गणितीय तर्क शक्ति का विकास करना : गणितीय प्रमाण

यह इकाई किस बारे में है

गणितीय प्रमाण को अक्सर गणित का एक महत्वपूर्ण आधार माना जाता है। व्यावसायिक गणितज्ञ विकासशील अनुमान लगाते हैं फिर उसपर कार्य करते हैं कि क्या वे अनुमान सभी स्थितियों में लागू होते हैं, कुछ स्थितियों में लागू हैं या किसी भी स्थिति में लागू नहीं हैं। इसपर वे बहुत समय बिताते हैं। प्रमाण और औचित्य परिशुद्ध होने चाहिए और ज्ञात गणितीय तथ्यों और गुणो पर आधारित होने चाहिए। प्रमाणित करने की यह प्रक्रिया गणित की समझ और ज्ञान की जाँच के बीच की जाती है, और गणितीय विचारों और अवधारणाओं के बीच संबंध स्थापित किए जाते हैं।

गणित की समझ विकसित करने के लिए कक्षाओं में प्रमाणित करने की प्रक्रिया भी एक अच्छी गतिविधि हो सकती है। इससे विद्यार्थी गतिविधियों में व्यस्त रहते हैं और यह वास्तविक गणितज्ञों के द्वारा की गयी गतिविधि है। परन्तु विद्यालयों में अक्सर विद्यार्थी यह समझते हैं कि गणित में प्रमाणित करने की प्रक्रिया को रटकर याद किया जाता और सीखा जाता है। यह विधि केवल इस बात पर जोर देती है कि गणित तथ्यों और प्रक्रियाओं को कंठस्थ करने के बारे मे है, जबकि प्रमाण की अवधारणा का उद्देश्य अक्सर स्पष्ट नहीं किया जाता।

इस इकाई में आप गणितीय प्रमाण के बारे में तथा इस बारे में सोचेंगे कि किस प्रकार इसका उपयोग अपने विद्यार्थियों की गणितीय समझ को और बेहतर बनाने में किया जा सकता है। आप सीखेंगे कि अपने विद्यार्थियों को मौखिक विवेक बोध में और बेहतर बनने में मदद कैसे करें और वे चर्चाओं से प्रभावी रूप से कैसे सीख सकते हैं।

आप इस इकाई में क्या सीख सकते हैं

• विद्यार्थियों को किस प्रकार अपनी सोच प्रक्रियाओं को वर्णित करने और स्पष्ट करने के लिए सक्षम करें।

• बातचीत के माध्यम से विद्यार्थियों का शिक्षण किस प्रकार सुगम बनाएँ।

• प्रमाण शिक्षण में उपलब्धि के विभिन्न स्तरों के समाधान के लिए कुछ सुझाव।

इस इकाई का संबंध संसाधन 1 में दी गई एनसीएफ–2005 (NCF 2005) और एनसीएफटीई (2009) शिक्षण आवश्यकताओं से है।

1 विद्यालयों में गणितीय प्रमाण क्यों सिखाए जाएँ?

दुनियाभर में इस प्रकार की कई चर्चाएँ हो रही हैं कि क्या गणितीय प्रमाण विद्यालय की पाठ्यचर्या का भाग होना चाहिए। अध्यापकों को अक्सर प्रमाण पढ़ाने में कठिनाई होती है और विद्यार्थियों को अक्सर सीखने में परेशानी होती है। यह भी हमेशा स्पष्ट नहीं होता कि प्रमाण पर काम करने से किस प्रकार की गणितीय शिक्षा प्राप्त होती है। कुछ देशों में गणितीय प्रमाण की शिक्षा पूरी तरह से बंद ही कर दी गई है, यद्यपि अन्य देश इसे गणित में विवेक बोध के रूप में देखते हैं। भारत में, गणितीय प्रमाण अभी भी विद्यालय की पाठ्यचर्या का भाग है और कक्षा 9 और 10 की पाठ्यपुस्तकों के कई अध्यायों में गणितीय प्रमाण शामिल होते हैं।

