गणित में रचनात्मक सोच विकसित करना: त्रिकोणमिति

यह इकाई किस बारे में है

त्रिकोणमिति ने भारतीय राष्ट्रीय पाठ्यचर्या फ़्रेमवर्क (2005) में एक महत्वपूर्ण भूमिका अदा करती है। यह आकृति और स्थान की अवधारणाओं को अनुपात, निगमन और गणितीय प्रमाण जैसे अन्य गणितीय विचारों से जोड़ती है। यह वास्तविक जीवन में देखी जाने वाली चीज़ों को गणितीय कक्षा की दुनिया के साथ जोड़ने का अवसर भी देती है।

दुर्भाग्यवश, कई विद्यार्थी त्रिकोणमिति द्वारा दी जाने वाली समृद्धता, संबद्धता या रचनात्मकता को अनुभव नहीं करते। इसके बजाय वे अक्सर इसे एक अन्य याद रखने वाला अभ्यास मानते हैं, जहाँ नियम और सूत्रों को ‘कंठस्थ’ करके सीखना होता है, साथ ही उन विधियों को भी जो समस्याओं का समाधान निकालती हैं।

इस इकाई का लक्ष्य विद्यार्थियों की मानसिक चिंतन शक्ति का उपयोग करके त्रिकोणमिति पर मनोरंजक और रचनात्मक तरीके से कार्य करके इन समस्याओं का समाधान करने में आपकी मदद करना है। इकाई में बताया गया है कि यदि आप कार्यों में छोटे–छोटे बदलाव करते हैं, तो विद्यार्थी और अधिक प्रभावी ढंग से सीख पाएँगे। जब विद्यार्थियों को अधिक चयन करने और निर्णय लेने की छूट दी जाती है, तो वे त्रिकोणमिति का आनंद ले सकते हैं और गणित के अपने शिक्षण से सशक्त अनुभव कर सकते हैं।

विचार के लिए रुकें अपनी कक्षा के बारे में सोचें। त्रिकोणमिति सीखने के बारे में आपके विद्यार्थी क्या सोचते हैं? उन्हें इसमें कितना आनंद आता है? आपको ऐसा क्यों लगता है? उस समय के बारे में सोचें, जब आप विद्यालय में त्रिकोणमिति सीखते थे। जिस तरह से आपको विद्यालय में पढ़ाया गया था, उसके तरीके में आपको क्या भिन्न पसंद आएगा (यदि कुछ हो)?

आप इस इकाई में क्या सीख सकते हैं

• त्रिकोणमिति के उपयोग का समर्थन करने वाली गणितीय शब्दावली के उपयोग को किस प्रकार बढ़ावा दें।
• रचनात्मक और दिलचस्प गतिविधियों के माध्यम से त्रिकोणमिति की अवधारणाओं और अनुप्रयोगों को कैसे सिखाएँ।
• स्मृति पर कम निर्भर समस्या सुलझाने वाली पद्धतियों को विकसित करने में आपके विद्यार्थियों की मदद के लिए कुछ विचार।

इस यूनिट का संबंध संसाधन 1 में दर्शाई गई NCF (2005) और NCFTE (2009) शिक्षण आवश्यकताओं से है।

1 गणित सीखने में रचनात्मकता

शिक्षण में रचनात्मकता पिछले कुछ वर्षों में अत्यधिक चलन में आई है। रचनात्मकता का तात्पर्य कुछ हद तक विद्यार्थियों को शिक्षण में आनंद देने और उन्हें स्वयं सोचने देने से संबंधित है। विद्यार्थियों को भविष्य के कार्यों के लिए तैयार करना भी महत्वपूर्ण है। भविष्य में कामों को यांत्रिक रूप से किया जाना कम से कम होगा (क्योंकि यह कंप्यूटर से किया जा सकता है) और समस्या समाधान, अनूठे तरीके से सोचने और रचनात्मक समाधान देने पर अधिक केंद्रित होगा।

यह देखना हमेशा आसान नहीं होता कि विद्यालय के गणित और पाठ्यपुस्तक अभ्यास को रचनात्मक शिक्षण तरीकों में कैसे बदला जा सकता है। इस इकाई का उद्देश्य इस दिशा में कुछ विचार प्रस्तुत करना है। यह ‘क्या यदि?’ परिदृश्यों का उपयोग करके ‘संभावित चिंतन’ (एरिस्टेडोऊ, 2011) के रूप में रचनात्मकता के नजरिए पर आधारित है।

