गणितीय लचीलेपन का निर्माण :त्रिभुजों में समरुपता और सर्वांगसमता

यह इकाई किस बारे में है

सभी शिक्षण में एक निश्चित मात्रा में लचीलेपन की आवश्यकता होती है, और इस बात को व्यापक रूप से मान्यता प्राप्त है कि आज स्कूल में विद्यार्थियों को आजीवन सीखने के लिए लचीलेपन की आवश्यकता होगी। गणित के लिए एक विशेष प्रकार के लचीलेपन की आवश्यकता प्रतीत होती है; आंशिक रूप से न केवल समाज द्वारा इसे देखे जाने के तरीक़े के कारण, बल्कि इसलिए भी कि कई लोगों को अक्सर गणित को प्रस्तुत किए जाने वाले तरीके़ की वजह से उत्पन्न होने वाली बाधाओं को पार करने के लिए दृढ़ता और मेहनत से प्रयास करते रहना पड़ता है। विद्यार्थियों को लचीलेपन के प्रकार के निर्माण में मदद करने से वे गणित को बेहतर तरीके़ से सीखने में सक्षम हो सकते हैं, जो बदले में सुनिश्चित करता है कि वे उन योग्यताओं को पा सकें, जिनसे उन्हें जीवन में अधिक अवसर मिल सकता है।

गणित की जटिलता का एक अच्छा उदाहरण त्रिकोण की सर्वांगसमता और समानता में पाया जा सकता है, जिसे आप इस इकाई में पढ़ेंगे। संक्षेप में कहा जाए, तो ये बहुत ही सरल और सीधी अवधारणाएँ हैं; लेकिन किसी भी पाठ्यपुस्तक में देखें और गणितज्ञों की मौलिकता और रचनात्मकता पर ध्यान दें, जिन्होंने सदियों से, इस तरह की सरल अवधारणाओं के लिए कई गणितीय विचारों को विकसित किया है।

इस इकाई की गतिविधियों के माध्यम से, आप विद्यार्थियों की जिज्ञासा और गणितीय अवधारणाओं का पता लगाने की क्षमता के पोषण के लिए गणित सीखने में अपने विद्यार्थियों के लचीलेपन को विकसित करने में मदद कर सकेंगे – और इसके परिणामस्वरूप, सफल होने के लिए पर्याप्त प्रयास और मेहनत करें।

आप इस इकाई में क्या सीख सकते हैं

• गणित सीखते समय विद्यार्थियों में लचीलेपन का निर्माण कैसे करें।
• आपके विद्यार्थियों को बेहतर तरीक़े से गणित सीखने में मदद के लिए कुछ सुझाव।
• गणित सीखते समय विद्यार्थियों को, परेशानियों का पूर्वानुमान लगाने और उन पर क़ाबू पाने के लिए आकर्षित करने में सहायक कुछ विचार।

इस यूनिट का संबंध संसाधन 1 में दर्शाई गई NCF (2005) और NCFTE (2009) शिक्षण आवश्यकताओं से है।

1 लचीलापन और सीखने में गणितीय लचीलापन

विचार के लिए रुकें भारतीय पाठ्यचर्या में त्रिकोण के साथ काम करना पाठ्यक्रम का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। आप इसे 9वीं कक्षा और 10वीं कक्षा के पाठ्यपुस्तकों में पा सकते हैं जहाँ त्रिकोण, सर्वांगसमता और समानता की व्याख्या शामिल की गई है। (NCERT की पाठ्यपुस्तकों में, 9वीं कक्षा के लिए अध्याय 7 और 8, तथा 10वीं कक्षा के लिए अध्याय 6, 11 और 13) आपके विचार में उसे अक्सर क्यों पढ़ा जाता है? क्या आप पाठ्यक्रम में उस पर ज़ोर दिए जाने पर सहमत हैं?