विद्यालयों में गणितीय प्रमाण पर काम करने से मिलने वाली गणितीय सोच से जुड़ी कई सकारात्मक बातें हैं। शोधकर्ता बताते हैं कि गणितीय प्रमाण पर काम करने से कई तरह के गणितीय शिक्षण अवसर प्राप्त होते हैं। हन्ना (2000) ने इसका सारांश ऐसे बतायाः

• किसी कथन की सत्यता का सत्यापन
• यह सत्य क्यों है, इस बात का वर्णन करके व्याख्या
• विभिन्न परिणामों को सूक्तियों, मुख्य अवधारणाओं और प्रमेयों की किसी निगमनात्मक प्रणाली में व्यवस्थित करके व्यवस्थापन
• नए परिणामों की खोज या आविष्कार
• गणितीय ज्ञान प्रसारित करने के लिए संचार
• किसी प्रयोगाश्रित सिद्धात का निर्माण
• किसी परिभाषा का मतलब या किसी मान्यता के परिणामों की खोज
• सुविज्ञात तथ्यों का नई रूपरेखा में समावेशन और इस प्रकार इसे किसी एकदम नए नजरिए से देखना।

यह इकाई इस बात की खोजबीन करेगी और सुझाव देगी कि गणितीय प्रमाण की प्रक्रिया का उपयोग किस प्रकार उपर्युक्त जैसे शिक्षण अवसरों पर काम करके विद्यार्थियों में गणित की समझ बढ़ाने के उपकरण के रूप में किया जा सकता है।

विचार के लिए रुकें विद्यालय की पाठ्यचर्या में गणितीय प्रमाण के बारे में आपके विचार और राय क्या हैं? क्या इसे उसमें होना चाहिए? क्या आप इन शोधकर्ताओं द्वारा सुझाए गए शिक्षण अवसरों की सूची से सहमत हैं? किन–किन को आप सबसे महत्वपूर्ण मानते हैं? क्या इस प्रकार का गणितीय शिक्षण अभी आपकी कक्षा में होता है? यदि ऐसा है, तो आप इसे कैसे करते हैं? यदि नहीं, तो क्या आपके पास इस बारे में कोई विचार है कि आप अपने वर्तमान अभ्यास में क्या बदलना चाहेंगे?

2 क्या यह प्रमाण है?

गणितीय प्रमाण विज्ञान और कानून जैसे अन्य विषयों की प्रमाण से अलग है क्योंकि तर्क–वितर्क में हर चरण ज्ञात और निर्विवादित तथ्यों पर आधारित होना चाहिए – प्रमाण प्रयोगाश्रित साक्ष्य पर आधारित नहीं हो सकता। इसका मतलब यह है कि गणित में आप बस आवृत्तियों का निरीक्षण करके यह नहीं कह सकते है कि ’यह हमेशा सत्य है’। गणित में, प्रमाणों के सभी स्वीकार्य औचित्य या स्थापित कथनों, और तर्क के नियमों पर आधारित होने चाहिए।

सीखने के लिए, और नए शिक्षण का बोध करने के लिए विद्यार्थियों को अपने मौजूदा ज्ञान और अनुभव को जोड़ने में सक्षम होना चाहिए, जो सीधे औपचारिक प्रमाण में जाते समय करना कठिन होता है। इस इकाई के शेष भाग में गणितीय प्रमाण के महत्वपूर्ण पहलुओं को पहचानने और उनका विकास करने में विद्यार्थियों की सहायता करने के तरीके सुझाए गए हैं, जिनमें शामिल हैं:

• यह तर्क कि गणितीय प्रमाण अनुभवसिद्ध साक्ष्य पर आधारित नहीं होते
• गणितीय गुणधर्मों को जानना और पुनः याद करना
• प्रभावी तर्क–वितर्क तकनीकों का विकास
• पहले से ज्ञात बातों पर निर्माण।

कभी–कभी यह जानना कठिन होता है कि गणितीय विवेक बोध को कब ’प्रमाण’ माना जा सकता है या कब नहीं। इसका एक उदाहरण नीचे दिए गए परिदेृश्य में बताया गया है, जिसमें श्रीमती कपूर ने अपने विद्यार्थियों से पूछा कि वे इस बात को कैसे सिद्ध करेंगे कि किसी त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।

विचार के लिए रुकें इस बारे में सोचें कि ये विचार किस हद तक वास्तव में गणितीय प्रमाण हैं। क्या कोई अन्य तरीका है जिससे प्रमाण दिया जा सके? इन प्रमाणों को कैसे चुनौती दी जा सकती है?

