समृद्ध कार्यों का उपयोग : क्षेत्रफल और परिमाप

यह इकाई किस बारे में है

क्षेत्रफल और परिधि की अवधारणाएं हमारे जीवन में व्याप्त हैं। दैनिक जीवन में क्षेत्रफल और परिधि निरंतर उपयोग की जाती है – उदाहरण के लिए, फर्श क्षेत्र के बारे में बात करके किसी घर के आकार का वर्णन करना, या खेत की बाड़ाबंदी करने के लिए कितने तार की आवश्यकता होगी। विद्यायल में गणित के पाठ्यक्रम में गणना में क्षेत्रफल की अवधारणा के माध्यम से वे शुरुआती वर्षों में संबोधित की जाती हैं।

चूंकि क्षेत्रफल और परिधि की अवधारणाएं दैनिक जीवन में इतनी ज्यादा मौजूद है, इसलिए शुरुआती विद्यार्थी को गणित के अध्यायों में पढ़ने से पहले ही इसकी सहज समझ होती है।

इस इकाई में आप इस सहज समझ को बढ़ाने और अधिक सैद्धांतिक समझ में बदलने, और कक्षा के अभ्यासों को बाहरी जीवन के अनुभवों से जोड़ना सीखेंगे।

आप ऐसे प्रश्नों का प्रयोग करने पर ध्यान केंद्रित करेंगे जो प्रभाव चर्चा और युग्मन (Paired) कार्य को आरम्भ करता है। जब हम विद्यार्थियों से कुछ चर्चा करने के लिए कहते हैं, तो हमें उन्हें पहले कुछ चर्चा करने के लिए देना होगा!

इस इकाई में कई गतिविधियों की संरचना समान है, लेकिन अलग–अलग फोकस या चर्चाएं यह दिखाने के लिए उपयोग की जाती हैं कि सरंचना को बनाए रख कर और फोकस में छोटे बदलाव करके कैसे कठिन कार्यों के समूह को किसी अन्य समृद्धशाली गतिविधि में बदला जा सकता है।

आप इस इकाई में क्या सीख सकते हैं

• वास्तविक जीवन की वस्तुओं और उदाहरणों के उपयोग द्वारा आपके विद्यार्थी की सहज समझ को निर्मित करने के कुछ प्रभावी तरीके।
• युग्मों में और सामूहिक कार्य में चर्चा के माध्यम से सीखने में आप अपने विद्यार्थियों की मदद कैसे करें।
• मौजूदा समृद्ध कार्यों की संरचना को बनाए रखते हुए केंद्र में छोटे परिवर्तनों द्वारा किस प्रकार समृद्ध कार्य विकसित करें।

यह इकाई संसाधन 1 में उल्लिखित NCF (2005) तथा NCFTE (2009) की शिक्षण आवश्यकताओं से जोड़ती है तथा उन आवश्यकताओं को पूरा करने में आपकी मदद करेगी।

1 क्षेत्रफल और परिधि सीखने के मुख्य मुद्दे

विचार के लिए रुकें गणित की कक्षा के बाहर के अपने जीवन के बारे में सोचें। क्षेत्रफल और परिधि की अवधारणाओं के साथ आपको और कहां कार्य करना पड़ता है? कुछ उदाहरणों पर ध्यान दें। क्या आपको लगता है कि आपके विद्यार्थियों के पास भी समान अनुभव होगा? आपका विद्यार्थी अपने बाहरी जीवन से गणित के अध्याय में क्या ज्ञान और गलतफहमियां ला सकता है?