लचीलापन समस्याओं और बाधाओं का सामना करने की क्षमता है; तब भी आगे बढ़ते जाना है जब मार्ग कठिन हो। जीवन में अच्छी तरह काम करने के लिए हम सभी को कुछ हद तक लचीला होने की आवश्यकता है।

वर्तमान शैक्षिक अभ्यास और अनुसंधान शिक्षण में लचीला होने के महत्व और शैक्षणिक उपलब्धि तथा व्यावसायिक सफलता पर ध्यान केंद्रित करता है। आजीवन सीखना समाज का आदर्श बनता जा रहा है। लचीले शिक्षार्थियों का सीखने की दिशा में एक सकारात्मक रुख़ होगा और वे समस्याओं तथा बाधाओं के बावजूद अपनी शिक्षा जारी रखेंगे, जो घरेलू समस्याओं से लेकर, जैसे कि काम करने के लिए शांत जगह खोजने में असमर्थता या भूख लगना, या गणितीय सूत्रों का मतलब न समझना जैसी शिक्षण समस्याओं तक विस्तृत हो सकती हैं।

गणितीय लचीलापन होना विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। ली और जॉनस्टन–वाइल्डर (2013) गणितीय लचीलेपन को ‘शिक्षार्थी के गणित के प्रति रुख़, जो विद्यार्थियों को अपनी गणित सीखने की यात्रा में बाधाओं और चुनौतियों के बावजूद शिक्षण जारी रखने में सक्षम बनाती है’ के रूप में वर्णित करते हैं। वे तर्क देते हैं कि गणित सीखने के लिए विभिन्न कारकों की वजह से ‘विद्यार्थियों को विशेष लचीलेपन की आवश्यकता है’ जिनमें शामिल हैं:

• The types of teaching often involved (Nardi & Steward, 2003)
• The nature of mathematics itself (Mason, 1988)
• Pervasive beliefs about mathematical ability being fixed (Dweck, 2000).

विचार के लिए रुकें वापस सोचे कि कब पिछली बार स्वयं आपने गणित पर काम किया था। क्या आप स्वयं को गणितीय तौर पर लचीला शिक्षार्थी के रूप में वर्णित करेंगे? ऐसा क्यों है? आप अपने शिक्षण में ऐसा क्या करते हैं जिसके कारण आप स्वयं को एक गणितीय रूप से लचीला शिक्षार्थी या अन्यथा के रूप में विचार करते हैं? अपनी कक्षा के कुछ विद्यार्थियों के बारे में सोचे और विचार करें कि वे किस प्रकार गणित सीखने की कोशिश करते हैं। किसी एक विशिष्ट विद्यार्थी के बारे में सोचे जिसे आप गणितीय रूप से लचीला मानते हैं, और एक जो ऐसा नहीं है। उनके शिक्षण व्यवहार में क्या समानता है और क्या अलग है?

2 गणितीय लचीलेपन के लिए शिक्षण

3 गणितीय भाषा विकसित करना

गणितीय रूप से लचीला बनने के लिए विद्यार्थियों द्वारा जो उन्हें कठिन लग रहा है उस पर ध्यान देने और अपने सवाल, विचार और कल्पनाओं को अभिव्यक्त करने की आवश्यकता है। ऐसा करने में सक्षम होने के लिए, विद्यार्थियों को गणितीय शब्दावली पढ़ने, उसकी व्याख्या करने और उसे लागू करने के अवसर की आवश्यकता है। किसी भी भाषा को सीखने के समान ही, इसमें शब्दों और अभिव्यक्तियों को पहचानना, उन्हें अलग–अलग संदर्भों और वाक्यांशों में उपयोग करना, और शब्द तथा अभिव्यक्तियों को अर्थ देना शामिल है। प्रभावी रूप से किसी भाषा को सीखने के लिए आपको नियमित रूप से उसे सुनने, देखने, पढ़ने, लिखने और बोलने का अभ्यास करने की आवश्यकता है।

गतिविधि 1 अन्वेषण करता है कि गणितीय शब्दावली के साथ किस प्रकार व्यवहार करें। इसमें विद्यार्थियों को स्वयं अपने गणितीय शब्दकोश पर चिंतन करने, ऐसे गणितीय शब्दों और कथनों को पहचानने की ज़रूरत है जिनके लिए स्पष्टीकरण की आवश्यकता हो, स्वयं अपने स्पष्टीकरण लिखने और किसी अन्य विद्यार्थी के साथ इन पर बात करने की आवश्यकता है। ऐसा करने में वे स्वयं सीखते हैं कि गणित की भाषा का कैसे अर्थ लगाया जा सकता है, जो उन्हें गणित सीखते समय ’मुक्त’ होने में मदद कर सकता है।

इस इकाई में सभी गतिविधियों का गणितीय संदर्भ त्रिकोण हैं, और विशेष रूप से, त्रिकोणों में समानता और सर्वांगसमता। लेकिन, गतिविधियों में अपनाया गया दृष्टिकोण विद्यार्थी अध्ययन के सभी प्रकरणों पर लागू किया जा सकता है।

