग करना

विचार के लिए रुकें चिंतन को बढ़ावा देने वाले अच्छे प्रश्न हैं: आपकी कक्षा में इसका प्रदर्शन कैसा रहा? विद्यार्थियों से किस प्रकार की प्रतिक्रिया अनपेक्षित थी? क्यों? अपने विद्यार्थियों की समझ का पता लगाने के लिए आपने क्या सवाल किए? क्या किसी भी समय आपको ऐसा लगा कि हस्तक्षेप करना चाहिए? किन बिंदुओं पर आपको लगा कि आपको और समझाना होगा? आपके विद्यार्थियों को गणितीय अवधारणाओं की कितनी अच्छी समझ थी? क्या आपने कार्य में किसी भी तरीके का संशोधन किया? अगर हाँ, तो इसके पीछे आपका क्या कारण था?

3 संबंध स्थापित करना

यह पहली गतिविधि दर्शाती है कि रोजम़र्रा की गणनाओं के लिए भाग का कितना महत्व होता है और भाग कलन विधि का उस संदर्भ में उपयोग करके, जिससे विद्यार्थी परिचित हों, उसे कैसे अधिक समझने योग्य बनाया जा सकता है। गणित के अधिकांश पाठों में ‘भाग’ एक महत्वपूर्ण हिस्सा होता है। वास्तव में, अनुपातिकता की बड़ी अवधारणा, जो कि भिन्नों और अनुपात को संयुक्त बनाती है, भाग के प्रति विद्यार्थियों की समझ पर निर्भर करती है।

उदाहरण के लिए, किसी केक का अनुपातिक भाग वह हिस्सा होता है, जो प्रत्येक व्यक्ति को कम से कम एक भाग देता है, जिसे ‘अनुपातिक हिस्सा’ कहा जा सकता है।

अगली गतिविधि उन विद्यार्थियों को भाग के प्रति अपने विचारों को विकसित करने में मदद करने के लिए, गतिविधि 1 के सन्दर्भ को विस्तृत करने के लिए प्रारंभ की जाती है।

विचार के लिए रुकें विद्यार्थियों से किस प्रकार की प्रतिक्रिया अनपेक्षित थी? ये जवाब आपको शेष के अर्थ की आपकी समझ के बारे में क्या बताते हैं? किन बिंदुओं पर आपको लगा कि आपको और समझाना होगा? क्या आपने कार्य में किसी भी तरीके का संशोधन किया? अगर हाँ, तो इसके पीछे आपका क्या कारण था?

4 भाग विधि

अगली गतिविधि औपचारिक भाग विधि पर वापस ले जाती है। विद्यार्थियों से यह पूछना निर्धारित किया गया है कि वे खुद से भाग विधि को सूत्रबद्ध करना प्रारंभ करें।

गतिविधि 1 और 2 में विद्यार्थियों से यह कल्पना करने के लिए कहा गया है कि जब वे भाग का उपयोग करते हैं तो क्या होता है और शेष के बारे में चर्चा प्रारंभ करने के लिए भी कहा गया है। गतिविधि 3 इन विचारों को ऐसी गणितीय भाषा में औपचारिक बनाने की प्रक्रिया को शुरू करती है, जिसे गणितीय पाठ्यपुस्तकों में प्राप्त किया जा सकता है। यह गतिविधि उस प्रक्रिया (गतिविधि 4 में जारी रहती है) को भी प्रारंभ करती है, जिसमें विद्यार्थियों से गणितज्ञों की तरह ही गणित लिखने के लिए कहा जाता है।

वीडियो: प्रगति और कार्यप्रदर्शन का आकलन करना

विचार के लिए रुकें श्रीमती अग्रवाल ने टिप्पणी दी कि उन विद्यार्थियों ने भी योगदान दिया, जो गणित की गतिविधियों में भाग लेने में आमतौर पर दिलचस्पी नहीं दिखाते थे। यह बढ़िया है! भाग कलन विधि को वे समझ पाएँ यह निश्चित करने के लिए, उन्होंने किन-किन दृष्टिकोणों का उपयोग किया था या क्या उन्हें अपनी समझ को समेकित करने के लिए, अभी भी और अवसरों की आवश्यकता थी? इस पर विचार करने के बाद, हो सकता है कि आपको मुख्य संसाधन ‘प्रगति और प्रदर्शन का मूल्यांकन करना’ पर नज़र डालना उपयोगी लगे। Assessing progress and performance