शोध से अध्यापन और शिक्षण की सुविधाओं की एक सूची तैयार की गई है, जो कि कक्षा में संभावना चिंतन में शामिल होती हैं (ग्रेंगर और अन्य, 2007, क्राफ्ट और अन्य 2012)। इसमें प्रश्न पूछना, विचारों के साथ प्रयोग करना, जोखिम लेना, कलाबाजी करना और सहयोग से कार्य करना शामिल है।

इस इकाई के कार्यों में इन विशेषताओं पर कार्य किया जाता है।

विचार के लिए रुकें उस समय के बारे में सोचें जब आप अपने चिंतन में रचनात्मक थे। यह केवल गणित के बारे में ही नहीं है – उदाहरण के लिए यह खाना बनाने, हस्तशिल्प बनाने, घर पर किसी जटिल समस्या का समाधान करने या किसी चीज़़ के बारे में सोचने से संबंधित भी हो सकता है। क्या हुआ? उदाहरण के लिए, क्या उसमें कोई प्रश्नोत्तरी, प्रयोग, मनोरंजन, जोखिम लेना या सहयोग शामिल था?

2 पसंद की भूमिका

रचनात्मकता में सहायता के लिए खेलने की प्रवृत्ति महत्वपूर्ण माना जाता है, क्योंकि खेल में आप सहज रूप से कई संभावित समाधान खोज लेते हैं। इसे अपसारी चिंतन के रूप में जाना जाता है। शब्द ‘खेलने की प्रवृत्ति’ को अक्सर युवा बच्चों से संबद्ध माना जाता है, लेकिन इसे उनतक सीमित नहीं होना चाहिए। खेल के संबंध खोजने और प्रयोग करने से है, जो किसी भी उम्र का व्यक्ति कर सकता है। बच्चों को खेलते हुए बस देखना ही उनकी रचनात्मकता की याद दिला सकता है।

जब वे खोजते और प्रयोग करते हैं, तो यह महत्वपूर्ण है कि विद्यार्थियों के पास विकल्प हों: किसी समस्या को विभिन्न तरीकों से देखने के विकल्प, गलतियाँ करने के विकल्प या अपने स्वयं के अनुमानों के साथ आने और यह जाँचने के विकल्प कि वे मान्य हैं या नहीं। गतिविधि 1 में, आप विद्यार्थियों को सीधे–सीधे यह पूछकर विकल्प देते हैं कि ‘आप कितने तरह से…?’

गतिविधि का लक्ष्य विद्यार्थियों को यह जानकारी देना और उनमें आत्मविश्वास पैदा करना है कि बंद बहुभुजों को दो समकोण त्रिभुजों में बाँटा जा सकता है। इससे वे बाद में त्रिकोणमिति समस्याओं में उपयोग के लिए समकोण त्रिभुज खोजते समय, जैसे कोज्या नियम को सिद्ध करते समय, ‘बस कर देने’ में सक्षम बन पाएँगे। इस तरह से, बहुभुज में समकोण त्रिभुजों के साथ खेलने में सक्षम होने पर वे बाद में ‘समस्या सुलझाने’ का औजार प्राप्त कर लेंगे।

यह कार्य उन विद्यार्थियों के साथ बेहतर काम करता है, जो पहले स्वयं संभावनाएँ खोजते हैं, और फिर अपने सहपाठियों के साथ या समूह में और विचार पाने और अपने चिंतन को परिष्कृत करने के लिए चर्चा करते हैं।

