ग़लतफहमियों से सीखना: बीजगणितीय व्यंजक

यह इकाई किस बारे में है

बीजगणितीय व्यंजक गणितीय कथन होते हैं, जैसे 3x + 4। उनमें बराबर (=) का चिह्न नहीं होता, जो उन्हें बीजगणितीय समीकरणों से अलग बनाता है। बीजगणितीय व्यंजक गणितीय पाठ्यचर्या और सामान्य गणित में एक महत्वपूर्ण भूमिका अदा करते हैं। गणित में आगे बढ़ने और अच्छा करने के लिए, विद्यार्थियों को व्यंजक पढ़ने और लिखने में समर्थ होना चाहिए, और बीजगणितीय व्यंजकों की गणना और प्रयोग में कुशल होना चाहिए।

कई विद्यार्थियों के लिए बीजगणितीय व्यंजकों को सीखने में समस्या यह है कि उनके लिए यह काम केवल याद रखना और एल्गोरिथम का अनुसरण करना होता है। व्यापकता व्यक्त करने, चरों और स्थिरांकों के बीच संबंधों की व्याख्या करने, और खेल–खेल में और रचनात्मक तरीके से संभावना ढूँढने की बीजगणित की शक्ति और सुंदरता अक्सर खो जाती है। बीजगणित और इसके व्यंजकों को गणित की भाषा समझा जाता है, और उनका उपयोग लोगों, विचारों, तत्वों और संरचनाओं के बीच संबंधों की व्याख्या करने के लिए उपयोग किया जाता है। विद्यार्थी स्कूल में अक्सर अपनी शिक्षा में इसका अनुभव नहीं करते और इसलिए परीक्षा उत्तीर्ण करने के सिवा उन्हें बीजगणितीय व्यंजकों की शिक्षा का उद्देश्य और वास्तविक जीवन से उनका संबंध दिखाई नहीं दे सकता।

इस इकाई में विद्यार्थियों को बीजगणितीय व्यंजकों के उद्देश्य को जानने में मदद करने के लिए संदर्भों का उपयोग और विकास करके बीजगणितीय व्यंजक सिखाने के कुछ विभिन्न तरीकों के बारे में बात की जाएगी। सबसे पहले इसमें वास्तविक जीवन के संदर्भ में चरों और स्थिरांकों की भूमिका का अन्वेषण किया जाएगा; फिर इसमें प्रतिस्थापन की शक्ति पर और इस बात पर नज़र डाली जाएगी कि यह किस प्रकार से रचनात्मक रूप से चिंतन और गलतफहमियों (misconceptions) से शिक्षण को बढ़ा सकता है।

विचार के लिए रुकें अपनी कक्षा के बारे में सोचें। बीजगणितीय व्यंजकों के बारे में सीखते समय आपको अपने विद्यार्थियों में क्या समस्याएँ लगती हैं? आपको यह किस बारे में लगती है? वे किसे नापसंद करते हैं? आपके अनुसार वे क्या अलग चाहते हैं? फिर उस समय के बारे में सोचें जब आप विद्यालय में बीजगणितीय व्यंजक सीखते थे – आपने क्या महसूस किया? इसमें आपने क्या पसंद किया? इसमें आपने क्या नापसंद किया? आप क्या अलग चाहते थे?

आप इस इकाई में क्या सीख सकते हैं

• चर और स्थिरांकों के बीच संबंधों की पहचान करने में किस प्रकार विद्यार्थियों की मदद करें।
• बीजगणितीय अभिव्यक्तियों में प्रयोजन देखने में विद्यार्थियों की मदद के लिए संदर्भों का उपयोग करने और उन्हें विकसित करने पर कुछ विचार।
• ग़लतफहमियों (misconceptions) को जानने और उनका शिक्षण साधन के रूप में उपयोग करने पर कुछ विचार।

इस इकाई का संबंध संसाधन 1 में दर्शाई गई NCF (2005) और NCFTE (2009) शिक्षण आवश्यकताओं से है।

1 वास्तविक जीवन के संदर्भ में चर और स्थिरांक

दिल्ली का नेहरू प्लेस, जो कंप्यूटर और पेरीफ़ेरल का एशिया का सबसे बड़ा बाजार है, हमेशा भीड़ से भरा रहता है। कामकाज के समय यहाँ अत्यंत गतिशील वातावरण रहता है। सुबह से लेकर शाम तक जितनी तेजी से यहाँ वातावरण बदलता है, उससे एक हॉकर से लेकर कार पार्किंग या दुकान में कर्मचारियों की संख्या तक सभी कुछ प्रभावित होता है (चित्र 1)। वातावरण में इस बदलाव को गतिकी कहा जाता है।