गतिविधि 1 के भाग 3 में, विद्यार्थियों को भाग 1 और 2 में उनके अधिगम पर भी विचार करने के लिए कहा गया है। यह इस इकाई की अधिकांश गतिविधियों में दोहराया गया है। इस का उद्देश्य विद्यार्थियों को सीखते समय इस बात के बारे में अधिक जागरूक रहना है कि उनके लिए क्या कारगर होता है, और इसके परिणामस्वरूप अपने शिक्षण में अधिक सक्रिय बनना है।

इस यूनिट में अपने विद्यार्थियों के साथ गतिविधियों के उपयोग का प्रयास करने के पहले अच्छा होगा कि आप सभी गतिविधियों को पूरी तरह (या आंशिक रूप से) स्वयं करके देखें। यह और भी बेहतर होगा यदि आप इसका प्रयास अपने किसी सहयोगी के साथ करें, क्योंकि जब आप अनुभव पर विचार करेंगे तो आपको मदद मिलेगी। स्वयं प्रयास करने से आपको शिक्षार्थी के अनुभवों के भीतर झांकने का मौका मिलेगा, जो परोक्ष रूप से आपके शिक्षण और एक शिक्षक के रूप में आपके अनुभवों को प्रभावित करेगा। जब आप तैयार हों, तो अपने विद्यार्थियों के साथ गतिविधियों का उपयोग करें। पाठ के बाद, सोचें कि गतिविधि किस तरह हुई और उससे क्या सीख मिली। इससे आपको अधिक विद्यार्थी–केन्द्रित शैक्षिक वातावरण विकसित करने में मदद मिलेगी।

वीडियोः सीखने के लिए बातचीत

वीडियोः सीखने के लिए बातचीत

आप मुख्य संसाधन ‘स्थानीय संसाधनों का उपयोग’ और ‘सामूहिक कार्य का उपयोग’ भी देख सकते हैं।

अपने शिक्षण अभ्यास में दिखाना

जब आप अपनी कक्षा के साथ ऐसी कोई गतिविधि करें, तो बाद में सोचे कि क्या ठीक रहा और कहाँ गड़बड़ हुई। ऐसे प्रश्नों की ओर ध्यान दें जिनमें विद्यार्थियों ने दिलचस्पी दिखाई और जिन्हें वे समझने में समर्थ थे, और जिनके लिए आपको स्पष्टीकरण देने की आवश्यकता हुई। ऐसी बातें ऐसी ’स्क्रिप्ट’ पता करने में सहायक होती हैं, जिससे आप विद्यार्थियों में गणित के प्रति रुचि जगा सकें और उसे मनोरंजक बना सकें। यदि वे कुछ भी समझ नहीं पाते हैं तथा कुछ भी नहीं कर पाते हैं, तो वे शामिल होने में कम रुचि लेंगे। जब भी आप गतिविधियां करें, इस चिंतनीय अभ्यास का उपयोग करें, इस बात पर ध्यान देते हुए, जैसे श्री अग्रवाल ने किया था, कि कुछ छोटी–छोटी चीज़ों से काफी फर्क पड़ा ।

विचार के लिए रुकें ऐसे चिंतन को गति देने वाले अच्छे सवाल हैं: आपकी कक्षा कैसी रही? विद्यार्थियों से किस प्रकार की प्रतिक्रिया अनपेक्षित थी? क्यों? अपने विद्यार्थियों की समझ का पता लगाने के लिए आपने क्या सवाल किए? क्या आपको लगा कि आपको किसी समय हस्तक्षेप करना होगा? किन बिंदुओं पर आपको लगा कि आपको और समझाना होगा? क्या आपने किसी भी रूप में काम को संशोधित किया? यदि ऐसा है, तो आपने ऐसा किस कारण से किया?

4 ग़लतफ़हमियों और ग़लतियों के साथ व्यवहार

जब आप साइकिल की सवारी करना सीखते हैं तो आपको संतुलन हासिल करना भी सीखना पड़ता है। यह स्वीकार किया जाता है कि साइकिल चलाना सीखने की प्रक्रिया में आप एक–दो बार गिरेंगे, ग़लत दिशा में मुडेंगे, तेज़ी से हैंडलबार को खींचेंगे, भूल जाएँगे कि ब्रेक्स कहाँ हैं, या गियर किस प्रकार काम करते हैं इस बारे में ग़लत विचार रखेंगे। केवल इस प्रकार की ग़लतियाँ करके ही आप साइकिल चलाने के कौशल को विकसित करेंगे और उसमें सुधार करेंगे। ग़लतियाँ करना और अपनी ग़लत धारणाओं के साथ सामना होने पर आप भविष्य में बेहतर जान सकते हैं।