यद्यपि क्षेत्रफल और परिधि की अवधारणाएं दैनिक जीवन में व्यापक रूप से उपयोग की जाती हैं, फिर भी जब विद्यालय में गणित के पाठ्यक्रम के भाग के रूप में इन्हें पढ़ने की बारी आती है, तो इन अवधारणाओं को भ्रमकारी माना जाता है (वाटसन और अन्य, 2013)। क्षेत्रफल और परिधि के बारे में सीखने में विद्यार्थियों की कुछ समस्याएं यहां सूचीबद्ध हैं।

• कई बार वे वास्तव में यह जाने बगैर कि क्षेत्रफल और परिधि क्या है, वे इसे विशुद्ध रूप से सूत्र का एक अनुप्रयोग समझ लेते हैं।
• कई बार वे क्षेत्रफल और परिधि की अवधारणाओं को आपस में मिला देते हैं।
• कई बार उन्हें आयामों की समझ विकसित करने में समस्या होती है। अक्सर वे यह नहीं समझ पाते हैं कि परिधि एक लंबाई है, जो कि एक–आयामी है इसलिए लंबाई की इकाइयों जैसे मीटर, सेंटीमीटर, या इंच में मापी जाती है, जबकि क्षेत्रफल निश्चित लंबाई के आधार पर वर्ग में मापा जाता है, इसलिए द्वि–आयामी इकाइयों जैसे m² (मीटर वर्ग या वर्ग मीटर) में व्यक्त की जाती है।
• उन्हें मापन की गैर–पारंपरिक इकाइयों जैसे बालिश्त, ट्विग आदि में मापन का अनुभव नहीं हो और इसलिए वे यह नहीं जानते हों कि मापन की मानक इकाइयों का उपयोग करना क्यों बेहतर है – उदाहरण के लिए बालिश्त की बजाय मीटर का उपयोग करना, जोकि अलग–अलग लोगों में अलग–अलग होता है।
• हो सकता है वे क्षेत्रफल और परिधि की अपनी सहज समझ को गणित की कक्षा में उन्होंने जो सीखा है उससे जोड़ न पाए।

इस इकाई की गतिविधियों में आप समस्याओं को संबोधित करने वाले शैक्षणिक दृष्टिकोण का उपयोग करेंगे।

विचार के लिए रुकें वापस उस बारे में सोचें जब आपने पिछली बार क्षेत्रफल और परिधि के बारे में पढ़ाया था। क्या आपको अपने किसी विद्यार्थी को ऊपर वर्णित में से कोई समस्या होने के बारे में याद है? अपनी कक्षा के कुछ विशेष विद्यार्थियों के बारे में सोचें जिन्हें आपको लगता है इनमें से कुछ कठिनाइयां हुई होंगी। क्या आप किसी स्पष्ट उदाहरण के बारे में सोच सकते हैं जो यह सुझाता हो कि उनको ये कठिनाइयां आई थीं? किसी विशेष विद्यार्थी के बारे में सोचना भविष्य में आपकी अन्य विद्यार्थियों में समान समस्या को पहचानने में सहायता करेगा।

2 परिधि की समझ को विकसित करना

गणितीय शब्दावली हमेशा इतनी सरल नहीं होती और कई बार सीखने की राह में बाधक के रूप में कार्य करती है। यह अक्सर छात्रों के लिए सराहना करने में सहायक होता है व अध्यापकों के लिए गणितीय शब्दों व उनके उद्गम पर विशेष ध्यान देने में सहायक होता है। ग्रीक विद्यार्थियों को परिधि शब्द को समझने में कठिनाई नहीं होती है क्योंकि ये ग्रीक शब्द पेरी (जिसका अर्थ है चारों तरफ) और मीटर (जिसका अर्थ है मापन) से बना है।

इस पहली गतिविधि में आप दिन–प्रतिदिन की वस्तुओं की परिधि का वर्णन करके, रस्सी/जंजीर धागा से तथा गणना करके विद्यार्थियों से परिधि का अन्वेषण करने के लिए कहेंगे। फिर आप समान परिधि के अलग–अलग आयत बना कर संभावित अंतरों का अन्वेषण करने के लिए इस ज्ञान का उपयोग करने के लिए कहेंगे और इन अवलोकनों का सामान्यीकरण करने के लिए कहेंगे।