5 बड़े पैमाने पर काम करना

विद्यार्थियों को वास्तविक-जीवन के पैमाने पर काम करने के लिए कहना उनके आसपास की चीज़ों में भाग को देखने में उनकी मदद करने में उपयोगी हो सकता है। अगली गतिविधि जारी रहती है और विद्यार्थियों से भाग विधि की खोज करने और गणित की चिह्नात्मक भाषा का उपयोग करने के लिए कहती है, लेकिन इस बार वे बड़े पैमाने पर काम करेंगे।

किसी वास्तविक स्थिति के बारे में विचार करने और उनके द्वारा पता लगाई गई किसी समस्या के उत्तर की तैयारी करने से विद्यार्थियों को कल्पना शक्ति को आगे विकसित करने में और चिह्नात्मक गणित के अर्थ की कल्पना करने में मदद मिलेगी।

गतिविधि 4: वास्तविक जीवन परिस्थिति में भाग विधि का उपयोग करना

भाग 1: स्कूल के मैदानों में

तैयारी

इस गतिविधि में विद्यार्थी अपने स्कूल के किसी विशेष भाग में टाइल वाले तल को तैयार करेंगे, उदाहरण के लिए, खेल के मैदान का कोई क्षेत्र।

विद्यार्थियों को स्कूल के मैदानों में काम पर ले जाते समय (चित्र 2), आपको हमेशा यह सुनिश्चित करना चाहिए, कि आपके विद्यार्थी उन सुरक्षा जोखिमों से अवगत हैं, जिनसे उनका सामना हो सकता है, जैसे कि चलते वाहन या निर्माण कार्य और मौसम में होने वाले परिवर्तनों के लिए तैयार होना।

चित्र 2 किसी गतिविधि के लिए स्कूल के मैदान का उपयोग करना।

गतिवधि

कक्षा को दो या तीन विद्यार्थियों के समूहों में विभाजित करें। प्रत्येक समहू से निम्न करने के लिए कहें:

• स्कूल के कुछ भागों या हिस्सों का पता लगाएँ, जहाँ वे इन टाइलों को लगाना चाहते हैं। इस कार्य के लिए बाध्यता यह है कि उस हिस्से की आकृति एक आयताकार होनी चाहिए। वे सीढ़ियों या पायदानों, गलियारों, कमरों, खुली जगहों, फ्लोर या दीवारों, आदि को चुन सकते हैं।
• उस फ्लोर या दीवार की लंबाई L और चौड़ाई B को मापें, जहाँ वे टाइल लगाएँगे।
• उस वर्गाकार टाइल की लंबाई (l) चुनें, जिसे वे उस फ्लोर या दीवार पर लगाना चाहते हैं।
• चुनी गई टाइल के लिए, L और B दोनों के हेतु q और r (पिछली गतिविधि से सदंर्भ लें) के मान की गणना करें।

एक बार इन्हें कर लेने के बाद, प्रत्येक समूह रिपोर्ट करने के लिए कक्षा में वापस आता है।

भाग 2: कक्षा में वापस

तैयारी

ब्लैकबोर्ड पर, तालिका 1 में दर्शाए गए अनुसार एक तालिका बनाएँ, जिसमें उतनी पंक्तियाँ जोड़ें, जितने समूह मौजूद हों।

तालिका 1 वास्तविक जीवन की स्थिति में भाग विधि का उपयोग करना।

	L	l	q	r	B	l	q	r
समूह 1
समूह 2
समूह 3
समूह 4
समूह 5
समूह …

गतिवधि

उन समूहों से इस गतिविधि के भाग 1 से प्राप्त उनके निष्कर्षों के साथ उस ब्लैकबोर्ड पर दी गई तालिका में अपनी पंक्ति में भरने के लिए कहें। कक्षा के साथ निम्न की चर्चा करें:

• प्रत्येक समहू के विद्यार्थियों की अवलोकनों के बीच क्या समानता और क्या भिन्नता है?
• क्या आपमें से किसी को भी r का मान 0 प्राप्त हुआ? आपको क्या लगता है कि आपको यह मान क्यों प्राप्त हुआ?
• अगर आप यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि r = 0, तो आप l के मानों को कैसे बदलेंगे?
• अगर L और B दोनों के लिए, मान r = 0 है, तो L और B के बीच क्या संबंध है?
• भाग कलन विधि के साथ (L, l, q और r) के बीच का संबंध कैसे जुड़ा हुआ है?