गणित सीखना किसी बाइक या अन्य किसी वाहन की सवारी सीखने से अलग नहीं है। ग़लतियाँ करना उसी प्रक्रिया का हिस्सा है, और वास्तव में एक अच्छी बात है, क्योंकि यह आपके रोजमर्रा की सोच के पैटर्न के साथ हस्तक्षेप करता है और आप जो कर रहे हैं, उस पर आपको सोचने पर मजबूर करता है। यदि कोई कक्षा लोकाचार हो कि ग़लतियाँ करके सीखा जा सकता है, और इसलिए ग़लतियाँ करना प्रभावी शिक्षण का एक हिस्सा है, तो फिर विद्यार्थी भी अधिक इच्छुक हो जाएँगे और प्रयोग करने में अधिक समर्थ तथा ग़लतियाँ करने से कम डरते हुए नई अवधारणाओं को आज़माने का प्रयास करेंगे, और परिणामस्वरूप गणित को जानने–बूझने तथा उसका मज़ा लेने के लिए बेहतर रूप से सुसज्जित हो जाएँगे।

इस प्रकार के कक्षा लोकाचार की स्थापना करना, जहाँ विद्यार्थी अपनी ग़लतियों और ग़लत धारणाओं को साझा करने के लिए तैयार हो जाएँ, रातों–रात नहीं हो जाता – इसके लिए पोषण और सावधानी से सिखाने की ज़रूरत होती है। लेकिन, इस लोकाचार को बढ़ावा देने के लिए ऐसे तरीके़ हैं, जिनका आप उपयोग कर सकते हैं:

• संभाव्य ग़लतफ़हमियों को उजागर करने के लिए फ़र्जी विद्यार्थियों के काम का उपयोग करें। क्योंकि यह उनके स्वयं का काम नहीं है, जिसकी छानबीन की जा रही है, कोई भावनात्मक प्रतिक्रियाएँ और/या शर्मिंदगी की भावनाएँ नहीं होंगी।

• किसी उत्तर को सिर्फ़ ’गल़त’ के रूप में खारिज करने के बजाय गल़तियों और गल़त धारणाओं पर विचार करने के लिए प्रोत्साहित करें – यह सीखने के लिए एक उपयोगी तरीक़ा प्रदान करता है।

• विचारों के आदान–प्रदान को बढ़ावा दें, भले ही वे आधे–अधूरे या ’ग़लत’ क्यों न हों।

दूसरी गतिविधि अभिकल्पित की गई है, जिसमें बहुत संभावना है कि विद्यार्थी ग़लतियाँ करें। इन पर स्पष्ट रूप से चर्चा करने से ग़लत धारणाओं को प्रकाश में लाने और इन्हें गणित सीखने के अवसरों में परिवर्तित करने में मदद मिलेगी।

विचार के लिए रुकें विद्यार्थियों से किस प्रकार की प्रतिक्रिया अनपेक्षित थी? क्यों? अपने विद्यार्थियों की समझ का पता लगाने के लिए आपने क्या सवाल किए? क्या आपने किसी भी रूप में काम को संशोधित किया? यदि ऐसा है, तो आपने ऐसा किस कारण से किया?

5 सारांश

इस इकाई में त्रिकोणों में समानता और सर्वांगसमता, और गणित की दिशा में एक सकारात्मक रुख़ का विकास करने वाले गणितीय रूप से ऐसे लचीले शिक्षार्थियों के विकास पर ध्यान केंद्रित किया गया और जो जानते हैं कि वे विषय को सीखने में आने वाली परेशानियों को दूर कर सकते हैं। इस इकाई को पढ़ते समय आप इस बारे में विचार करेंगे कि कैसे अपने विद्यार्थियों को उनकी शब्दावली विकसित करने में सक्षम करें ताकि वे अपने विचारों के बारे में बात कर सकें और वयस्कों की भाँति अन्य विद्यार्थियों को अपने विचार और अवधारणाएँ (और उनकी ग़लतफ़हमियाँ) समझा सकें। आपने इस पर भी विचार किया होगा कि किस प्रकार विद्यार्थियों को यह समझने में मदद किया जाए कि ग़लतियाँ करना सीखने का महत्वपूर्ण हिस्सा है, और यदि उन्हें गणित के सफल शिक्षार्थी बनना है तो खोज और सतत् प्रयास महत्वपूर्ण कौशल है, जिन्हें हासिल करना होगा।

