तुलना एवं विभेद निरुपण कार्य: आयतन और धारिता

यह इकाई किस बारे में है

‘तुलना और भेद निरूपण’ वह गतिविधि है जिसके माध्यम से विद्यार्थियों को गणितीय गुणों और उनके अनुप्रयोगों से परिचित कराया जाता है। यह सूक्ष्म समानताओं और विषमताओं के बारे में सीखने के लिए प्रभावी विधि है। जब आप तुलना करते हैं, तो आप यह पता लगाते हैं कि क्या समान है; जब आप भेद करते हैं तो आप यह पता लगाते हैं कि अलग क्या है।

मापन वह कौशल है जिसका दैनिक जीवन में बार–बार इस्तेमाल किया जाता है। उदाहरण के लिए: खाना पकाने के लिए डाले जाने वाले पानी की मात्रा, आपकी कार में भरे जाने वाले ईंधन की मात्रा, नई ड्रेस बनवाने के लिए कपड़े की लंबाई, आदि को मापना। दैनिक जीवन के मापनों में अनुमान का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए: लगभग दो कप पानी डालना, कार में लगभग आधा टैंक ईंधन भरने की आवश्यकता होगी, आदि। स्कूली गणित में सामान्यतः सटीक मापन एवं सही इकाइयों की आवश्यकता होती है।

धारिता और आयतन वे माप हैं जो त्रि-आयामी वस्तुओं से संबंधित होती हैं जिनको लेकर विद्यार्थी प्रायः भ्रमित होते हैं। इस इकाई में, आप ‘तुलना और भेद निरूपण’ नामक शिक्षण तकनीक का उपयोग करके धारिता और आयतन के बीच की समानताओं और विषमताओं के बारे में समझने में अपने विद्यार्थियों की मदद करने पर विचार करेंगे।

आप इस इकाई में क्या सीख सकते हैं

• गणितीय गुणों को पहचानने में विद्यार्थियों की मदद करने के लिए ‘तुलना और भेद निरूपण’ तकनीक का उपयोग कैसे करें।
• आयतन और धारिता के बीच के अंतर को पढ़ाने के कुछ प्रभावी तरीके।
• त्रि-आयामी वस्तुओं के माप की समझ को बेहतर बनाने के लिए कुछ शिक्षण विचार।

इस इकाई का संबंध NCF (2005) और NCFTE (2009) की दर्शाई गई शिक्षण आवश्यकताओं से है। संसाधन 1।

1 गणितीय गुणों के बारे में जानने के लिए ‘तुलना और भेद निरूपण’ कार्य

‘तुलना और भेद निरूपण’ वह तकनीक है जिसके माध्यम से विद्यार्थियों को गणितीय गुणों और उनके अनुप्रयोगों से परिचित कराया जाता है। यह सूक्ष्म समानताओं और विषमताओं के बारे में सीखने के लिए प्रभावी विधि है। जब आप तुलना करते हैं, तो आप यह पता लगाते हैं कि कौन सी चीज़ समान है, जब आप भेद निरूपण करते हैं तो आप यह पता लगाते हैं कि विषमता क्या है।

तुलना और भेद निरूपण के कार्य, हमें गणितीय गुणों के बारे में सोचने और समान एवं विषमता वाली चीज़ों को पहचानने के लिए, प्रेरित करते हैं। ऐसा करते समय, विद्यार्थी वे संबंध स्थापित कर सकते हैं जिन पर वे आमतौर पर विचार नहीं कर सकते। वे गणितीय चिंतन प्रक्रियाओं के लिए प्रेरित होते हैं, जैसे कि सामान्यीकरण करना, यह अनुमान लगाना कि क्या समान रहता है और क्या बदल सकता है (इन्हें ‘चर’ और ‘अचर’ कहा जाता है) और फिर इन अनुमानों को सत्यापित करना। यह विद्यार्थियों के संबंध जानने, संरचनाएँ ‘देखने’, स्वयं कारण समझने और कथनों की सत्यता या असत्यता पर बहस करने के लिए अमूर्त प्रत्ययों का उपयोग करने में विद्यार्थियों की मदद करने हेतु राष्ट्रीय पाठ्यचर्या की आवश्यकताओं का एक उदाहरण है।