3 गणितीय गुणधर्मों और तथ्यों को जानना

श्रीमती कपूर की कक्षा के विद्यार्थी इस बात के कुछ उदाहरण लेकर आए कि वे कोई गणितीय प्रमाण कैसे तैयार कर सकते हैं। हालाँकि, इनमें से किसी को भी गणितीय प्रमाण नहीं माना जा सकता, क्योंकि उपयोग किए गए तर्क पूरी तरह से स्वीकृत या स्थापित कथन नहीं थे। यद्यपि दूसरे सुझाव में इस तथ्य का उपयोग किया गया था कि किसी रेखा के कोणों का योग 180° होता है, लेकिन यह ’प्रमाण’ नहीं है कि तीन कोण हमेशा ’फिट’ होंगे। विद्यार्थी यह तर्क–वितर्क कर सकते हैं कि यह ’काम’ करेगा ही, लेकिन ऐसा औचित्य अनुभवसिद्ध साक्ष्य पर आधारित है, न कि किसी त्रिभुज के कोणों के गणितीय गुणधर्मों पर। प्रमेयों को सिद्ध करने का काम मौजूदा प्रमेयों और अभिगृहीतों के आधार पर किया जा सकता है; हालाँकि उन्हें आधार बनाकर कुछ करने से पहले आपको इनमें से कुछ बातें जाननी होंगी! जब आप कुछ को जान लेंगे, तो आप इनमें से अन्य कई का निगमन कर सकते हैं और अपनी स्वयं की उपप्रमेय बना सकते हैं।

गतिविधि 1 में कुछ ऐसे स्थापित और स्वीकृत कथन दिए गए हैं, जो विद्यालय के गणित में उपयोगी होते हैं। कुछ शास्त्रीय ज्यामिति से लिए गए हैं और उपरोक्त प्रमाण में उपयोगी हैं, लेकिन उदाहरण यह भी स्पष्ट करते हैं कि प्रमेयों का उपयोग ज्यामिति के अलावा कई अन्य क्षेत्रों में भी होता है। सूची में और चीज़ें जोड़ना, तथा दिए गए कथनों से अपने स्वयं के कुछ कथन निकालकर लिखने के लिए अपनी कल्पनाशीलता और प्राकृतिक निगमन कला का उपयोग करना विद्यार्थियों का काम है। ऐसी सोच को उकसाने के लिए यह वाक्य बहुत अच्छा हैः ’जब मुझे कुछ पता चलता है, तो मुझे कुछ और भी पता चलता है।’ ऐसा करके, विद्यार्थी विभिन्न अवधारणाओं के बीच संबंध भी स्थापित करेंगे और निगमन के अपने कौशल का अभ्यास करना शुरू करेंगे।

इस यूनिट में अपने विद्यार्थियों के साथ गतिविधियों के उपयोग का प्रयास करने के पहले अच्छा होगा कि आप सभी गतिविधियों को पूरी तरह (या आंशिक रूप से) स्वयं करके देखें। यह और भी बेहतर होगा यदि आप इसका प्रयास अपने किसी सहयोगी के साथ करें, क्योंकि जब आप अनुभव पर विचार करेंगे तो आपको मदद मिलेगी। स्वयं प्रयास करने से आपको शिक्षार्थी के अनुभवों के भीतर झांकने का मौका मिलेगा, जो परोक्ष रूप से आपके शिक्षण और एक शिक्षक के रूप में आपके अनुभवों को प्रभावित करेगा। जब आप तैयार हों, तो अपने विद्यार्थियों के साथ गतिविधियों का उपयोग करें। पाठ के बाद, इस बात पर विचार करें कि गतिविधि कैसी हुई और उससे क्या सीख मिली। इससे आपको सीखने वाले विद्यार्थियों पर ध्यान केंद्रित रखने वाला अधिक शैक्षिक वातावरण बनाने में मदद मिलेगी।