आपने यह भी देखा होगा कि कैसे सामान्य रूप से सीखने में बेहतर बनने के लिए शिक्षण प्रक्रिया पर विचार करना महत्वपूर्ण है। गणितीय रूप से लचीले शिक्षार्थियों के परीक्षा में सफल होने की अधिक संभावना है, क्योंकि वे कठिनाइयों से हतोत्साहित नहीं होते हैं, बल्कि उन पर का़बू पाने के तरीक़ों की तलाश में रहते हैं, और वे स्कूल से परे अपने जीवन में गणितीय अवधारणाओं का प्रयोग जारी रखने के लिए आवश्यक साधन साथ रखते हैं।

विचार के लिए रुकें इस इकाई में आपके द्वारा उपयोग किए गए तीन विचार पहचानें जो अन्य विषयों को पढ़ाने में भी काम करेंगे। उन दो विषयों पर अब एक नोट तैयार करें, जिन्हें आप जल्द ही पढ़ाने वाले हैं, जहाँ थोड़े–बहुत समायोजन के साथ उन अवधारणाओं का उपयोग किया जा सकता है।

संसाधन

संसाधन 1: NCF/NCFTE शिक्षण आवश्यकताएं

यह यूनिट NCF (2005) तथा NCFTE (2009) की निम्न शिक्षण आवश्यकताओं से जोड़ता है तथा उन आवश्यकताओं को पूरा करने में आपकी मदद करेगाः

• शिक्षार्थियों को उनके शिक्षण में सक्रिय प्रतिभागी के रूप में देखें न कि सिर्फ़ ज्ञान प्राप्त करने वाले के रूप में; ज्ञान निर्माण के लिए उनकी क्षमताओं को कैसे प्रोत्साहित करें; रटने की पद्धतियों से शिक्षण को दूर कैसे ले जाएँ।
• विद्यार्थियों को गणित को किसी ऐसी चीज़ के रूप में लेने दें, जिसके बारे में वे बात करें, जिसके द्वारा संवाद करें, जिसकी आपस में चर्चा करें, जिसपर साथ मिलकर कार्य करें।
• पाठ्यचर्या, पाठ्यक्रम और पाठ्यपुस्तकों का गंभीर रूप से परीक्षण करते हुए उनसे जुड़ें, न कि बिना कोई सवाल किए ‘दिए’ गए रूप में उन्हें स्वीकार करें।
• विद्यार्थियों को महत्वपूर्ण गणित सीखने दें और देखें कि गणित, सूत्रों और यांत्रिक प्रक्रियाओं से कहीं ज्यादा है।