आयतन और धारिता त्रि-आयामी वस्तुओं के गुण हैं। आयतन वह जगह है जिसे त्रि-आयामी वस्तु अधिग्रहीत या शामिल करती है; वहीं दूसरी ओर, धारिता एक पात्र का गुण है जो यह बतलाती है कि एक पात्र कितना धारण कर सकता है। विद्यार्थी प्रायः इन दो अवधारणाओं को लेकर भ्रमित हो जाते हैं (वॉटसन एवं अन्य, 2013)। गतिविधि 1 से आपके विद्यार्थियों को त्रि-आयामी आकारों की विशिष्टताओं एवं मापनों के बारे में अवगत होने में मदद मिलेगी। इस गतिविधि के अंतर्गत विद्यार्थियों से आयतन और धारिता के बीच के अंतर के बारे में सहज रूप से सोचना आरंभ करने की भी अपेक्षा की जाती है।

अपने विद्यार्थियों के साथ गतिविधियों के उपयोग का प्रयास करने से पहले अच्छा होगा कि आप सभी गतिविधियों को पूरी तरह या आंशिक रूप से स्वयं करके देखें। यह और भी बेहतर होगा अगर आप अपने किसी सहकर्मी के साथ मिलकर इसे करने का प्रयास करें क्योंकि स्वयं के अनुभव के आधार पर सिखाना आसान होगा। स्वयं प्रयास करने से आपको शिक्षार्थियों के अनुभवों के भीतर झांकने का मौका मिलेगा जो परिणामस्वरूप आपके शिक्षण को और एक शिक्षक के रूप में आपके खुद के अनुभवों को प्रभावित कर सकता है।

जब आप तैयार हों, तो एक बार फिर अपने विद्यार्थियों के साथ गतिविधियों का उपयोग करें और विचार करके इस बारे में नोट बनाएँ कि गतिविधि कैसी हुई और उसके ज़रिए क्या सीखा गया। इससे आपको अधिक विद्यार्थी-केंद्रित शैक्षिक वातावरण बनाने में मदद मिलेगी।

विचार के लिए रुकें समूहों के बीच उत्तरों का पता लगाने के लिए दौड़ती हुई श्रीमती आशा के समाधान के बारे में आप क्या सोचते हैं? पाठ के इस भाग को अधिक व्यवस्थित बनाने के लिए उन्होंने किन अन्य रणनीतियों का उपयोग किया ? हो सकता है इसके लिए आपके पास कुछ अच्छे विचार पहले से ही हों, लेकिन यदि आप इस तरीके से काम करने के लिए बिलकुल नए हैं तो संसाधन 2, ‘समूह कार्य प्रबंधित करना’ को देखें।

विचार के लिए रुकें अब बताएँ कि गतिविधि 1 पर आपकी कक्षा ने कैसा किया: वस्तुओं के आकार पर चर्चा करते समय अलग अलग समूहों के परिणाम क्या रहे? अपने विद्यार्थियों की समझ का पता लगाने के लिए आपने क्या सवाल किए? विद्यार्थियों से कैसी प्रतिक्रियाएँ अनपेक्षित थीं? क्यों? उस पाठ के बारे में सिखाते समय आपने कैसा महसूस किया जिसमें आपने वास्तविक गणितीय शब्दों का प्रयोग कियाथा? इस दृष्टिकोण पर आपके विद्यार्थियों की प्रतिक्रिया कैसी थी?

