गणित के बारे में बात करने के लिए विद्यार्थियों को प्रोत्साहित करना और ऐसा करने के लिए उपयुक्त शब्दावली विकसित करने में उनकी मदद करना शिक्षण का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। सोच और संप्रेषण घनिष्ट रूप से परस्पर जुड़े हैं (Sfard, 2010)– यदि आप चाहते हैं कि आपके विद्यार्थी गणित के बारे में सोचे, समझें और इस प्रकार प्रभावी रूप से गणित सीखें, तो उन्हें अपने गणितीय विचारों को संप्रेषित करने की विधि भी सीखने की ज़रूरत होगी।
यदि आप गणितीय शब्दावली और पदावली का प्रयोग करते हुए संवाद करने के लिए अपने विद्यार्थियों की मदद करते हैं, तो आप उनके काम के दौरान प्रस्तुतिकरण और बात करते हुए उन्हें सुनने में सक्षम होंगे। सुन कर आप पता लगा सकते हैं कि उन्होंने गणितीय विचारों को समझा है या नहीं। इससे आपको उनके शिक्षण का मूल्यांकन करने में मदद मिलेगी।
विद्यार्थियों को एक दूसरे के साथ उस बारे में बात करना सीखने की ज़रूरत है जो वे सोच रहे हैं। दूसरों को संप्रेषित करने के लिए विचारों को क्रमबद्ध करने की कार्रवाई से उन्हें धारणाओं को सीखने में मदद मिलेगी (Lee, 2006) और कभी–कभी ग़लतफ़हमियों को सुधारने में भी सक्षम होंगे।
![]() विचार के लिए रुकें अपनी कक्षा के बारे में विचार करें। आपकी कक्षा में विद्यार्थियों और आपके बीच, या सिर्फ़ विद्यार्थियों के बीच कितना संप्रेषण होता है? विद्यार्थी गणितीय शब्दावली का उपयोग करना कितना आसान पाते हैं? आपको ऐसा क्यों लगता है? आपने गणितीय अवधारणाओं को संप्रेषित करना किस प्रकार सीखा? आपने गणित के बारे में किससे बात की थी? क्या बातचीत से आपको अपने विचारों को सुलझाने में मदद मिली? |
विद्यार्थियों से प्रमुख शब्दों का उपयोग करने की अपेक्षा करना और उन्हें ऐसी स्थिति में डालना, जहाँ उनके लिए ऐसा करना ज़रूरी हो, अत्यंत महत्वपूर्ण है। इसे प्रभावी रूप से हासिल करने के लिए, नई शब्दावली का उपयोग करने वाले कार्य परिणाम के लिए महत्वपूर्ण हैं। गतिविधि 1 विद्यार्थियों को त्रिभुज बनाते हुए और उसका वर्णन करते ऐसा करने के लिए कहती है।
इस यूनिट में अपने विद्यार्थियों के साथ गतिविधियों के उपयोग का प्रयास करने के पहले अच्छा होगा कि आप सभी गतिविधियों को पूरी तरह (या आंशिक रूप से) स्वयं करके देखें। यह और भी बेहतर होगा यदि आप इसका प्रयास अपने किसी सहकर्मी के साथ करें क्योंकि जब आप अनुभव पर विचार करेंगे तो आपको मदद मिलेगी। स्वयं प्रयास करने से आपको शिक्षार्थी के अनुभवों के भीतर झांकने का मौका मिलेगा, जो आपके शिक्षण और एक शिक्षक के रूप में आपके अनुभवों को प्रभावित करेगा। जब आप तैयार हों, तो अपने विद्यार्थियों के साथ गतिविधियों का उपयोग करें। पाठ के बाद, सोचें कि गतिविधि किस तरह हुई और उससे क्या सीख मिली। इससे आपको अधिक विद्यार्थी–केन्द्रित शैक्षिक वातावरण विकसित करने में मदद मिलेगी।
इस गतिविधि के लिए, आपको विभिन्न लंबाई वाली छड़ियों के ढेर की ज़रूरत होगी। आप बाँस से उपयुक्त छड़ियाँ काट सकते हैं। छड़ियों की लंबाई की सीमा पर्याप्त रूप से बड़ी होना चाहिए – मान लें, 2 इंच से 18 इंच तक।
आदर्श रूप से प्रत्येक विद्यार्थी के लिए कम से कम तीन छड़ियाँ होनी चाहिए। यदि यह संभव नहीं है, तो विद्यार्थियों की प्रत्येक जोड़ी के लिए या तीन विद्यार्थियों के समूहों के लिए तीन छड़ियों का उपयोग करें। प्रत्येक विद्यार्थी (या विद्यार्थियों की जोड़ी) यादृच्छिक रूप से तीन छड़ियाँ उठाता है। सुनिश्चित करें कि उन्हें अपनी छड़ियों की लंबाई का चयन करने का मौक़ा न मिले। विद्यार्थियों को बाहर ले जाना मददगार होगा जहाँ उन्हें चलने–फिरने के लिए पर्याप्त जगह मिले।