विचार के लिए रुकें विद्यार्थियों से किस प्रकार की प्रतिक्रिया अनपेक्षित थी? यह भाग विधि की उनकी समझ के बारे में क्या प्रकट करता है? अपने विद्यार्थियों की समझ का पता लगाने के लिए आपने क्या सवाल किए? क्या आपने कार्य में किसी भी तरीके का संशोधन किया? अगर हाँ, तो इसके पीछे आपका क्या कारण था?

6 सारांश

यह इकाई भाग विधि, भाग के बारे में विद्यार्थियों को समझने में मदद करने के तरीकों और भाग संबंधी विधि के कार्य करने के तरीकों पर केंद्रित है।

इस इकाई में आपको इस बारे में पता चल जाएगा कि अपने विद्यार्थियों को उन संदर्भों का उपयोग करने के लिए कैसे सक्षम बनाया जाए, जिसका वे संभवतः अपनी दैनिक ज़िंदगी में अनुभव करेंगे, ताकि वे अपने द्वारा की जाने वाली चीज़ों की कल्पना करने में सक्षम हो जाएँ। इस तरीके से उनके अंदर भाग विधि का क्या अर्थ होता है, इसकी समझ विकसित होगी।

आप इन विचारों का उपयोग गणित की अन्य अवधारणाओं के लिए कर सकते हैं। विद्यार्थियों के लिए ‘वास्तविक-जीवन’ की किसी समस्या को निर्धारित करने से वे जुड़ते हैं और उन्हें यह देखने में मदद मिलती है कि गणित, स्कूल के बाहर कैसे उपयोगी होता है। समूह में कार्य करने से सभी विद्यार्थी एक दूसरे का सहयोग करते हुए चर्चा कर पाते हैं और नए-नए विचार विकसित कर पाते हैं। उनकी गणित से जुड़ी समझ का विकास करने के लिए संवाद महत्वपूर्ण है।

इस इकाई से आपने यह समझ लिया होगा कि उनकी खुद की दुनिया से असंबंधित कलन विधि को उनके सामने प्रस्तुत करने की बजाय इस संबंध के निष्कर्ष तक उन्हें खुद से पहुँचने देकर, भाग विधि के प्रत्येक भाग को समझने में विद्यार्थियों की मदद कैसे की जाए। आपने इस बात पर ध्यान दिया होगा कि विद्यार्थियों से अलग अलग तरीकों से भाग की अवधारणा पर नजऱ डालने के लिए कहने से उन्हें महत्वपूर्ण संबंध स्थापित करने में मदद मिलती है।

आपने यह भी देखा होगा कि अपने विद्यार्थियों को सीखने में बेहतर सहायता करने में आपके शिक्षण को प्रतिबिंबित करना कितना महत्वपूर्ण है।

विचार के लिए रुकें इस इकाई में सीखी गई उन तीन तकनीकों अथवा युक्तियों को पहचानें जिनका उपयोग आप अपनी कक्षाओं में फिर से कर सकते हैं।

संसाधन

संसाधन 1: एनसीएफ/एनसीएफटीई शिक्षण आवश्यकताएँ

यह यूनिट NCF (2005) तथा NCFTE (2009) की निम्न शिक्षण आवश्यकताओं से जोड़ता है तथा उन आवश्यकताओं को पूरा करने में आपकी मदद करेगा:

• शिक्षार्थियों को उनके शिक्षण में सक्रिय प्रतिभागी के रूप में देखें न कि सिर्फ़ ज्ञान प्राप्त करने वाले के रूप में; ज्ञान निर्माण के लिए उनकी क्षमताओं को कैसे प्रोत्साहित करें; रटने की प्रणाली से शिक्षण को दूर कैसे ले जाएँ।
• विद्यार्थियों को गणित को इस रूप में लेने दें जिसके बारे में वे बात करें, जिसके द्वारा संवाद करें, जिसकी आपस में चर्चा करें, जिस पर साथ मिलकर कार्य करें।