गतिविधि 1: स्थापित और स्वीकृत तथ्यों की एक उपयोगी सूची बनाना

अपने विद्यार्थियों को यह बताएँ कि तालिका 1 में ऐसे कुछ स्थापित और स्वीकृत कथनों की सूची दी गई है, जो विद्यालय के गणित में उपयोगी होते हैं। ध्यान दें कि पहली पाँच पंक्तियाँ ज्यामिति के पिता कहे जाने वाले प्राचीन यूनान के प्रसिद्ध गणितज्ञ यूक्लिड के ’सामान्य मतों’ से लिए गए हैं, जो उनकी पुस्तक तत्व में दिए गए हैं।

तालिका 1 स्थापित या स्वीकृत कथन या तथ्य, जो विद्यालय के गणित में उपयोगी होते हैं।

स्थापित या स्वीकृत कथन या तथ्य	एक उदाहरण लिखें या बनाएँ	जब मुझे यह पता चलता है, तो मुझे वह भी पता चल जाता है–...
ऐसी चीज़ें जो समान चीज़ों के बराबर होती हैं, वे एक–दूसरे के भी बराबर होती हैं (समतुल्यता का सकर्मक गुणधर्म)
जब समान चीज़ों को समान चीज़ों में जोड़ा जाता है, तो परिणाम भी समान होते हैं	7 + 3 = 4 + 6 23 – 4 = 19 – 0 अतः: 7 + 3 + 23 – 4 = 4 + 6 + 19 - 0
जब समान चीज़ों को समान चीज़ों में से घटाया जाता है, तो शेषफल समान होता है
पूर्ण संख्या अपने किसी भी भाग से बड़ी होती है
किसी भी बिंदु पर कोणों का योग 360° होता है		सरल रेखा का कोण 180° होता है
जब कोई रेखा कई समांतर रेखाओं को काटती (या गुजरती) है, तो लंबवत रूप से विपरीत कोण बराबर होते हैं और संगत कोण बराबर होते हैं		एकांतर कोण बराबर होते हैं
यदि दो रेखाएँ एक–दूसरे को काटती हैं, तो लंबवत रूप से विपरीत कोण बराबर होते हैं

अपने विद्यार्थियों से निम्न प्रश्न पूछें:

• क्या आप इनमें से किसी को पहचानते हैं? उनका जो मतलब हो सकता है क्या आप ऐसा चित्र बना सकते हैं?

• क्या आप ऐसे अन्य स्थापित और स्वीकृत कथन जानते हैं, जिन्हें इस सूची में जोड़ा जा सकता है?

• कथनों को पुनः देखें और सोचें: ‘जब मुझे यह पता चलता है, तो मुझे वह भी पता चल जाता है ... इन्हें लिख लें। आप अब स्वयं के गणितीय कथनों की खोज कर रहे हैं!

• अपने साथी से अपने काम और अपनी सोच की चर्चा करें, और उन्हें विश्वास दिलाने का प्रयास करें कि आप सही हैं!

अपने शिक्षण अभ्यास में दिखाना

जब आप अपनी कक्षा के साथ ऐसा कोई अभ्यास करें, तो बाद में बताएं कि क्या ठीक रहा और कहां गड़बड़ हुई। ऐसे सवाल की ओर ध्यान दें, जिसमें विद्यार्थियों की रुचि दिखाई दी हो और वे काम कर पाए और वे जिनका आपको स्पष्टीकरण करने की आवश्यकता हुई। ऐसी बातें ऐसी ’स्क्रिप्ट’ पता करने में सहायक होती हैं, जिससे आप विद्यार्थियों को शामिल कर सकें और विद्यार्थी गणित को रुचिकर और आनंददायक पा सकें। यदि वे कुछ भी समझ नहीं पाते हैं तथा कुछ भी नहीं कर पाते हैं, तो वे शामिल होने में कम रुचि लेंगे। जब भी आप गतिविधियां करें, इस चितंन पर आधारित अभ्यास का उपयोग करें, इस बात पर ध्यान देते हुए, जैसे श्रीमती कपूर ने किया था, कि कुछ छोटी–छोटी चीज़ों से काफी फर्क पड़ा।

विचार के लिए रुकें ऐसे चिंतन को गति देने वाले अच्छे सवाल हैं: आपकी कक्षा में इसका प्रदर्शन कैसा रहा? विद्यार्थियों से किस प्रकार की प्रतिक्रिया अनपेक्षित थी? क्यों? अपने विद्यार्थियों की समझ का पता लगाने के लिए आपने क्या सवाल किए? क्या किसी भी समय आपको ऐसा लगा कि हस्तक्षेप करना चाहिए? किन बिंदुओं पर आपको लगा कि आपको और समझाना होगा? क्या आपने कार्य में किसी भी तरीके का संशोधन किया? अगर हाँ, तो इसके पीछे आपका क्या कारण था?