इस यूनिट में अपने विद्यार्थियों के साथ गतिविधियों के उपयोग का प्रयास करने के पहले अच्छा होगा कि आप सभी गतिविधियों को पूरी तरह या आंशिक रूप से स्वयं करके देखें। यह और भी बेहतर होगा यदि आप इसका प्रयास अपने किसी सहयोगी के साथ करें, जब आप अनुभव पर विचार करेंगे तो आपको मदद मिलेगी। स्वयं प्रयास करने से आपको शिक्षार्थी के अनुभवों के भीतर झांकने का मौका मिलेगा, यह आपके शिक्षण और एक शिक्षक के रूप में आपके अनुभवों को प्रभावित करेगा।

जब आप तैयार हों, तब गतिविधियों का अपने विद्यार्थियों के साथ उपयोग करें और फिर से इस बात पर विचार करें कि गतिविधि कैसी हुई और क्या सीख मिली। इससे आपको विद्यार्थी को केंद्र में रखने वाला शैक्षिक वातावरण बनाने में मदद मिलेगी।

वीडियोः निगरानी करना और फीडबैक देना

विचार के लिए रुकें श्रीमती अपराजिता के अध्याय में, धीरज के पेंसिल की परिधि निकालने का प्रयास ऐसी चर्चा की ओर लेकर गया जोकि श्रीमती अपराजिता की मूल योजना से अलग था। आपको क्या लगता है विद्यार्थियों की चर्चा को अलग दिशा में ले जाने के क्या लाभ या हानि हैं? भावी अध्यायों की योजना बनाने में इसके क्या प्रभाव हो सकते हैं? अब सोचें कि आपकी स्वयं की कक्षा का इस गतिविधि को लेकर अनुभव कैसा रहा और निम्न प्रश्नों पर विचार करें: आपकी कक्षा में गतिविधि कैसी रही? अपने विद्यार्थियों की क्षेत्रफल और परिधि की समझ का पता लगाने के लिए आपने क्या सवाल किए? क्या आपको किसी समय लगा कि आपको हस्तक्षेप करना चाहिए? किन बिंदुओं पर आपको लगा कि आपको और समझाना होगा? क्या आपके किसी विद्यार्थी ने कुछ अप्रत्याशित किया, या कोई अलग दृष्टिकोण लिया जिससे शेष कक्षा के साथ अच्छी चर्चा शुरू हुई हो? क्या ऐसे विचार भी आए जिन्हें समझने में कुछ विद्यार्थियों को दिक्कत आई? आप उनकी सहायता कैसे कर पाए?

3 परिधि के लिए समय–प्रभावी सूत्र विकसित करना

सूत्रों को सीखने के लिए अक्सर याद करने, या रटने पर निर्भर किया जाता है। कुछ विद्यार्थी इस पद्धति से सीखने में बहुत अच्छे होते हैं जबकि अन्य को दिक्कत आती है। हालांकि सभी विद्यार्थियों के लिए मुख्य सवाल यह है कि याद करने से किस तरह की शिक्षा प्राप्त होती है?

याद करने में समझने पर ध्यान नहीं दिया जाता और न ही समझ विकसित करने पर, और न ही अवधारणाओं का क्या मतलब हो सकता है, या उन्हें गणित के क्षेत्र से कैसे जोड़ा जा सकता है। यह पद्धति याद किए गए दैनिक कार्यों के सटीक पुनरूत्पादन पर ध्यान केंद्रित करती है। इसलिए किसी विषय के जटिल पहलुओं को समझना या जटिल चरणों वाले सूत्रों को सीखना अधिक कठिन हो सकता है। चूंकि अंतर्निहित अर्थों की कम या कोई समझ नहीं है, इसलिए कुछ अंश (elements) छूट जाते हैं, विवरण धुंधला हो जाता है, तनाव बढ़ जाता है और परीक्षाओं में विफलता मिलती है।

यदि विद्यार्थीयों को कम आयु से ही सूत्र निरुपण करने एवं सूत्रों को अर्थ देने का अवसर दिया जाय तो सूत्रों को सीखना आसान हो जाता है।