इस यूनिट में अपने विद्यार्थियों के साथ गतिविधियों के उपयोग का प्रयास करने के पहले अच्छा होगा कि आप सभी गतिविधियों को पूरी तरह (या आंशिक रूप से) स्वयं करके देखें। यह और भी बेहतर होगा यदि आप इसका प्रयास अपने किसी सहयोगी के साथ करें, क्योंकि जब आप अनुभव पर विचार करेंगे तो आपको मदद मिलेगी। स्वयं प्रयास करने से आपको शिक्षार्थी के अनुभवों के भीतर झांकने का मौका मिलेगा, जो परोक्ष रूप से आपके शिक्षण और एक शिक्षक के रूप में आपके अनुभवों को प्रभावित करेगा। जब आप तैयार हों, तो अपने विद्यार्थियों के साथ गतिविधियों का उपयोग करें। पाठ के बाद, सोचें कि गतिविधि किस तरह हुई और उससे क्या सीख मिली। इससे आपको बेहतर शैक्षिक वातावरण बनाने में मदद मिलेगी।

गतिविधि 1: विद्यार्थी बहुभुज में त्रिभुजों की खोज करते हैं

अपने विद्यार्थियों से निम्नलिखित पूछें:

• आप चित्र 1 में दी गई हर आकृति को कितनी तरह से समकोण त्रिभुजों में बाँट सकते हैं?

चित्र 1 एक समबाहु त्रिभुज और षट्कोण।

• एक समकोण त्रिभुज बनाएँ (चित्र 2)। इस त्रिभुज को आधार मानकर आप किस प्रकार के बंद बहुभुज बना सकते हैं?

चित्र 2 समकोण त्रिभुज।

चित्र 3 एक उदाहरण दिखाता है।

चित्र 3 एक वर्ग आठ समकोण त्रिभुजों से बनता है।

• क्या आप सोचते हैं कि सभी बंद बहुभुजों का निर्माण समकोण त्रिभुजों से किया जा सकता है? अपने उत्तर को उचित ठहराने के लिए कारण बताएँ।
• आप ऐसा क्यों सोचते हैं कि इस गतिविधि में आपको यह पता लगाने के लिए कहा जाता है कि क्या कोई भी बंद बहुभुज समकोण त्रिभुजों से बनाया जा सकता है?

वीडियो: सभी को शामिल करना

आप मुख्य संसाधन ‘सभी को शामिल करना’ पर भी एक नजर डालना चाह सकते हैं।

वीडियो: निगरानी करना और फीडबैक देना

अधिक जानकारी के लिए संसाधन 2 ‘निगरानी करना और प्रतिक्रिया देना’ देखें।

अपने शिक्षण अभ्यास के विषय में सोचना

जब आप अपनी कक्षा के साथ ऐसी कोई गतिविधि करें, तो बाद में सोचे कि क्या ठीक रहा और कहाँ गड़बड़ हुई। ऐसे सवालों की ओर ध्यान दें जिसमें विद्यार्थियों की रुचि दिखाई दे और वे आगे बढ़ते हुए नजर आएं और वे जिनका स्पष्टीकरण करने की आवश्यकता हो। ऐसी बातें ऐसी

‘स्क्रिप्ट’ पता करने में सहायक होती हैं, जिससे आप विद्यार्थियों में गणित के प्रति रुचि जगा सकें और उसे मनोरंजक बना सकें। यदि वे कुछ भी समझ नहीं पाते हैं तथा कुछ भी नहीं कर पाते हैं, तो वे शामिल होने में कम रुचि लेंगे। जब भी आप गतिविधियां करें, इस विचार करने वाले अभ्यास का उपयोग करें, इस बात पर ध्यान देते हुए, जैसे श्रीमती मीनाक्षी ने किया, कि कुछ छोटी–छोटी चीज़ों से काफी फर्क पड़ा।

विचार के लिए रुकें ऐसे चिंतन को गति देने वाले अच्छे सवाल हैं: आपकी कक्षा कैसी रही? विद्यार्थियों से किस प्रकार की प्रतिक्रिया अनपेक्षित थी? क्यों? अपने विद्यार्थियों की समझ का पता लगाने के लिए आपने क्या सवाल किए? क्या आपको लगा कि आपको किसी समय हस्तक्षेप करना होगा?