4 गणितीय गुणधर्मों के बारे में विद्यार्थियों को सोचने में मदद करने वाली कार्य डिजाइन

गतिविधि 2 में, विद्यार्थियों ने निगमन विचार के लिए अपनी प्राकृतिक शक्तियों के आधार पर और गणितीय गुणधर्मों के अपने ज्ञान का उपयोग करके अपनी स्वयं की गणितीय ’सत्यताओं’ का निर्माण किया। गणितीय गुणधर्मों के बारे में जानकारी होना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि गणितीय प्रमाण में कोई भी तर्क इनपर आधारित होना चाहिए। इसी प्रकार, जब कोई कथन लागू होता है और जब लागू नहीं होता, इस बारे में गणितीय स्थितियों को परिभाषित करना भी समान महत्वपूर्ण होता है।

गणितीय समुच्चयों के लिए गुणधर्म और स्थितियाँ परिभाषित करने के बारे में विद्यार्थियों को अवगत होने में सहायता करने के लिए क्रमण और वर्गीकरण के कार्य प्रभावी होते हैं; अर्थात यह कि कौन से गुणधर्म कौन से समुच्चय के हैं। क्रम से छाँटने और वर्गीकरण द्वारा आप भिन्नताओं और समानताओं के बारे में सोचते हैं। अगली गतिविधि में इस तरीके का उपयोग किया गया है।

विचार के लिए रुकें अपने विद्यार्थियों की समझ का पता लगाने के लिए आपने क्या सवाल किए? क्या आपको लगा कि आपको किसी समय हस्तक्षेप करना होगा? किन बिंदुओं पर आपको लगा कि आपको और समझाना होगा? क्या आपके सभी विद्यार्थियों ने गतिविधि में भाग लिया? यदि किसी विद्यार्थी ने भाग न लिया हो, तो क्या आपने कारण पता किया?

5 विश्वास दिलाने के लिए शिक्षण

तर्क–वितर्क और निगमन के औपचारिक नियम जिनका उपयोग गणितीय प्रमाण में किया जाता है, उन्हें विद्यालय स्तर पर सिखाना आसान नहीं है। प्रयुक्त भाषा एकदम अलग होती है और अवधारणाओं को अक्सर विद्यार्थियों के अनुभव की दुनिया से परे माना जाता है। कुछ हद तक यह आश्चर्यजनक है, क्योंकि विचार और निगमन ऐसा कौशल और शक्तियाँ हैं जो हम सभी के पास होती हैं, साथ ही विश्वास दिलाने के विभिन्न स्तरों के बारे में जानना, जो कि कठिन है।

अगली दो गतिविधियों का लक्ष्य विद्यार्थियों के उन कौशलों और अनुभवों का उपयोग करना है, जो उनके पास अपने विचारों को अधिक व्यवस्थित और औपचारिक बनाने के लिए हर दिन के विचारों से आते हैं। इस तरह से यह उन बातों पर आधारित होता है, जो विद्यार्थी पहले से जानते हैं और करते हैं। पहली वाली में यह पता करने के लिए कि क्या कथन मान्य है और कब मान्य है, ’हमेशा सत्य, कभी कभार सत्य या कभी सत्य नहीं’ के कार्य डिजाइन का उपयोग किया जाता है।

फिर इस गतिविधि के परिणामों का उपयोग अगली वाली में किया जाता है, जहाँ विद्यार्थी अपने विचार और तर्क–वितर्क में कठिनाई के भिन्न स्तरों पर काम करते हैं। यहाँ पर कार्य डिजाइन ’स्वयं को विश्वास दिलाएँ, मित्र को विश्वास दिलाएँ, रामानुजन को विश्वास दिलाएँ’ की विधि का उपयोग करती है।