बोर्ड पर या दीवार पर काग़ज के एक बड़े टुकड़े पर शब्द लिखें।
विद्यार्थियों से कहें कि वे अपने द्वारा चुनी गई तीन छड़ियों का उपयोग करते हुए एक त्रिभुज बनाएँ।
अपने विद्यार्थियों से निम्नलिखित पूछें:
न्यून, अधिक, सम, लम्ब, विषम, समद्विबाहु, समबाहु, कोण, भुजा, लंबाई, अंश, बड़ा, छोटा, लंबा, लघु, क्षेत्रफल, वर्ग, विपरीत, संलग्न।
अब विद्यार्थियों को एक और छड़ी दें, ताकि उनके पास कुल मिलाकर चार छड़ियाँ हो जाएँ।
अपने विद्यार्थियों से कहें:
यह एक शिक्षिका की कहानी है , जिसने अपने माध्यमिक कक्षा के विद्यार्थियों के साथ गतिविधि 1 का प्रयास किया।
मैंने यह सुनिश्चित किया कि शुरुआत में ही कक्षा को मैं बता दूँ कि वे क्यों यह गतिविधि कर रहे हैं। मैंने उन्हें बताया कि यह वास्तव में महत्वपूर्ण है कि वे त्रिभुज के सभी विभिन्न भागों को पहचानें और उनके बारे में बात करें। इससे वे अपने पाठ्यपुस्तक में या परीक्षा में हल करने के लिए पूछे जाने वाले सवालों को बेहतर रूप से समझने में सक्षम होंगे। मैंने उनसे यह भी कहा कि पाठ के अंत में, मैं उनसे यह जाँचने के लिए कहूँगी कि वे त्रिभुज के हर हिस्से के लिए पारंपरिक शब्दावली का प्रयोग कर सकते हैं, क्योंकि उनके लिए यह सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है कि उन्होंने समझा है और सही तरह नामों का उपयोग कर सकते हैं।
चूँकि मेरी कक्षा में बहुत विद्यार्थी हैं, इसलिए यह अभ्यास करने के लिए मैंने उन्हें तीन के समूह में काम करने के लिए कहा। प्रत्येक समूह से एक विद्यार्थी आगे आया और तीन छड़ियाँ उठाई; मैंने उन्हें थाम रखा था, ताकि उन्हें पता न चले कि वे छोटी छड़ियाँ उठा रहे हैं या बड़ी ।
फिर मैंने उनसे कहा कि वे तीन छड़ियों के सिरे मिलाते हुए त्रिभुज बनाएँ और जब यह कार्य संपन्न हो जाए, तो अपने हाथ ऊपर उठाएँ। कुछ समूहों ने बहुत जल्दी अपने हाथ ऊपर उठा दिए, लेकिन ऐसा करने के लिए बहुत ही कोशिश की जा रही थी, और विशेष रूप से दो समूहों में। मैंने प्रत्येक से रुकने को कहा और जो समूह त्रिभुज बना चुके थे उन्हें बैठने के लिए कहा।
फिर मैंने उन दो समूहों से कारण पूछा जो अभी भी खड़े थे। ‘हम त्रिभुज नहीं बना सकते, मिस,’ उन्होंने कहा। ‘क्यों नहीं?’ मैंने पूछा। पहले उन्होंने इस प्रकार कहना शुरू किया ‘छड़ियाँ मिलाई नहीं जा सकती’ या ‘हम नोक नहीं बना पा रहे हैं’। मैंने उन्होंने रोका और कक्षा से पूछा कि जब त्रिभुज में हों तो छड़ियों और नोक को क्या कहा जाता है। अंततः डैना ने कहा ‘वे भुजा और शीर्ष हैं,’ इस पर सही शब्दावली का उपयोग करने के लिए मैंने उसे बधाई दी – और उन्हें पाठ के प्रयोजन का स्मरण कराया। बहुत चर्चा और दूसरों से मदद लेने के बाद, दो समूह यह कहने में सक्षम हुए कि ‘त्रिभुज बनाने के लिए, दो छोटी भुजाओं की लंबाइयों का योग लंबी भुजा की लंबाई से अधिक होनी चाहिए’। यह असली वर्ग प्रयास था, इसलिए मुझे यकी़ न हो गया कि उन सबने योगदान दिया था और इस बिंदु को समझा था। इसके बाद उन्हें दूसरे समूह के साथ अपनी छड़ियों की अदला–बदली करने की अनुमति दी गई और हम दूसरे भाग की ओर बढ़े।