2 धारिता और आयतन के मापन की इकाइयों के बारे में विचार करना

‘आयतन’ वह जगह है जिसे त्रि-आयामी वस्तु अधिग्रहीत या शामिल करती है। आयतन को उसकी भौतिक अवस्था के आधार पर कई अलग अलग तरीकों से परिमाणित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गतिविधि 1 में अनुमान लगाने का प्रयास कर रहे विद्यार्थियों द्वारा एक घनाभ ठोस की आयतन की गणना ऊंचाई, चौड़ाई और लंबाई मापने के द्वारा की जाती है। इस मामले में, आयतन को सेमी3, मी3 या इंच3 में परिमाणित किया जाएगा।

ठोस या गैस का आयतन निर्धारित करने के लिए द्रव विस्थापन एक और तरीका है। द्रव विस्थापन में एक तरल पदार्थ में वस्तु को डुबोया जाता है। वस्तु की आयतन तरल पदार्थ को विस्थापित करेगी। तरल पदार्थ के इस तरह के विस्थापन को मापा जा सकता है। वैसी स्थिति में इसे मिलीलीटर, लीटर, द्रव औंस या कप में व्यक्त किया जाएगा।

तरल पदार्थ का आयतन या छोटी खुली वस्तुओं यथा चावल के दानों को मापन कप जैसे किसी मापन उपकरण में रखकर मापा जा सकता है (चित्र 1)

चित्र 1 एक घरेलू मापन कप या जग

दूसरी ओर, धारिता एक पात्र का गुण है। यह वर्णित करता है एक पात्र कितना धारित कर सकता है। ग़लतफहमी इस तथ्य से पैदा हो सकती है कि धारिता के लिए प्रयुक्त माप सामान्यतः आयतन के लिए प्रयुक्त माप के समान होती है।

अगली गतिविधि का उद्देश्य विद्यार्थियों को ‘तुलना और भेद निरूपण’ तकनीकों का उपयोग कर त्रि-आयामी वस्तुओं की धारिता एवं आयतन के बीच के अवधारणात्मक अंतर को समझाना है। गतिविधि के भाग 1 और 2 आयतन और धारिता के गणितीय गुणों से विद्यार्थियों को अवगत कराने में मदद के लिए ‘क्या यह हमेशा या कभी-कभी सत्य है, या फिर कभी सत्य नहीं है?’ प्रश्न का उपयोग करते हैं। भाग 3 उसी जागरूकता को हासिल करने के लिए ‘क्या समान है और क्या अलग है?’ प्रश्न का उपयोग करता है।

समानता और विषमता पर ध्यान केंद्रित करने में विद्यार्थियों को सक्षम बनाने, और परिशुद्धता के साथ मापन एवं गणना की बारीकियों में नहीं उलझने देने के लिए, प्रयुक्त किए जाने वाले कुछ उदाहरण असामान्य किंतु वास्तविक हैं। इस तरह के उदाहरणों का प्रयोग करने से गणित को मनोरंजक बनाने की भावना को बल मिलता है, क्योंकि उसमें कई सही उत्तर उपस्थित होते हैं।

वीडियो: सोच-विचार को बढ़ावा देने के लिए प्रश्न पूछने का उपयोग करना

विचार के लिए रुकें श्रीमती आशा ने बताया कि कैसे उन्होंने अपने समूह के विचारों के बारे में बताने के लिए कुछ ‘कमजोर’ विद्यार्थियों का चुनाव किया। आपको क्या लगता है कि ऐसा करने के कौन-कौन से लाभ हैं और वे कौन-कौन सी रणनीतियाँ हैं जिनका उपयोग यह सुनिश्चित करने के लिए किया जा सकता है कि यह विद्यार्थियों द्वारा रिपोर्ट देने के लिए एक सकारात्मक अनुभव है? अब इस बारे में सोचें कि आपकी कक्षा का प्रदर्शन गतिविधि के साथ कैसा था और निम्नलिखित सवालों पर प्रतिक्रिया दें: अपने विद्यार्थियों की समझ का पता लगाने के लिए आपने क्या सवाल किए? क्या आपने टास्क में कोई भी संशोधन किया, जिस प्रकार श्रीमती आशा ने किया था? अगर हाँ, तो इसके पीछे आपका क्या कारण था?