चित्र 1 वास्तविक जीवन में गतिकी: नेहरू प्लेस, दिल्ली, शांत (बाएँ) और व्यस्त (दाएँ)।

व्यावसायिक (professional) गणितज्ञ इस गतिकी का अनुमान लगाने और उनकी व्याख्या करने के मॉडल विकसित करते हैं। ऐसा करके वे शहरी योजनाकारों, स्थानीय नीति निर्माताओं और कानून प्रवर्तन विभागों को यह अनुमान लगाने में सक्षम बनाता है कि श्रम, प्रावधानों, सहायता संरचना आदि के संबंध में विभिन्न समय पर क्या आवश्यक हो सकता है।

यह गणितीय प्रतिरुपण इस निर्णय पर आधारित है कि समान व्यवस्था में चर (संख्यात्मक मात्राएँ जो अलग–अलग होंगी) और स्थिरांक (मात्राएँ जो समान रहेंगी) क्या हैं। गतिविधि 1 में शहर के जीवन के एक उदाहरण का उपयोग करके इसे आपके विद्यार्थियों को पढ़ाने के तरीका बताया गया है। (यदि आपके विद्यार्थी नेहरू प्लेस या ऐसे किसी वातावरण से अपरिचित हैं, तो आपको इस उदाहरण में उनका जाना–पहचाना संदर्भ उपयोग करना चाहिए।) अगले चरण में यह तय किया जाएगा कि कौन से चर संबंधित हैं और किस तरह से, और गतिविधि 2 में यह बताया गया है कि इसे अपने विद्यार्थियों के साथ कैसे करें।

गतिविधियों 1 और 2 में, आप और आपके विद्यार्थी सोचेंगे कि किसी मॉडल का सरल संस्करण कैसे बनाया जाए; ध्यान दें कि एक ही सही या गलत उत्तर नहीं है। ये कार्य विशेष रूप से उन विद्यार्थियों के लिए बेहतर काम करते हैं, जो युग्म या छोटे समूहों में काम करते हैं, क्योंकि इससे अधिक विचार तैयार होते हैं और अटकने पर विद्यार्थी मानवीय सहायता प्रदान कर सकते हैं।

इस यूनिट में अपने विद्यार्थियों के साथ गतिविधियों के उपयोग का प्रयास करने के पहले अच्छा होगा कि आप सभी गतिविधियों को पूरी तरह (या आंशिक रूप से) स्वयं करके देखें। यह और भी बेहतर होगा यदि आप इसका प्रयास अपने किसी सहकर्मी के साथ करें क्योंकि जब आप अनुभव पर विचार करेंगे तो आपको मदद मिलेगी। स्वयं प्रयास करने से आपको शिक्षार्थी के अनुभवों के भीतर झांकने का मौका मिलेगा, जो परोक्ष रूप से आपके शिक्षण और एक शिक्षक के रूप में आपके अनुभवों को प्रभावित करेगा। जब आप तैयार हों, तो अपने विद्यार्थियों के साथ गतिविधियों का उपयोग करें। पाठ के बाद, सोचें कि गतिविधि किस तरह हुई और उससे क्या सीख मिली। इससे आपको सीखने वाले विद्यार्थियों पर ध्यान केंद्रित रखने वाला अधिक शैक्षिक वातावरण बनाने में मदद मिलेगी।

गतिविधि 1 में विद्यार्थियों से नेहरू प्लेस में चरों और स्थिरांकों को पहचानने के लिए कहा गया। गणितीय मॉडल बनाने के लिए, अब विद्यार्थियों को सोचना होगा कि किस प्रकार ये स्थिरांक और चर एक–दूसरे को कैसे प्रभावित करते हैं और उनसे कैसे संबंधित हैं।

गतिविधि में विद्यार्थियों को दिमागी नक्शा बनाने को कहा जाता है। दिमागी नक्शा आमतौर पर अवधारणा (नोड के रूप में) को दर्शाने वाली शब्दों या वाक्यांशों की एक श्रृंखला, और एक रेखा (या लिंक) जो इसे अन्य अवधारणा से जोड़ती है, जो दोनों का संबंध व्यक्त करता है। अवधारणा नक्शा दिमागी नक्शे के समान होता है, बस यह अंतर होता है कि दिमागी नक्शे में एक केंद्र होता है, जबकि अवधारणा नक्शा रैखिक हो सकता है। दिमागी नक्शा एक अच्छा औजार है और विद्यार्थियों की उनकी समझ का अन्वेषण करने और समीक्षा करने में उनकी मदद करने की एक प्रभावी रणनीति है; इसे यह पता करने के लिए एक मूल्यांकन औजार के रूप में भी उपयोग किया जा सकता है कि विद्यार्थी क्या जानते हैं और उनकी गलतफहमियाँ क्या हैं। गतिविधि 2 में कोई सही या गलत उत्तर नहीं हैं।