मैंने विद्यार्थियों से कहा कि उन्हें पारंपरिक गणितीय भाषा का प्रयोग करते हुए बाक़ी कक्षा को अपने त्रिभुज का परिचय करवाना होगा। मैंने उनके द्वारा उपयोग किए जाने वाले शब्दों को ब्लैकबोर्ड पर लिखा, और पाठ्यपुस्तक का उपयोग करते हुए जाँचा कि उनके लिए ज़रूरी सभी चीज़ें मैंने समझा दी हैं। मैंने उन्हें अपने त्रिभुज को नाम देने और यथा संभव ब्लैकबोर्ड पर मौजूद अनेक शब्दों का उपयोग करते हुए परिचय पर विचार करने के लिए दस मिनट दिए।
क्योंकि मैंने शब्दों की सूची लिख दी थी, इसलिए विद्यार्थी गणितीय रूप से बोल सकते थे; इसके अलावा, मैंने हर विद्यार्थी को उनके द्वारा बनाए गए त्रिभुज के बारे में कुछ कहना आवश्यक बनाया ताकि चर्चा में हर कोई कुछ योगदान दे।
यह दिलचस्प रहा क्योंकि कुछ विद्यार्थियों ने अपने त्रिभुज के लिए बहुत ही असामान्य विवरण प्रस्तुत किए। सोना ने कहा कि उसने ‘एक बूढ़ा त्रिभुज’ बनाया है। जब मैंने इस प्रकार कहने का मतलब उससे जानना चाहा, तो उसने कहा कि वह झुक रहा है। मैंने उसे गणितीय शब्द का उपयोग करने को कहा, लेकिन वह उसके लिए शब्द सोच नहीं पाई, तब मैंने उसे ब्लैकबोर्ड पर चित्रित करने को कहा और दूसरों से पूछा कि वे उसे क्या कहेंगे। रवि ने फौ़ रन कहा कि वह ‘अधिक कोणीय’ है। हमने इन त्रिभुजों पर चर्चा की और, परिणामस्वरूप, हमने कई चीज़ों पर चर्चा की। जैसे–जैसे प्रत्येक समूह ने अपने त्रिभुज का परिचय दिया मैंने ब्लैकबोर्ड पर ‘कर्ण’, ‘विपरीत’, ‘न्यून’, ‘अधिक’, आदि को टिक किया, और उन्हें बताया कि वे कितने सफल रहे। किसी ने सभी शब्दों का उपयोग नहीं किया, लेकिन वे इसके क़रीब पहुँच गए।
जब आप अपनी कक्षा के साथ ऐसी कोई गतिविधि करें, तो बाद में सोचे कि क्या ठीक रहा और कहाँ ध्यान देने की जरूरत है। ऐसे प्रश्नों पर विचार करें जिसमें विद्यार्थियों ने दिलचस्पी दिखाई और वे प्रश्न, जहाँ आपको स्पष्ट करने की ज़रूरत हुई। ऐसे चिंतन से वह ’स्क्रिप्ट’ मिल जाती है, जिसकी मदद से आप विद्यार्थियों के मन में गणित के प्रति रुचि जगा सकते हैं और उसे मनोरंजक बना सकते हैं। यदि विद्यार्थी समझ नहीं पाते हैं और कुछ कर नहीं पाते हैं तो उनके सम्मिलित होने की सम्भावना कम रहेगी। जब भी आप गतिविधियाँ करें, इस विचार करने वाले अभ्यास का उपयोग करें, कुछ छोटी–छोटी ऐसी चीज़ों को नोट करते हुए जिनसे काफ़ी फ़र्क पड़ा, जैसा कि श्रीमती चड्ढ़ा ने किया।
![]() विचार के लिए रुकें ऐसे चिंतन को गति देने वाले अच्छे प्रश्न निम्नलिखित हैं:
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गणितीय वार्तालाप को प्रोत्साहित करने के लिए एक व्यावहारिक गतिविधि का उपयोग करना एक ऐसी तकनीक है, जिसका आप कई अलग–अलग प्रकरणों में उपयोग कर सकते हैं। दो अन्य ऐसे प्रकरणों के बारे में सोचने का प्रयास करें, जहाँ आप इस तकनीक का उपयोग कर सकते हैं। अपने विचारों को अपने स्कूल या स्थानीय स्कूलों के गणित के साथी शिक्षकों के साथ साझा करें और उनके विचारों का नोट तैयार करें, जिसे आपकी पाठ योजना में एकीकृत किया जा सके।
OpenLearn - सहयोगी-अधिगम और गणितीय चर्चा: त्रिभुज Except for third party materials and otherwise, this content is made available under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 Licence, full copyright detail can be found in the acknowledgements section. Please see full copyright statement for details.