संसाधन 2: विद्यार्थी की गणितीय प्रविष्टियों के उदाहरण शब्दकोश

शब्द/अवधारणा	त्रिकोणों में सर्वांगसमता
कहाँ?	अध्याय 7, कक्षा IX
रोज़मर्रा की भाषा में कोई अर्थ?	शब्दकोश के अनुसार, ‘के अनुकूल’ का मतलब है ‘उपयुक्त, सहमत’, लेकिन मैंने कभी उसका प्रयोग नहीं किया या सुना (The Oxford Dictionary, 1997)।
पाठ्यपुस्तक/शिक्षक से गणितीय व्याख्या	‘सभी प्रकार से बराबर’ या ‘आकृतियाँ [इस मामले में त्रिकोण] जिनके आकार और माप दोनों एक समान हैं। (NCRT पाठ्यपुस्तक, कक्षा IX, पृ. 109)।
मेरा स्पष्टीकरण	सर्वांगसम त्रिकोण वे त्रिकोण हैं, जिनका आकार और माप एकसमान है। मुझे वास्तव में इसे देखने कभी–कभी उन्हें चारों ओर पलटना या उलटना पड़ता है। इस प्रकार सर्वांगसम त्रिकोणों के लिए उनकी भुजाओं की लंबाई और कोण एकसमान होंगे। लेकिन इतना ही नहीं! उन एकसमान लंबाई वाली भुजाओं और कोणों को त्रिकोण में एक ही जगह पर होना चाहिए – जिसे वे ‘समरूप’ कहते हैं। जब आप त्रिकोणों को काटेंगे, तब उन्हें एक दूसरे पर रख सकेंगे और वे सही प्रतिलिपियाँ होंगी। सर्वांगसम त्रिकोण साथ ही समरूप त्रिकोण भी हैं, लेकिन समरूप त्रिकोण हमेशा सर्वांगसम नहीं हो सकते! इसके अलावा, ‘समरूप त्रिकोणों’ के लिए मेरी प्रविष्टि पर नज़र डालें ताकि देख सकें कि किस प्रकार ये अवधारणाएँ जुड़ी हुई हैं।
उदाहरण	ये त्रिकोण सर्वांगसम हैं:
शब्द/अवधारणा	त्रिकोणों की समरूपता
कहाँ?	अध्याय 6, कक्षा X
रोज़मर्रा की भाषा में कोई अर्थ?	कोई ऐसी चीज़ जो किसी और चीज़ के समान है। अक्सर यह स्पष्ट नहीं किया जाता कि वह क्या है, जो किसी चीज़ को किसी और चीज़ के समान बनाती है।
पाठ्यपुस्तक/शिक्षक से गणितीय व्याख्या	‘दो त्रिकोण समरूप हैं, यदि i.उनके संगत कोण बराबर हों और ii.उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (या समानुपाती) हों।’ (NCRT पाठ्यपुस्तक, कक्षा X, पृ. 123)
मेरा स्पष्टीकरण	अपने लिए नोटः सर्वांगसम के साथ न उलझाएँ! समरूप त्रिकोणों का आकार समान होता है, लेकिन ज़रूरी नहीं कि उनकी माप एकसमान हो। यदि उनका एकसमान आकार हो और एकसमान माप हो, तो वे समरूप और साथ ही सर्वांगसम हैं। इसलिए उनका आकार समरूप होना आवश्यक है, लेकिन माप एकसमान होना ज़रूरी नहीं। उन्हें समरूप बनाने वाली चीज़ है उनके आकारों में एक दूसरे की आनुपातिक वृद्धि या कमी। इसका मतलब है कि सभी संगत भुजाओं का अनुपात एकसमान है (उदाहरण के लिए, दूसरे त्रिकोण की भुजाओं का माप पहले से दुगुना था)। और इसलिए त्रिकोणों की समरूपता के बारे में ये मापदंड मायने रखते हैं।
निष्कर्ष	ये त्रिकोण समरूपी हैं:,

अतिरिक्त संसाधन

• A newly developed maths portal by the Karnataka government: http://karnatakaeducation.org.in/ KOER/ en/ index.php/ Portal:Mathematics
• Class X maths study material: http://www.zietmysore.org/ stud_mats/ X/ maths.pdf
• National Centre for Excellence in the Teaching of Mathematics: https://www.ncetm.org.uk/
• National STEM Centre: http://www.nationalstemcentre.org.uk/
• OpenLearn: http://www.open.edu/ openlearn/
• BBC Bitesize: http://www.bbc.co.uk/ bitesize/
• Khan Academy’s math section: https://www.khanacademy.org/ math
• NRICH: http://nrich.maths.org/ frontpage
• Mathcelebration: http://www.mathcelebration.com/
• Art of Problem Solving’s resources page: http://www.artofproblemsolving.com/ Resources/ index.php
• Teachnology: http://www.teach-nology.com/ worksheets/ math/
• Maths is Fun: http://www.mathsisfun.com/
• National Council of Educational Research and Training’s textbooks for teaching mathematics and for teacher training of mathematics: http://www.ncert.nic.in/ ncerts/ textbook/ textbook.htm
• LMT-01 Learning Mathematics, Block 1 (‘Approaches to Learning’) Block 2 (‘Encouraging Learning in the Classroom’), Block 6 (‘Thinking Mathematically’): http://www.ignou4ublog.com/ 2013/ 06/ ignou-lmt-01-study-materialbooks.html
• Learning Curve and At Right Angles, periodicals about mathematics and its teaching: http://azimpremjifoundation.org/ Foundation_Publications
• Central Board of Secondary Education’s books and support material (also including the Teachers Manual for Formative Assessment – Mathematics (Class IX)) – select ‘CBSE publications’, then ‘Books and support material’: http://cbse.nic.in/ welcome.htm

References

Acknowledgements

अभिस्वीकृतियाँ

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वीडियो (वीडियो स्टिल्स सहित): भारत भर के उन अध्यापक शिक्षकों, मुख्याध्यापकों, अध्यापकों और विद्यार्थियों के प्रति आभार प्रकट किया जाता है जिन्होंने उत्पादनों में दि ओपन यूनिवर्सिटी के साथ काम किया है।