अगली गतिविधि का उद्देश्य गतिविधि 1 में विकसित विद्यार्थियों की समझ पर उन्हें स्वयं ही सूत्र बनाने का अवसर देना है। इसमें उनके उदाहरण शामिल करना और आयत की परिधि की गणना करने के लिए सूत्र व्यक्त करने के अलग तरीकों के निर्माण के लिए कहना है। आप उनसे इस बारे में सोचने के लिए भी कहेंगे कि क्यों अलग–अलग सूत्र समकक्ष (equivalent) हैं? और उन्हें बतायें कि सूत्र विकसित करने का उद्देश्य उन्हें अधिक सक्षम बनाना व समय बचाना नहीं है।

वीडियोः जोड़े में किये गये कार्य का उपयोग करना

विचार के लिए रुकें अपने विद्यार्थियों की समझ का पता लगाने के लिए आपने क्या सवाल किए? आपके विद्यार्थी चर्चा में किस प्रकार सम्मिलित हुए? क्या सभी विद्यार्थियों ने भाग लिया? यदि नहीं, तो आप अगली बार भाग लेने में उनकी किस तरह सहायता कर सकते हैं?

गतिविधि 3: वर्ग गणना विधि का उपयोग करते हुए आकारों का क्षेत्रफल निकालना

इस कार्य की तैयारी के लिए विद्यार्थियों से कक्षा में उन्हें दिखाई देने वाली कई वस्तुओं के क्षेत्रफलों की ओर इंगित करने के लिए कहें।

भाग 1: क्षेत्रफल की गणना के लिए वर्ग गणना विधि पर पूरी कक्षा में चर्चा

विद्यार्थियों को बिना माप के चौकोर खानों वाले काग़ज़ पर चित्रित संयुक्त आकार दिखाएँ, जिसके लिए सूत्र का उपयोग करते हुए क्षेत्रफल की गणना करना मुश्किल हो। इरादा यह है कि विद्यार्थियों को सूत्रों का उपयोग करने के बजाय क्षेत्रफल की गणना के लिए किसी और दृष्टिकोण के बारे में सोचना पड़े। चित्र 1 में दिया गया आकार एक उदाहरण है।

चित्र 1 एक संयुक्त आकार।

• विद्यार्थियों से यह बताने के लिए कहें कि इस आकार की परिधि क्या होगी। फिर उनसे पूछें कि इस आकार का क्षेत्रफल क्या होगा।
• विद्यार्थियों से सुझाव माँगें कि वे इस आकार का क्षेत्रफल किस प्रकार निकाल सकते हैं। यदि विद्यार्थी वर्गों की गिनती का विकल्प नहीं सुझाते हैं, तो चौकोर खानों वाले कागज़ के साथ काम करते समय इसे सरल और प्रभावी तरीके़ के रूप में सुझाएँ।

भाग 2: समान क्षेत्रफल वाली आकृतियों का निर्माण

• चौकोर खानों वाले काग़ज़ पर (1 cm² चौकोर खानों वाला काग़ज़ यहाँ अच्छी तरह काम करेगा) विद्यार्थियों से, जोड़ों में काम करते हुए, 12 क्षेत्रफल वाली कम से कम तीन आकृतियों का निर्माण करने के लिए कहें। आप यह निर्दिष्ट कर सकते हैं कि प्रत्येक बाजू की लंबाई पूर्ण संख्या में हों। यदि आप यह शर्त निर्धारित नहीं करना चाहते हैं, तो आप पाएँगे कि आपके कुछ अधिक उद्यमी विद्यार्थी अतिरिक्त आकार तैयार करने के लिए इकाइयों के अंशों के साथ प्रयोग कर रहे हैं। इससे उन्हें आगे अपनी सोच का विस्तार करने में मदद मिलेगी।

विद्यार्थियों से कहें कि वे अपने पास बैठे दूसरों के साथ अपना कार्य साझा करें, और फिर सूचित करें कि उन्होंने अपने पसंदीदा उदाहरण का निर्माण किस प्रकार किया।

वीडियोः पाठों की योजना तैयार करना

विचार के लिए रुकें आपकी कक्षा कैसी रही? अपने विद्यार्थियों की समझ का पता लगाने के लिए आपने क्या सवाल किए? क्या आपने श्रीमती अपराजिता की तरह कार्य को किसी प्रकार संशोधित किया था? यदि हाँ, तो ऐसा करने के पीछे आपका क्या तर्क था?