संसाधन 2: समूहकार्य का उपयोग करना

अतिरिक्त संसाधन

• ‘The division algorithm’ by E.L. Lady: http://www.math.hawaii.edu/ ~lee/ courses/ Division.pdf
• A newly developed maths portal by the Karnataka government: http://karnatakaeducation.org.in/ KOER/ en/ index.php/ Portal:Mathematics
• National Centre for Excellence in the Teaching of Mathematics: https://www.ncetm.org.uk/
• National STEM Centre: http://www.nationalstemcentre.org.uk/
• National Numeracy: http://www.nationalnumeracy.org.uk/ home/ index.html
• BBC Bitesize: http://www.bbc.co.uk/ bitesize/
• Khan Academy’s math section: https://www.khanacademy.org/ math
• NRICH: http://nrich.maths.org/ frontpage
• Art of Problem Solving’s resources page: http://www.artofproblemsolving.com/ Resources/ index.php
• Teachnology: http://www.teach-nology.com/ worksheets/ math/
• Math Playground’s logic games: http://www.mathplayground.com/ logicgames.html
• Maths is Fun: http://www.mathsisfun.com/
• Coolmath4kids.com: http://www.coolmath4kids.com/
• National Council of Educational Research and Training’s textbooks for teaching mathematics and for teacher training of mathematics: http://www.ncert.nic.in/ ncerts/ textbook/ textbook.htm
• AMT-01 Aspects of Teaching Primary School Mathematics, Block 1 (‘Aspects of Teaching Mathematics’), Block 2 (‘Numbers (I)’), Block 3 (‘Numbers (II)’): http://www.ignou4ublog.com/ 2013/ 06/ ignou-amt-01-study-materialbooks.html
• LMT-01 Learning Mathematics, Block 1 (‘Approaches to Learning’) Block 2 (‘Encouraging Learning in the Classroom’), Block 4 (‘On Spatial Learning’), Block 6 (‘Thinking Mathematically’): http://www.ignou4ublog.com/ 2013/ 06/ ignou-lmt-01-study-materialbooks.html
• Manual of Mathematics Teaching Aids for Primary Schools, published by NCERT: http://www.arvindguptatoys.com/ arvindgupta/ pks-primarymanual.pdf
• Learning Curve and At Right Angles, periodicals about mathematics and its teaching: http://azimpremjifoundation.org/ Foundation_Publications
• Textbooks developed by the Eklavya Foundation with activity-based teaching mathematics at the primary level: http://www.eklavya.in/ pdfs/ Catalouge/ Eklavya_Catalogue_2012.pdf
• Central Board of Secondary Education’s books and support material (also including List of Hands-on Activities in Mathematics for Classes III to VIII) – select ‘CBSE publications’, then ‘Books and support material’: http://cbse.nic.in/ welcome.htm

References

Acknowledgements

अभिस्वीकृतियाँ

तृतीय पक्षों की सामग्रियों और अन्यथा कथित को छोड़कर, यह सामग्री क्रिएटिव कॉमन्स एट्रिब्यूशन-शेयरएलाइक लाइसेंस (http://creativecommons.org/ licenses/ by-sa/ 3.0/ ) के अंतर्गत उपलब्ध कराई गई है। नीचे दी गई सामग्री मालिकाना हक की है तथा इस परियोजना के लिए लाइसेंस के अंतर्गत ही उपयोग की गई है, तथा इसका Creative Commons लाइसेंस से कोई वास्ता नहीं है। इसका अर्थ यह है कि इस सामग्री का उपयोग अननुकूलित रूप से केवल TESS-India परियोजना के भीतर किया जा सकता है और किसी भी बाद के OER संस्करणों में नहीं। इसमें TESS-India, OU और UKAID लोगो का उपयोग भी शामिल है।

इस यूनिट में सामग्री को पुनः प्रस्तुत करने की अनुमति के लिए निम्न स्रोतों का कृतज्ञतापूर्ण आभार:

चित्र 2: क्लेयर ली (Figure 2: Clare Lee)

कॉपीराइट के स्वामियों से संपर्क करने का हर प्रयास किया गया है। यदि किसी को अनजाने में अनदेखा कर दिया गया है, तो पहला अवसर मिलते ही प्रकाशकों को आवश्यक व्यवस्थाएं करने में हर्ष होगा।

वीडियो (वीडियो स्टिल्स सहित): भारत भर के उन अध्यापक शिक्षकों, मुख्याध्यापकों, अध्यापकों और विद्यार्थियों के प्रति आभार प्रकट किया जाता है जिन्होंने उत्पादनों में दि ओपन यूनिवर्सिटी के साथ काम किया है।