3 ज्ञान का समेकन

गणितीय अवधारणाओं को सही से ग्रहण करने में विद्यार्थियों की मदद के लिए, अपने पाठों में समेकन गतिविधियों को शामिल करने के बारे में विचार करना एक अच्छा अभ्यास है। ऐसी गतिविधियाँ विद्यार्थियों को अपने विचारों का अभ्यास करने के लिए अधिक अवसर प्रदान करती हैं। अच्छी समेकन गतिविधियाँ विद्यार्थियों को एक अलग दृष्टिकोण द्वारा नए अर्जित ज्ञान का उपयोग करने के लिए भी कह सकती हैं। अगली गतिविधि का उद्देश्य विद्यार्थियों द्वारा सूक्ष्म परिवर्तनों के बारे में सोचने के लिए प्रेरित करना और फिर अपने खुद के प्रश्न निर्मित करने के लिए उनसे कह कर इसे निष्पादित करना है।

विचार के लिए रुकें आपको क्या लगता है कि आपके विद्यार्थियों की समझ को समेकित करने में गतिविधि कितनी प्रभावी है? क्या गतिविधि द्वारा किसी भी गलतफहमी को उजागर किया गया? यदि हाँ, तो आप भविष्य के पाठों में उनका समाधान कैसे कर सकते हैं? क्या आपने कार्य में किसी भी तरीके का संशोधन किया? अगर हाँ, तो इसके पीछे आपका क्या कारण था?

4 सारांश

इस इकाई के अध्ययन में, आपने धारिता और आयतन के बारे में यह जाना कि क्या समान है और क्या अलग है। आपने विचार किया कि ‘तुलना और भेद निरूपण’ की गतिविधि किस तरह गणितीय गुणों एवं सूक्ष्म अंतरों को जानने और समझने में मदद करती है।

महत्वाकांक्षी लक्ष्यों के रूप में एनसीएफ (2005) तथा एनसीएफटीई (2009) से शिक्षण की आवश्यकताओं का उपयोग किया गया।

विचार के लिए रुकें ऐसे तीन विचारों की पहचान करें जिनका उपयोग आपने इस इकाई में किया है और जो दूसरे विषयों को सिखाने में काम आएँगे। वैसे दो विषयों पर नोट बनाएँ जिन्हें आप जल्दी ही सिखाने वाले हैं, जहाँ उन विचारों का प्रयोग कुछ छोटे समायोजनों के साथ किया जा सकता है।

संसाधन

संसाधन 1: एनसीएफ/एनसीएफटीई शिक्षण आवश्यकताएँ

• शिक्षार्थियों को उनके शिक्षण में सक्रिय प्रतिभागी के रूप में देखें न कि सिर्फ ज्ञान प्राप्त करने वाले के रूप में; ज्ञान निर्माण के लिए उनकी क्षमताओं को कैसे प्रोत्साहित करें; रटने वाली पद्धतियों से शिक्षण को दूर कैसे ले जाएँ।
• विद्यार्थियों को गणित को किसी ऐसी चीज़ के रूप में लेने दें जिसके बारे में वे बात करें, जिसके द्वारा संवाद करें, जिसकी आपस में चर्चा करें, जिस पर साथ मिलकर कार्य करें।

संसाधन 2: समूह-कार्य प्रबंधन

आप अच्छे समूहकार्य के प्रबंधन के लिए दिनचर्याएं और नियम तय कर सकते हैं। जब आप नियमित रूप से समूहकार्य का उपयोग करते हैं, तो विद्यार्थियों को पता चल जाएगा कि आप क्या अपेक्षा करते हैं और वे इसे आनंददायक पाएंगे। टीमों और समूहों में काम करने के लाभों की पहचान करने के लिए आरंभ में कक्षा के साथ काम करना एक अच्छा विचार है। आपको चर्चा करनी चाहिए कि समूहकार्य में अच्छा व्यवहार क्या होता है और संभव हो तो ‘नियमों’ की एक सूची बनाएं जिसे प्रदर्शित किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, ‘एक दूसरे के लिए सम्मान’, ‘सुनना’, ‘एक दूसरे की सहायता करना’, ‘एक से अधिक विचार को आजमाना’, आदि।

समूहकार्य के बारे में स्पष्ट मौखिक निर्देश देना महत्वपूर्ण है जिसे ब्लैकबोर्ड पर संदर्भ के लिए लिखा भी जा सकता है। आपको:

• अपनी योजना के अनुसार अपने विद्यार्थियों को उन समूहों की ओर निर्देशित करना होगा जिनमें वे काम करेंगे। ऐसा आप शायद कक्षा में ऐसे स्थानों को निर्दिष्ट करके कर सकते हैं जहाँ वे काम करेंगे या किसी फर्नीचर या स्कूल के बैगों को हटाने के बारे में निर्देश देकर कर सकते हैं।
• कार्य के बारे में बहुत स्पष्ट होना और उसे बोर्ड पर लघु अनुदेशों या चित्रों के रूप में लिखना चाहिए। आपके शुरू करने से पहले विद्यार्थियों को प्रश्न पूछने की अनुमति प्रदान करें।

पाठ के दौरान, यह देखने और जाँच करने के लिए घूमें कि समूह किस तरह से काम कर रहे हैं। यदि वे कार्य से विचलित हो रहे हैं या अटक रहे हैं तो जहाँ जरूरत हो वहाँ सलाह प्रदान करें।

आप कार्य के दौरान समूहों को बदलना चाह सकते हैं। जब आप समूहकार्य के बारे में आत्मविश्वास महसूस करने लगें तब दो तकनीकें आजमाई जा सकती हैं – वे बड़ी कक्षा को प्रबंधित करते समय खास तौर पर उपयोगी होती हैं:

• ‘विशेषज्ञ समूह’: प्रत्येक समूह को एक अलग कार्य दें, जैसे विद्युत उत्पन्न करने के एक तरीके पर शोध करना या किसी नाटक के लिए किरदार विकसित करना। एक उपयुक्त समय के बाद, समूहों को पुनर्गठित करें ताकि प्रत्येक नया समूह सभी मूल समूहों से एक ‘विशेषज्ञ’ से युक्त हो। फिर उन्हें एक कार्य दें जिसमें सभी विशेषज्ञों के ज्ञान को एकत्र करना होता है, जैसे निश्चय करना कि किसी प्रकार का पॉवर स्टेशन बनाना या नाटक का अंश तैयार करना चाहिए।
• ‘दूत’: यदि कार्य में कोई चीज बनाना या किसी समस्या को हल करना शामिल है, तो कुछ समय बाद, प्रत्येक समूह से किसी अन्य समूह में एक दूत भेजने को कहें। वे विचारों या समस्या के हलों की तुलना और फिर वापस अपने स्वयं के समूह को सूचित कर सकते हैं। इस प्रकार, समूह एक दूसरे से सीख सकते हैं।

कार्य के अंत में, जो कुछ सीखा गया है उसका सारांश बनाएं और आपको नज़र आई किसी भी गलतफहमी को सुधारें। आप चाहें तो प्रत्येक समूह का फीडबैक सुन सकते हैं, या केवल एक या दो समूहों से पूछ सकते हैं जिनके पास आपको लगता है कि कुछ अच्छे विचार हैं। विद्यार्थियों की रिपोर्ट करने की प्रक्रिया को संक्षिप्त रखें और उन्हें अन्य समूहों के काम पर फीडबैक देने को प्रोत्साहित करें जिसमें वे पहचान सकते हैं कि क्या अच्छा किया गया था, क्या बात दिलचस्प थी और किस बात को और विकसित किया जा सकता था।

यदि आप अपनी कक्षा में समूहकार्य को अपनाना चाहते हैं तो भी आपको कभी-कभी इसका नियोजन कठिन लग सकता है क्योंकि कुछ विद्यार्थी:

• सक्रिय शिक्षण का प्रतिरोध करते हैं और उसमें शामिल नहीं होते
• हावी होने वाली प्रकृति के होते हैं
• अंतर्व्यैयक्तिक कौशलों की कमी या आत्मविश्वास के अभाव के कारण भाग नहीं लेते।