3 ‘क्या होगा यदि…?’ प्रश्न का उपयोग करना

गतिविधि 1 में ‘कितनी तरह से…’ प्रश्न का उपयोग किया गया है ताकि विद्यार्थी खेलने, खोजने और अन्वेषण करने के लिए प्रेरित हों कि समकोण त्रिभुजों से कितने बंद बहुभुज बनाए जा सकते हैं। करने के तरीकों के विकल्प होने और गलतियाँ करने से आपके विद्यार्थियों में काम से जुड़ने की उत्सुकता पैदा होती है।

खेलने की प्रवृत्ति में स्थिति में बदलाव के बारे में सोचना शामिल होता है। इसे कभी–कभी ‘क्या होगा यदि?’ सोच भी कहा जाता है। गणित में चरों के बारे में सोचते समय यह बेहतर कार्य करता है: ‘यदि मैं इस चर को बदल दूँ तो अन्य चरों का क्या होगा?’ संभावनाओं के बारे में सोचने की इस प्रक्रिया में, चरों और स्थिरांकों की भूमिका और उनके बीच के संबंध का पता भी लगाया जाता है।

गतिविधि 2 में विद्यार्थियों से यह पूछने के बारे में सोचने को कहा जाता है कि ‘क्या होगा यदि मैं...को बदल दूँ?’ स्वयं के अनुमानों के साथ आने और कार्य करने के लिए स्वयं के उदाहरणों का उपयोग करने से उनमें स्वामित्व का बोध आ सकता है और वे अपनी चिंतन शक्तियों के लिए सम्मानित महसूस कर सकते हैं। गतिविधि के अंत में, इन विभिन्न उदाहरणों पर आधारित जानकारी का मिलान करने से सामान्यीकरण निकालना भी संभव हो पाएगा।

यह गतिविधि विद्यार्थियों से अपने विचारों का परीक्षण करने से पहले यह सोचने को भी कहती है कि क्या होने जा रहा है। इससे उन्हें यह विचार करने में मदद मिलनी चाहिए कि कौन सा चिंतन आवश्यक है (इसे ‘मेटा कॉग्निशन’ कहा जाता है)। जब उन्हें अपना चिंतन सही लगता है, तो इससे उन्हें अच्छा लगेगा, क्योंकि उन्होंने इसे ‘सही’ पहचाना। जब उनके अनुमान गलत निकलते हैं, तो इससे भी उन्हें आश्चर्य हो सकता है और उन्हें इस बारे में कौतूहल होगा कि

‘ऐसा क्यों है...?’

विचार के लिए रुकें अनुभाग 1 की संभावना सोच की कुछ विशेषताओं के बारे में फिर से सोचें और विचार करें कि क्या आपके विद्यार्थियों ने: स्वयं से और दूसरों से प्रश्न पूछे कल्पनाशीलता दिखाई और कुछ अलग सोचा समाधान ढूँढते समय आनंदपूर्णता दिखाई कुछ गलत कर देने का जोखिम उठाया अपने साथियों के साथ सहभागितापूर्ण कार्य किया। आपके किन विद्यार्थियों ने इन कौशलों का प्रदर्शन किया? क्या आप उदाहरण दे सकते हैं?

4 कार्य के परे सोचना

चित्र 5 दिल्ली का रेड फोर्ट या लाल किला।

विद्यालय में गणित सीखने से विद्यार्थी मात्र प्रक्रियाओं का पालन करेंगे और इस बारे में नहीं सोचेंगे कि विधि का कोई निश्चित अभिकलन (Algorithum) क्यों उपयोग किया गया है, यह क्यों कार्य करती है, या इससे प्रश्नों का उत्तर क्यों मिला।

अगली गतिविधि किसी पेड़, किसी ऊँची वस्तु या किसी ऐसे स्थानीय लैंडमार्क की ऊँचाई निकालना है, जिसे पटरी/स्केल या रस्सी या किसी अन्य चीज़ से मापना कठिन हो। आप विद्यार्थियों को क्लिनोमीटर का उपयोग करने को कह सकते हैं, जो भूमि सर्वेक्षकों द्वारा ऊँचाई निकालने का उपकरण है। इसका उपयोग करने का मैन्युअल देने के बजाय विद्यार्थियों को ऐसा मैन्युअल बनाने को कहा जाता है, इसलिए पहले उन्हें यह पता लगाना पड़ेगा कि क्लिनोमीटर एक उपयुक्त उपकरण क्यों और कैसे है – और क्लिनोमीटर को उपयोग करने का गणित क्या है। उन्हें यह निर्णय करना होगा कि मैन्युअल को आगे कैसे बढ़ाएँ, मैन्युअल में क्या लिखें और उनकी गणितीय व्याख्या को कैसे व्यक्त करें।