4 क्षेत्रफल और परिधि की अवधारणाओं के बीच अंतर दर्शाना

क्षेत्रफल और परिधि के बारे में सीखते समय सामने आने वाली समस्याओं में से एक रहा है विद्यार्थियों द्वारा दोनों अवधारणाओं के बीच भेद को नहीं समझना। लगता है परिपक्व विद्यार्थी भी इससे प्रभावित होते हैं। रिंकी (1997) ने रिपोर्ट की कि जब प्राथमिक सेवा–पूर्व शिक्षकों को एक छायांकित ज्यामितीय आकृति की परिधि और क्षेत्रफल का पता लगाने के लिए कहा गया, तब उनमें से कई ने परिधि और क्षेत्रफल दोनों जानने के लिए उसी विधि का ग़लत तरीके से उपयोग किया।

विद्यार्थियों को इस अंतर के बारे में जागरूक करने के लिए, अगली गतिविधि में आप पिछली गतिविधियों के समान एक ही संरचना का उपयोग करेंगे, लेकिन उनमें थोड़ा सुधार किया जाएगा। फिर आप विद्यार्थियों से पहले ऐसी आकृतियों का निर्माण करने के लिए कहेंगे जिनका क्षेत्रफल एकसमान लेकिन परिधि अलग हो, और फिर ऐसे आकार जिनकी परिधि एकसमान हो, लेकिन क्षेत्रफल अलग–अलग।

विचार के लिए रुकें अपने विद्यार्थियों की समझ का पता लगाने के लिए आपने क्या सवाल किए? क्या आपको लगा कि आपको किसी समय हस्तक्षेप करना था? किन बिंदुओं पर आपको लगा कि आपको और समझाना था? समूह कार्य के दौरान, क्या आपने योगदान न देने वाले या काम को करने की विधि न समझने की प्रतीति देने वाले किसी विद्यार्थी को नोटिस किया था? यदि हाँ, तो कैसे आप अपनी भावी योजना में इसका समाधान करेंगे?

5 माप की इकाइयाँ और बड़े आयामों के साथ काम करना

पिछले अनुभाग में आपने क्षेत्रफल और परिधि निकालने के लिए प्रयुक्त मापों पर ध्यान केंद्रित किया। विद्यार्थियों ने मीटर, सेंटीमीटर, इंच आदि जैसी माप की इकाइयों का उपयोग किया, लेकिन स्वयं अपने अनुभव से समझे बिना कि ऐसा करना वास्तव में क्यों अच्छा है। माप की मानक इकाई मीटर, किलोग्राम या लीटर है जो परंपरा अथवा कानून द्वारा अपनाया गया है।

अगली गतिविधि में आप अपने विद्यार्थियों से कहेंगे कि वे समूहों में स्वयं अपने मापों का उपयोग करते हुए कक्षा से बाहर किन्हीं क्षेत्रफल और परिधियों का पता लगाएँ, और फिर कक्षा के अन्य विद्यार्थियों के साथ निष्कर्षों की तुलना और चर्चा करें। इस तरह कक्षा के बाहर गणित को ले जाने से विद्यार्थियों में यह जागरूकता आएगी कि गणित हमारे चारों ओर है। साथ ही, यह उन्हें पेंसिल और काग़ज़ की अपेक्षा बड़े आकारों के साथ काम करने का अनुभव पाने का अवसर देता है।

6 सारांश

इस यूनिट ने अवधारणाओं के बीच समझ और अंतर विकसित करने के लिए विद्यार्थियों की मदद करते हुए क्षेत्रफल और परिधि की गणितीय अवधारणाओं को जानने पर ध्यान केंद्रित किया। गतिविधियों में विद्यार्थियों से अपने आस–पास उपलब्ध उदाहरणों और वस्तुओं का उपयोग करने तथा अपने सहज ज्ञान युक्त समझ को बढ़ाने के लिए कहा गया।