सीखने के परिणाम कहाँ तक प्राप्त हुए और आपके विद्यार्थियों ने कितनी अच्छी तरह से अनुक्रिया की (क्या वे सभी लाभान्वित हुए) इस पर विचार करने के अलावा, समूहकार्य के प्रबंधन में प्रभावी बनने के लिए उपरोक्त सभी बिंदुओं पर विचार करना महत्वपूर्ण होता है। सामूहिक कार्य, संसाधनों, समयों या समूहों की रचना में आप द्वारा किए जा सकने वाले समायोजनों पर सावधानी से विचार करें और उनकी योजना बनाएं।

शोध से पता चला है कि विद्यार्थियों की उपलब्धि पर सकारात्मक प्रभाव पाने के लिए समूहों में सीखने का हर समय उपयोग करना आवश्यक नहीं है, इसलिए आपको हर पाठ में उसका उपयोग करने के लिए बाध्य महसूस नहीं करना चाहिए। आप चाहें तो समूहकार्य का उपयोग एक पूरक तकनीक के रूप में कर सकते हैं, उदाहरण के लिए विषय परिवर्तन के बीच अंतराल या कक्षा में चर्चा को अकस्मात शुरु करने के साधन के रूप में कर सकते हैं। इसका उपयोग विवाद को हल करने या कक्षा में अनुभवजन्य शिक्षण गतिविधियाँ और समस्या का हल करने के अभ्यास शुरू करने या विषयों की समीक्षा करने के लिए भी किया जा सकता है।

अतिरिक्त संसाधन

• A newly developed maths portal by the Karnataka government: http://karnatakaeducation.org.in/ KOER/ en/ index.php/ Portal:Mathematics
• National Centre for Excellence in the Teaching of Mathematics: https://www.ncetm.org.uk/
• National STEM Centre: http://www.nationalstemcentre.org.uk/
• National Numeracy: http://www.nationalnumeracy.org.uk/ home/ index.html
• BBC Bitesize: http://www.bbc.co.uk/ bitesize/
• Khan Academy’s math section: https://www.khanacademy.org/ math
• NRICH: http://nrich.maths.org/ frontpage
• Art of Problem Solving’s resources page: http://www.artofproblemsolving.com/ Resources/ index.php
• Teachnology: http://www.teach-nology.com/ worksheets/ math/
• Math Playground’s logic games: http://www.mathplayground.com/ logicgames.html
• Maths is Fun: http://www.mathsisfun.com/
• Coolmath4kids.com: http://www.coolmath4kids.com/
• National Council of Educational Research and Training’s textbooks for teaching mathematics and for teacher training of mathematics: http://www.ncert.nic.in/ ncerts/ textbook/ textbook.htm
• AMT-01 Aspects of Teaching Primary School Mathematics, Block 1 (‘Aspects of Teaching Mathematics’), Block 2 (‘Numbers (I)’), Block 3 (‘Numbers (II)’), Block 5 (‘Measurement’): http://www.ignou4ublog.com/ 2013/ 06/ ignou-amt-01-study-materialbooks.html
• LMT-01 Learning Mathematics, Block 1 (‘Approaches to Learning’) Block 2 (‘Encouraging Learning in the Classroom’), Block 4 (‘On Spatial Learning’), Block 6 (‘Thinking Mathematically’): http://www.ignou4ublog.com/ 2013/ 06/ ignou-lmt-01-study-materialbooks.html
• Manual of Mathematics Teaching Aids for Primary Schools, published by NCERT: http://www.arvindguptatoys.com/ arvindgupta/ pks-primarymanual.pdf
• Learning Curve and At Right Angles, periodicals about mathematics and its teaching: http://azimpremjifoundation.org/ Foundation_Publications
• Textbooks developed by the Eklavya Foundation with activity-based teaching mathematics at the primary level: http://www.eklavya.in/ pdfs/ Catalouge/ Eklavya_Catalogue_2012.pdf
• Central Board of Secondary Education’s books and support material (also including List of Hands-on Activities in Mathematics for Classes III to VIII) – select ‘CBSE publications’, then ‘Books and support material’: http://cbse.nic.in/ welcome.htm

References

Acknowledgements

अभिस्वीकृतियाँ

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