जिन लोगों को विश्वास दिलाना है, उन्हें अलग करने से विद्यार्थियों को अधिक सटीक बनने में मदद मिलती है। स्वयं को विश्वास दिलाना अक्सर आसान होता हैः आप अनुभवसिद्ध साक्ष्य से खुश हो सकते हैं और प्रयुक्त भाषा ढीली और अस्पष्ट हो सकती है, क्योंकि इसकी जोर से व्याख्या करने की कोई आवश्यकता नहीं है। किसी मित्र को विश्वास दिलाने के लिए भाषा में अधिक सटीकता की आवश्यकता होती है, क्योंकि विचार को संचार और प्रयुक्त तर्कों की वैधता के लिए सुव्यवस्थित और शब्दों में व्यक्त होना चाहिए। हालाँकि आपका मित्र आपकी बात को अभी भी स्वीकार करने को इच्छुक हो सकता है, क्योंकि वे आपके मित्र हैं, यद्यपि वे आपको स्वयं से अधिक चुनौती दे सकते हैं। महान भारतीय गणितज्ञ रामानुजन को विश्वास दिलाने के लिए ठोस गणितीय औचित्य की आवश्यकता होगी, क्योंकि वे अपने तर्क–वितर्क से कमियाँ निकालने का प्रयास करेंगे। रामानुजन को विश्वास दिलाने के लिए तर्कों को स्वीकृत और स्थापित गणितीय कथनों पर आधारित होना चाहिए, क्योंकि केवल वही अविवादित हैं।

वीडियोः चिंतन को बढ़ावा देने के लिए प्रश्न पूछने का उपयोग करना

वीडियोः सीखने के लिए बातचीत

अपनी कक्षा में शिक्षण के लिए प्रश्नोत्तरी और बातचीत का उपयोग करने के बारे में अधिक जानकारी के लि, संसाधन 2 और 3 देखें।

विचार के लिए रुकें आपकी कक्षा में इसका प्रदर्शन कैसा रहा? अपने विद्यार्थियों की समझ का पता लगाने के लिए आपने क्या सवाल किए? क्या आपने कार्य में किसी भी तरीके का संशोधन किया? अगर हाँ, तो इसके पीछे आपका क्या कारण था?

6 सारांश

गणित के शिक्षण, विशेष रूप से प्रमाण के बारे में, अक्सर विद्यार्थियों द्वारा पूरे तथ्यों और प्रक्रियाओं को जानने और याद करने के रूप में देखा जाता है। विद्यार्थियों को गणितीय कारण समझाना अक्सर न केवल उन्हें स्वयं के लिए गणितीय ’सत्यता’ का निर्माण करने में सक्षम बनाता है, बल्कि उन्हें गणित को समझने में भी मदद करता है। गणितीय कारण बताने के लिए उन्हें अपने तर्क तैयार करने के लिए गणितीय गुणधर्मों को खोजना और उपयोग करना होगा। इस तरह से गणितीय कारण तैयार करने को अक्सर विषय की खूबसूरती माना जाता है, और निश्चित रूप से यह विषय की एक मुख्य अवधारणा है। प्रमाण पर अपने विद्यार्थियों के साथ काम करके आप उन्हें एक गणितज्ञ की भूमिका निभाने और मनोहारी गणित की सराहना करने के लिए आमंत्रित कर रहे हैं।

विचार के लिए रुकें इस इकाई में आपके द्वारा उपयोग किए गए तीन विचार पहचानें जो अन्य विषयों को पढ़ाने में भी काम करेंगे। ऐसे दो विषय लिखें, जिन्हें आप शीघ्र ही पढ़ाने वाले हैं और जहाँ पर थोड़े–बहुत फेरबदल के साथ उन विचारों का उपयोग किया जा सकता है।

संसाधन

संसाधन 1: एनसीएफ/एनसीएफटीई शिक्षण आवश्यकताएँ

यह यूनिट NCF (2005) तथा NCFTE (2009) की निम्न शिक्षण आवश्यकताओं से जोड़ता है तथा उन आवश्यकताओं को पूरा करने में आपकी मदद करेगाः