इस यूनिट को पढत़े हुए आपने सोचा होगा कि किस प्रकार अपने विद्यार्थियों को स्वयं उदाहरण तैयार करने, गणितीय रूप से सोचने और समाविष्ट विचार प्रक्रियाओं पर गौर करने में सक्षम किया जाए।

आपने यह भी सोचा होगा कि जोड़ियों, समूहों और समग्र–कक्षा की चर्चाओं में परस्पर बातचीत के माध्यम से सीखते हुए क्षेत्रफल और परिधि की अवधारणाओं को समझने में अपने विद्यार्थियों की कैसे मदद की जाए।

विचार के लिए रुकें इस यूनिट में आपके द्वारा प्रयुक्त तीन विधियों को पहचानें जो अन्य विषयों को पढ़ाते समय भी उपयोग में लाई जा सकती हैं। दो ऐसे विषयों को नोट करें जो आप जल्द ही पढ़ाने वाले हैं जहाँ इन विचारों को थोड़े–बहुत सुधार के साथ इस्तेमाल किया जा सकता है।

संसाधन

संसाधन 1: NCF/NCFTE शिक्षण आवश्यकताएँ:

यह यूनिट निम्न NCF (2005) तथा NCFTE (2009) की शिक्षण आवश्यकताओं से जोड़ता है तथा उन आवश्यकताओं को पूरा करने में आपकी मदद करेगाः

• विद्यार्थियों को उनके शिक्षण में सक्रिय प्रतिभागी के रूप में देखें न कि सिर्फ ज्ञान प्राप्त करने वाले के रूप में; ज्ञान निर्माण के लिए उनकी क्षमताओं को कैसे प्रोत्साहित करें; रोट पद्धतियों से शिक्षण को दूर कैसे ले जाएँ।
• चलिए कुछ ऐसा करें कि विद्यार्थी गणित को किसी चर्चा के विषय के रूप में देखें, जिसके बारे में वे बात कर सकें, जिस पर वे स्वयं आपस में विचार–विमर्श करें, जिस पर साथ मिलकर कार्य करें।

संसाधन 2: सभी को शामिल करने के लिए जोड़ों का प्रबंधन

जोड़ी में काम, सभी को शामिल करने से संबंधित है। चूँकि विद्यार्थी भिन्न होते हैं, जोड़ियाँ इस प्रकार बनाई जाए कि सभी समझ सकें कि उन्हें क्या करना है, वे क्या सीख रहे हैं और उनसे आप क्या उम्मीद कर रहे हैं। अपनी कक्षा में जोड़ी कार्य दिनचर्या स्थापित करने के लिए, आपको निम्न करना चाहिएः

• जोड़ियाँ बनाएँ जिनमें विद्यार्थियों को काम करना है। कभी–कभी विद्यार्थी मित्रों की जोड़ी में काम करेंगे; कभी–कभी वे नहीं करेंगे। सुनिश्चित करें कि वे यह समझ जाएँ कि उनकी सीख बढ़ाने में मदद करने के लिए आप उनकी जोड़ियाँ तय करेंगे।
• अधिक चुनौतीपूर्ण बनाने के लिए, कभी आप मिश्रित क्षमता और भिन्न भाषाओं वाले विद्यार्थियों की जोड़ियाँ बना सकते हैं, ताकि वे एक दूसरे की मदद करें; अन्य समय में आप एकसमान स्तर पर काम करने वाले विद्यार्थियों की जोड़ी बना सकते हैं।
• रिकॉर्ड रखें ताकि आपको अपने विद्यार्थियों की क्षमताओं की जानकारी हो और आप तदनुसार उनकी जोड़ी बना सकें।
• शुरूआत में, उन परिवार और समुदायों के संदर्भों के उदाहरणों का उपयोग करते हुए जोड़ी में काम करने के लाभ समझाएँ, जहाँ लोग सहयोग करते हैं।
• प्रारंभिक कार्य संक्षिप्त और स्पष्ट रखें।
• विद्यार्थियों की जोड़ियों पर निगरानी रखें ताकि सुनिश्चित हो सके कि वे उसी प्रकार काम कर रहे हैं जैसा कि आप चाहते हैं।
• विद्यार्थियों को उनकी जोड़ी में भूमिकाएँ और जिम्मेदारियाँ सौंपें, जैसे कि किसी कहानी के दो किरदार, या सरल लेबल (’1’ और ’2’, या ’A’ और ’B’ के रूप में) दें। उनके द्वारा एक दूसरे का सामना करने के लिए जाने से पहले ऐसा करें ताकि वे सुनें।
• सुनिश्चित करें कि विद्यार्थी एक दूसरे का सामना करने के लिए बैठते समय आसानी से घूम या चल–फिर सकें।