आपके शिक्षण अभ्यास के बारे में सोचना

अपनी कक्षा के साथ ऐसा कोई अभ्यास करने पर बाद यह सोचें कि क्या ठीक रहा और कहाँ गड़बड़ी हुई। ऐसे सवाल की ओर ध्यान दें, जिसमें विद्यार्थियों की रुचि दिखाई दे और वे आगे बढ़ते हुए नजर आएं और वे जिनका स्पष्टीकरण करने की आवश्यकता हो। ऐसे चिंतन से वह ‘स्क्रिप्ट’ मिल जाती है, जिसकी मदद से आप विद्यार्थियों के मन में गणित के प्रति रुचि जगा सकते हैं और उसे मनोरंजक बना सकते हैं। अगर विद्यार्थियों को समझ नहीं आ रहा है और वे कुछ नहीं कर पा रहे हैं, तो इसका मतलब है कि उनकी इसमें सम्मिलित होने की रुचि नहीं है। जब भी आप गतिविधियां करें, इस चिंतनशील अभ्यास का उपयोग करें यह ध्यान देते हुए, जैसे श्रीमती अपराजिता ने किया, कि कुछ छोटी–छोटी चीजों से काफी फर्क पड़ता है।

विचार के लिए रुकें निम्न चिंतन को बढ़ावा देने वाले अच्छे प्रश्न हैं: आपकी कक्षा कैसी रही? क्या सभी विद्यार्थियों ने भाग लिया? विद्यार्थियों से किस प्रकार की प्रतिक्रिया अनपेक्षित थी? क्यों? अपने विद्यार्थियों की समझ का पता लगाने के लिए आपने क्या सवाल किए? क्या किसी भी समय आपको ऐसा लगा कि हस्तक्षेप करना चाहिए? किन बिंदुओं पर आपको लगा कि आपको और समझाना होगा? क्या आपने कार्य में किसी भी तरीके का संशोधन किया? अगर हाँ, तो इसके पीछे आपका क्या कारण था?

2 संभावनाओं के बारे में सोचने के लिए प्रतिस्थापन का उपयोग करना

प्रतिस्थापन एक सशक्त और आवश्यक चिंतन औजार है। वास्तविक जीवन में, प्रतिस्थापन का उपयोग निरंतर होता है: उदाहरण के लिए, कल के भोजन से अलग तरह का भोजन बनाने के लिए यह तय करना कि आज के भोजन में कौन सी जड़ी बूटी और मसाले उपयोग किए जाएँ; परिवहन का कौन सा साधन उपयोग करें (क्या आप पैदल चलेंगे, या रिक्शा या बस लेंगे?), या कौन सी साड़ी पहनें। प्रतिस्थापन में संभावनाओं और विकल्पों के साथ–साथ सीमाओं पर भी विचार करना शामिल है। उदाहरण के लिए, अपनी ड्रेस बदलते समय रेशमी साड़ी को कैल्क्यूलेटर से बदलना बहुत ठीक नहीं होगा, लेकिन इस बात के लिए ठीक हो सकता है कि आप अपने पैसे कहाँ खर्च करेंगे। प्रतिस्थापन इसलिए आनन्ददायक जीवन हेतु परिवर्तन की सुविधा देता है।

गणित में प्रतिस्थापन की चितंन प्रक्रिया वास्तविक जीवन के ही समान है। इसमें उदाहरणों, विकल्पों और संभावनाओं पर विचार करने के साथ–साथ सीमाओं और प्रतिबंधों से अवगत रहना शामिल है।

विचार के लिए रुकें आपके अनुसार गणितीय प्रतिस्थापन वास्तविक जीवन के प्रतिस्थापन से किस प्रकार समान या अलग है? आप प्रतिस्थापन पर कार्य कर रही कक्षा के साथ समय क्यों बिताएँगे?