• शिक्षार्थियों को उनके शिक्षण में सक्रिय प्रतिभागी के रूप में देखें न कि सिर्फ ज्ञान प्राप्त करने वाले के रूप में; ज्ञान निर्माण के लिए उनकी क्षमताओं को प्रोत्साहित करने के लिए; रटने की पद्धतियों से शिक्षण को दूर ले जाने के लिए।

• शिक्षण को निजी अनुभवों से अर्थ की खोज के रूप में और ज्ञान निर्माण को विचारात्मक शिक्षण की निरंतर विकास प्रक्रिया के रूप में देखें।
• विद्यार्थियों को गणित को किसी ऐसी चीज़ के रूप में लेने दें जिसके बारे में वे बात करें, जिसके द्वारा संवाद करें, जिसकी आपस में चर्चा करें, जिसपर साथ मिलकर कार्य करें।

संसाधन 2: चिंतन को बढ़ावा देने के लिए प्रश्न पूछने का उपयोग करना

शिक्षक हमेशा अपने विद्यार्थियों से प्रश्न पूछते हैं; प्रश्नों के माध्यम से शिक्षक अपने विद्यार्थियों की सीखने, अधिक सीखने में मदद कर सकते हैं। एक अध्ययन के अनुसार औसत रूप से, एक शिक्षक विद्यार्थियों से प्रश्न पूछने में अपना एक–तिहाई समय देता है (हेस्टिंग्ज, 2003)। पूछे गए प्रश्नों में, 60 प्रतिशत में तथ्यों की याद दिलाई गई और 20 प्रतिशत प्रक्रिया से संबंधित थे (हैटी, 2012), जिनमें अधिकांश के उत्तर सही या गलत होते थे। लेकिन क्या ऐसे सवाल पूछने से, जिनके जवाब सही या गलत होते हैं, शिक्षण को बढ़ावा मिलता है?

ऐसे कई प्रकार के प्रश्न हो सकते हैं, जो विद्यार्थी पूछ सकते हैं। शिक्षक जो जवाब और परिणाम चाहता है, उससे प्रश्न का वह प्रकार पता चलता है, जिसे शिक्षक को उपयोग करना चाहिए। शिक्षक अक्सर इसलिए विद्यार्थियों से प्रश्न पूछते हैं:

• नया विषय या सामग्री आने पर विद्यार्थियों को समझने के लिए विषयवस्तु के प्रस्तुतीकरण के लिए
• विद्यार्थियों को अपनी सोच का अधिक से अधिक भाग साझा करने हेतु प्रेरित करने के लिए
• गलती से बचाने के लिए
• विद्यार्थियों को आगे बढ़ाने के लिए
• समझ की जाँच करने के लिए।

सामान्य तौर पर प्रश्न यह जानने के लिए पूछे जाते हैं कि विद्यार्थी क्या जानते हैं, इसलिए उनकी प्रगति के आंकलन के लिए यह महत्वपूर्ण है। प्रश्नों का उपयोग विद्यार्थियों को प्रेरित करने, उनका चिंतन कौशल बढ़ाने और जिज्ञासु प्रवृत्ति का विकास करने के लिए भी किया जाता है। उन्हें दो मुख्य श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता हैः

• निचले स्तर के प्रश्न, जिनसे कि तथ्यों का स्मरण और पहले सिखाया गया ज्ञान जुड़ा होता है, प्रायः बंद सिरे के प्रश्नों (हां या नहीं में उत्तर) से संबद्ध होते हैं।

• उच्च स्तरीय प्रश्न, जिनमें अधिक चिंतन की आवश्यकता होती है। वे कोई उत्तर बनाने या किसी दलील का तार्किक रूप से समर्थन करने के लिए विद्यार्थियों से पहले प्राप्त की गई जानकारी को एक साथ रखने को कह सकते हैं। उच्च स्तर के प्रश्न प्रायः ज्यादा खुले सिरों वाले होते हैं।

खुले सिरों वाले (प्रश्न से नये प्रश्न उत्पन्न हों) प्रश्न विद्यार्थियों को पाठ्यपुस्तक आधारित, शब्दशः उत्तरों से परे सोचने को प्रेरित करते हैं, जिससे कई तरह के उत्तर मिलते हैं। वे सामग्री के बारे में विद्यार्थियों की समझ का आंकलन करने में भी शिक्षकों की मदद करते हैं।