जोड़ी में काम के दौरान, विद्यार्थियों को बताएँ कि प्रत्येक कार्य के लिए उनके पास कितना समय है और नियमित रूप से बाकी़ समय बताते रहें। उन जोड़ों की प्रशंसा करें जो एक दूसरे की मदद करते हैं और काम पर बने रहते हैं। जोड़ों को जमने और अपने स्वयं के समाधान खोजने के लिए समय दें – विद्यार्थियों द्वारा काम के बारे में सोचने और वे क्या कर सकते हैं दर्शाने से पहले शीघ्र काम में शामिल होना आकर्षक हो सकता है। अधिकांश विद्यार्थी ऐसे परिवेश को पसंद करते हैं जहाँ हर कोई बोलता और काम करता रहता है। जब आप देखते और सुनते हुए कक्षा में चारों ओर चहलक़दमी कर रहे हों, तब नोट करें कि कौन साथ में सहज है, और जो शामिल नहीं किया गया है उसके प्रति सतर्क रहें, और किन्हीं सामान्य त्रुटियों, अच्छे विचारों या सारांश बिंदुओं को नोट करें।

काम के अंत में विद्यार्थियों द्वारा विकसित चीज़ों के बीच संबंध जोड़ने में आपकी भूमिका है। आप कुछ जोड़ों को अपने काम को दिखाने के लिए चुन सकते हैं, या आप उनके लिए इसे संक्षेप में प्रस्तुत कर सकते हैं। विद्यार्थी एक साथ काम करते समय उपलब्धि की भावना महसूस करना पसंद करते हैं। ज़रूरी नहीं कि प्रत्येक जोड़ी आपको वापस रिपोर्ट करे – इसमें बहुत ज्यादा समय लग जाता है – लेकिन अपने प्रेक्षण के आधार पर उन विद्यार्थियों का चयन करें जो ऐसे सकारात्मक योगदान करने में सक्षम हों, जिससे दूसरों को सीखने में मदद मिले। यह आम तौर पर योगदान देने में शर्मीले स्वभाव के विद्यार्थियों के लिए उनमें आत्म–विश्वास निर्माण करने का एक अवसर हो सकता है।

यदि आपने विद्यार्थियों को हल करने के लिए कोई समस्या दी है, तो आप एक मॉडल उत्तर दे सकते हैं और फिर उन्हें कह सकते हैं कि वे अपने जवाब को सुधारने के तरीके पर जोड़ों में चर्चा करें। इससे उन्हें स्वयं अपने शिक्षण के बारे में सोचने और अपनी ग़लतियों से सीखने में मदद मिलेगी।

यदि आप जोड़ी में कार्य करवाने के लिए नए हैं, तो कार्य, समय या जोड़ों के संयोजन के संबंध में आप कोई बदलाव करना चाहते हैं तो उन परिवर्तनों पर नोट्स तैयार करना महत्वपूर्ण है। यह ज़रूरी है क्योंकि इस प्रकार आप सीख सकते हैं और अपने शिक्षण में सुधार कर सकते हैं। सफल जोड़ी कार्य का आयोजन स्पष्ट निर्देश और अच्छे समय प्रबंधन, साथ ही, संक्षिप्त सार तैयार करने से जुड़ा हुआ है – यह सब अभ्यास से आता है।