वीडियो: कहानी सुनाना, गीत, रोल–प्ले और नाटक

आप मुख्य संसाधन ‘कहानी कहना, गीत, रोल–प्ले और नाटक’ पर भी एक नजर डालना चाह सकते हैं।

विचार के लिए रुकें अपने विद्यार्थियों की समझ का पता लगाने के लिए आपने क्या सवाल किए? क्या आपने श्रीमती कपूर की तरह कार्य को किसी तरह बदला था? अगर हाँ, तो इसके पीछे आपका क्या कारण था?

3 गलतफहमियाँ पता करने के लिए सामान्यीकरण का उपयोग करना

जब आपको 2(3 – 8) जैसे व्यंजक दिखाई दें, तो आप तुरंत देख सकते हैं कि इसे (2 × 3) – (2 × 8) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है क्योंकि यह बंटन के नियम का एक उदाहरण है जहाँ a(b – c) = a × b – a × c है।

ऐसे पैटर्न और सामान्यीकरण का पता लगाना गणित में मददगार होता है क्योंकि इससे समस्याओं का समाधान करना आसान हो जाता है। नकारात्मक पक्ष यह है कि कभी–कभी आपको कुछ पैटर्न दिखाई देगा और इसलिए आप इसे सामान्यीकृत कर देंगे, जबकि वास्तव में यह एक विशेष स्थिति है और केवल कुछ ही परिस्थितियों में सही होगी। अगली गतिविधि आपको संख्यात्मक व्यंजकों से सामान्यीकृत बीजगणित लिखने के कुछ उदाहरण देती है।

वीडियो: निगरानी करना और फीडबैक देना

आप मुख्य संसाधन ‘निगरानी करना और फीडबैक देना’ पर भी एक नजर डाल सकते हैं।

विचार के लिए रुकें विद्यार्थियों से किस प्रकार की प्रतिक्रिया अनपेक्षित थी? क्यों? अपने विद्यार्थियों की समझ का पता लगाने के लिए आपने क्या सवाल किए? आपके अनुसार वह कौन सा कारण है जिससे गलतफहमियाँ बाहर आती हैं, जैसा श्रीमती अग्रवाल की कक्षा में हुआ?

4 सारांश

इस इकाई में आपसे बीजगणितीय व्यंजकों के साथ लेखन और कार्य करने के बारे में कहा गया है। गतिविधियों में ऐसे विचार प्रस्तुत किए गए हैं, जिनका उपयोग वास्तविक दुनिया में जटिल स्थितियों के प्रतिरूपण में व्यापक रूप से किया जाता है और जो निर्णय लेने की सुविधा देते हैं। विद्यार्थियों को अपनी पसंद की किसी स्थिति के लिए गणितीय व्यंजक ढूँढकर लाने के लिए कहने से व्यंजकों का उपयोग करने के नीरस अभ्यास से दूर होने में मदद मिलती है और वे यह देखते हैं कि ये चीजें महत्वपूर्ण हैं। कुछ विचारों को अभिव्यक्त करने के लिए व्यंजकों की गणितीय भाषा का उपयोग करना बहुत आसान है, लेकिन इसके संपर्क में विद्यार्थी बहुत कम ही आते हैं।

अंतिम गतिविधियों में विद्यार्थियों को व्यंजकों के बारे में विचारों की चर्चा चिंतामुक्त तरीके से करने को कहा जाता है, ताकि गलतफहमियाँ बाहर लाई जा सकें और उनका समाधान हो सके। सामान्यीकरण पर ध्यान केंद्रित करने – अर्थात, यह सुनिश्चित करने कि व्यंजकों में समतुल्यता हमेशा सत्य है – से उन्हें बीजगणित में कई अन्य विचारों से प्राकृतिक रूप से जुड़ने में मदद मिली।

विचार के लिए रुकें इस इकाई में आपके द्वारा उपयोग किए गए तीन विचार पहचानें जो अन्य विषयों को पढ़ाने में भी काम करेंगे। उन दो विषयों पर एक नोट बनाएँ जो आपको शीघ्र ही पढ़ाने हैं, जहाँ थोड़े से बदलाव के साथ उन विचारों का उपयोग किया जा सकता है।

संसाधन

संसाधन 1: एनसीएफ/एनसीएफटीई शिक्षण आवश्यकताएँ

यह यूनिट NCF (2005) तथा NCFTE (2009) की निम्न शिक्षण आवश्यकताओं से जोड़ता है तथा उन आवश्यकताओं को पूरा करने में आपकी मदद करेगा:

• शिक्षार्थियों को उनके सीखने में सक्रिय प्रतिभागी के रूप में देखें न कि सिर्फ ज्ञान प्राप्त करने वाले के रूप में; ज्ञान निर्माण के लिए उनकी क्षमताओं को कैसे प्रोत्साहित करें; रटन्त पद्धतियों से सीखने को दूर कैसे ले जाएं।
• शिक्षण को निजी अनुभवों से अर्थ की खोज के रूप में और ज्ञान निर्माण को विचारात्मक शिक्षण की निरंतर विकास प्रक्रिया के रूप में देखें।
• विद्यार्थियों को गणित को किसी ऐसी चीज़ के रूप में लेने दें जिसके बारे में वे बात करें, जिसके द्वारा संवाद करें, जिसकी आपस में चर्चा करें, जिसपर साथ मिलकर कार्य करें।
• विद्यालय के ज्ञान को समुदाय के ज्ञान और विद्यालय के बाहर के जीवन से जोड़ें।

अतिरिकत संसाधन

• A newly developed maths portal by the Karnataka government: http://karnatakaeducation.org.in/ KOER/ en/ index.php/ Portal:Mathematics
• Class X maths study material: http://www.zietmysore.org/ stud_mats/ X/ maths.pdf
• National Centre for Excellence in the Teaching of Mathematics: https://www.ncetm.org.uk/
• National STEM Centre: http://www.nationalstemcentre.org.uk/
• OpenLearn: http://www.open.edu/ openlearn/
• BBC Bitesize: http://www.bbc.co.uk/ bitesize/
• Khan Academy’s math section: https://www.khanacademy.org/ math
• NRICH: http://nrich.maths.org/ frontpage
• Mathcelebration: http://www.mathcelebration.com/
• Art of Problem Solving’s resources page: http://www.artofproblemsolving.com/ Resources/ index.php
• Teachnology: http://www.teach-nology.com/ worksheets/ math/
• Maths is Fun: http://www.mathsisfun.com/
• National Council of Educational Research and Training’s textbooks for teaching mathematics and for teacher training of mathematics: http://www.ncert.nic.in/ ncerts/ textbook/ textbook.htm
• AMT-01 Aspects of Teaching Primary School Mathematics, Block 3 (‘Numbers (II)’): http://www.ignou4ublog.com/ 2013/ 06/ ignou-amt-01-study-materialbooks.html
• LMT-01 Learning Mathematics, Block 1 (‘Approaches to Learning’) Block 2 (‘Encouraging Learning in the Classroom’), Block 6 (‘Thinking Mathematically’): http://www.ignou4ublog.com/ 2013/ 06/ ignou-lmt-01-study-materialbooks.html
• Learning Curve and At Right Angles, periodicals about mathematics and its teaching: http://azimpremjifoundation.org/ Foundation_Publications
• Central Board of Secondary Education’s books and support material (also including the Teachers Manual for Formative Assessment – Mathematics (Class IX)) – select ‘CBSE publications’, then ‘Books and support material’: http://cbse.nic.in/ welcome.htm

References

Acknowledgements

अभिस्वीकृतियाँ

तृतीय पक्षों की सामग्रियों और अन्यथा कथित को छोड़कर, यह सामग्री क्रिएटिव कॉमन्स एट्रिब्यूशन-शेयरएलाइक लाइसेंस (http://creativecommons.org/ licenses/ by-sa/ 3.0/) के अंतर्गत उपलब्ध कराई गई है। नीचे दी गई सामग्री मालिकाना हक की है तथा इस परियोजना के लिए लाइसेंस के अंतर्गत ही उपयोग की गई है, तथा इसका Creative Commons लाइसेंस से कोई वास्ता नहीं है। इसका अर्थ यह है कि इस सामग्री का उपयोग अननुकूलित रूप से केवल TESS-India परियोजना के भीतर किया जा सकता है और किसी भी बाद के OER संस्करणों में नहीं। इसमें TESS-India, OU और UKAID लोगो का उपयोग भी शामिल है।

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चित्र 1: बाएँ, http://officespaceinjasola.blogspot.co.uk/ 2011/ 02/ से चित्र; दाएँ, http://prayfordelhi.blogspot.co.uk/ से चित्र (Figure 1: left, image from http://officespaceinjasola.blogspot.co.uk/ 2011/ 02/; right, image from http://prayfordelhi.blogspot.co.uk/)).

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वीडियो (वीडियो स्टिल्स सहित): भारत-भर के उन अध्यापक शिक्षकों, मुख्याध्यापकों, अध्यापकों और विद्यार्थियों के प्रति आभार प्रकट किया जाता है जिन्होंने उत्पादनों में दि ओपन युनिवर्सिटी के साथ काम किया।