संसाधन 3: सीखने के लिए बातचीत

अतिरिक्त संसाधन

• ‘Proof – sum of measures of angles in a triangle are 180’ by Khan Academy: https://www.khanacademy.org/ math/ geometry/ angles/ v/ proof---sum-of-measures-of-angles-in-a-triangle-are-180
• A newly developed maths portal by the Karnataka government: http://karnatakaeducation.org.in/ KOER/ en/ index.php/ Portal:Mathematics
• Class X maths study material: http://www.zietmysore.org/ stud_mats/ X/ maths.pdf
• National Centre for Excellence in the Teaching of Mathematics: https://www.ncetm.org.uk/
• National STEM Centre: http://www.nationalstemcentre.org.uk/
• OpenLearn: http://www.open.edu/ openlearn/
• BBC Bitesize: http://www.bbc.co.uk/ bitesize/
• Khan Academy’s math section: https://www.khanacademy.org/ math
• NRICH: http://nrich.maths.org/ frontpage
• Mathcelebration: http://www.mathcelebration.com/
• Art of Problem Solving’s resources page: http://www.artofproblemsolving.com/ Resources/ index.php
• Teachnology: http://www.teach-nology.com/ worksheets/ math/
• Maths is Fun: http://www.mathsisfun.com/
• National Council of Educational Research and Training’s textbooks for teaching mathematics and for teacher training of mathematics: http://www.ncert.nic.in/ ncerts/ textbook/ textbook.htm
• LMT-01 Learning Mathematics, Block 1 (‘Approaches to Learning’) Block 2 (‘Encouraging Learning in the Classroom’), Block 6 (‘Thinking Mathematically’): http://www.ignou4ublog.com/ 2013/ 06/ ignou-lmt-01-study-materialbooks.html
• Learning Curve and At Right Angles, periodicals about mathematics and its teaching: http://azimpremjifoundation.org/ Foundation_Publications
• Central Board of Secondary Education’s books and support material (also including the Teachers Manual for Formative Assessment – Mathematics (Class IX)) – select ‘CBSE publications’, then ‘Books and support material’: http://cbse.nic.in/ welcome.htm

References

Acknowledgements

अभिस्वीकृतियाँ

तृतीय पक्षों की सामग्रियों और अन्यथा कथित को छोड़कर, यह सामग्री क्रिएटिव कॉमन्स एट्रिब्यूशन–शेयरएलाइक लाइसेंस के अंतर्गत उपलब्ध कराई गई है (http://creativecommons.org/ licenses/ by-sa/ 3.0/)। नीचे दी गई सामग्री मालिकाना हक की है तथा लाइसेंस के अंतर्गत ही इस प्रोजेक्ट में उपयोग की गई है, तथा इसका Creative Commons Licence से कोई वास्ता नहीं है। इसका अर्थ यह है कि यह सामग्री अपरिवर्तित रूप से केवल TESS-India प्रोजेक्ट में ही उपयोग की जा सकती है और यह किसी अनुवर्ती OER संस्करणों में उपयोग नहीं की जा सकती। इसमें TESS-India, OU और UKAID लोगो का उपयोग भी शामिल है। इस यूनिट में सामग्री को पुनः प्रस्तुत करने की अनुमति के लिए निम्न स्रोतों का कृतज्ञतारूपी आभार किया जाता हैः

चित्र 1: द ओपन यूनिवर्सिटी के लिए क्लेयर ली (Figure 1: Clare Lee for The Open University).

कॉपीराइट के स्वामियों से संपर्क करने का हर प्रयास किया गया है। यदि किसी को अनजाने में अनदेखा कर दिया गया है, तो पहला अवसर मिलते ही प्रकाशकों को आवश्यक व्यवस्थाएं करने में हर्ष होगा।

वीडियो (वीडियो स्टिल्स सहित): भारत भर के उन अध्यापक शिक्षकों, मुख्याध्यापकों, अध्यापकों और विद्यार्थियों के प्रति आभार प्रकट किया जाता है जिन्होंने उत्पादनों में दि ओपन यूनिवर्सिटी के साथ काम किया है।