अतिरिक्त संसाधन

• A newly developed maths portal by the Karnataka government: http://karnatakaeducation.org.in/ KOER/ en/ index.php/ Portal:Mathematics
• National Centre for Excellence in the Teaching of Mathematics: https://www.ncetm.org.uk/
• National STEM Centre: http://www.nationalstemcentre.org.uk/
• National Numeracy: http://www.nationalnumeracy.org.uk/ home/ index.html
• BBC Bitesize: http://www.bbc.co.uk/ bitesize/
• Khan Academy’s math section: https://www.khanacademy.org/ math
• NRICH: http://nrich.maths.org/ frontpage
• Art of Problem Solving’s resources page: http://www.artofproblemsolving.com/ Resources/ index.php
• Teachnology: http://www.teach-nology.com/ worksheets/ math/
• Math Playground’s logic games: http://www.mathplayground.com/ logicgames.html
• Maths is Fun: http://www.mathsisfun.com/
• Coolmath4kids.com: http://www.coolmath4kids.com/
• National Council of Educational Research and Training’s textbooks for teaching mathematics and for teacher training of mathematics: http://www.ncert.nic.in/ ncerts/ textbook/ textbook.htm
• AMT-01 Aspects of Teaching Primary School Mathematics, Block 1 (‘Aspects of Teaching Mathematics’), Block 2 (‘Numbers (I)’), Block 3 (‘Numbers (II)’), Block 5 (‘Measurement’): http://www.ignou4ublog.com/ 2013/ 06/ ignou-amt-01-study-materialbooks.html
• LMT-01 Learning Mathematics, Block 1 (‘Approaches to Learning’) Block 2 (‘Encouraging Learning in the Classroom’), Block 4 (‘On Spatial Learning’), Block 6 (‘Thinking Mathematically’): http://www.ignou4ublog.com/ 2013/ 06/ ignou-lmt-01-study-materialbooks.html
• Manual of Mathematics Teaching Aids for Primary Schools, published by NCERT: http://www.arvindguptatoys.com/ arvindgupta/ pks-primarymanual.pdf
• Learning Curve and At Right Angles, periodicals about mathematics and its teaching: http://azimpremjifoundation.org/ Foundation_Publications
• Textbooks developed by the Eklavya Foundation with activity-based teaching mathematics at the primary level: http://www.eklavya.in/ pdfs/ Catalouge/ Eklavya_Catalogue_2012.pdf
• Central Board of Secondary Education’s books and support material (also including List of Hands-on Activities in Mathematics for Classes III to VIII) – select ‘CBSE publications’, then ‘Books and support material’: http://cbse.nic.in/ welcome.htm

References

Acknowledgements

अभिस्वीकृतियाँ

यह सामग्री क्रिएटिव कॉमन्स एट्रिब्यूशन–शेयरएलाइक लाइसेंस के अंतर्गत उपलब्ध कराई गई है (http://creativecommons.org/ licenses/ by-sa/ 3.0/ ) जब तक कि अन्यथा निर्धारित न किया गया हो। यह लाइसेंस TESSIndia, OU और UKAID लोगो के उपयोग को वर्जित करता है, जिनका उपयोग केवल TESS-India परियोजना के भीतर अपरिवर्तित रूप से किया जा सकता है।

कॉपीराइट के स्वामियों से संपर्क करने का हर प्रयास किया गया है। यदि किसी को अनजाने में अनदेखा कर दिया गया है, तो प्रकाशकों को पहला अवसर मिलते ही आवश्यक व्यवस्थाएँ करने में हर्ष होगा।

वीडियो (वीडियो स्टिल्स सहित): भारत–भर के उन अध्यापक शिक्षकों, मुख्याध्यापकों, अध्यापकों और विद्यार्थियों के प्रति आभार प्रकट किया जाता है जिन्होंने उत्पादनों में दि ओपन युनिवर्सिटी के साथ काम किया।