गतिविधि 3: विद्यार्थी क्लिनोमीटर बनाएँगे

अपने विद्यार्थियों को इस प्रकार बताएँ:

इस गतिविधि में विद्यार्थियों को एक क्लिनोमीटर बनाने को कहा जाता है। यह ऐसा उपकरण है जो पेड़, लैंडमार्कों या इमारतों की ऊँचाई मापने में सर्वेक्षकों की मदद करने वाला उपकरण है। फिर आपसे यह कल्पना करने को कहा जाता है कि आप किसी ऐसी कंपनी में काम करते हैं, जो ऐसे क्लिनोमीटर बनाती है और आपको इसे उपयोग करने का मैन्युअल बनाना है। याद रखें कि आपके ग्राहक ऐसे सर्वेक्षक हैं, जिन्हें गणित और त्रिकोणमिति का अच्छा ज्ञान है, इसलिए इस बारे में गणितीय व्याख्याएँ बेझिझक शामिल करें कि ऊँचाई निकालने के लिए क्लिनोमीटर का उपयोग क्यों और कैसे किया जा सकता है।

एक क्लिनोमीटर बनाने के लिए आपको पहले अपना प्रोटेक्टर संशोधित करना होगा और इसे चित्र 6 और 7 में बताया गया है।

चित्र 6 क्लिनोमीटर बनाना

क्लिनोमीटर ‘ऊँचाई का कोण’ मापता है और चित्र 7 में बताए अनुसार आपको इसका उपयोग करना है।

चित्र 7 क्लिनोमीटर में ऊँचाई के कोण का प्रदर्शन।

अपना मैन्युअल बनाने में मदद पाने के लिए इन प्रश्नों का उत्तर दें:

• इस इंस्ट्रूमेंट के कौन–कौन से घटक हैं और वे कैसे कार्य करते हैं? इनमें कौन सी गणित शामिल है? यह ऐसी ड्रॉइंग बनाने में मदद कर सकता है, जो आपके अनुसार इसकी कार्यविधि है।

• यह पता करें कि ऊँची वस्तुओं की ऊँचाई निकालने के लिए आप अपने क्लिनोमीटर का उपयोग कैसे कर सकते हैं। गणित में क्या शामिल है? यह ऐसी ड्रॉइंग बनाने में मदद कर सकता है, जो आपके अनुसार इसकी कार्यविधि है।

• क्या होता है, जब आप किसी पहाड़ी पर खड़े होते हैं और जिस वस्तु को माप रहे हैं, वह पहाड़ी की चोटी पर है? क्या आपको दूसरी विधि चाहिए या नहीं?

• अपना मैन्युअल इसके उपयोगकर्ताओं को यह बताने के लिए करें कि क्लिनोमीटर कैसे काम करता है और इसका उपयोग कैसे करें। याद रखें कि ड्रॉइंग से यह स्पष्ट हो सकता है।

विचार के लिए रुकें आपकी कक्षा कैसी रही? अपने विद्यार्थियों की समझ का पता लगाने के लिए आपने क्या सवाल किए? क्या आपको लगा कि आपको किसी समय हस्तक्षेप करना होगा? किन बिंदुओं पर आपको लगा कि आपको और समझाना होगा? क्या आपने श्रीमती मीनाक्षी की तरह कार्य को किसी तरह बदला था? यदि ऐसा है, तो आपने ऐसा किस कारण से किया?

5 सारांश

इस इकाई में त्रिकोणमिति से संबंधित कुछ विचारों की चर्चा की गई, लेकिन इसका मुख्य उद्देश्य रचनात्मकता पर और विद्यार्थियों को यह सोचने के लिए प्रेरित करने पर रहा है कि ‘क्या होगा यदि…?’, या ‘संभावना’ चिंतन पर रहा है। संभावना चिंतन में विद्यार्थियों को रचनात्मक बनने, चीज़ें आजमाने और अपने स्वयं के निर्णय करने के लिए कहा जाता है – और इसलिए वे गलतियाँ भी करते हैं।

शिक्षक कभी–कभी सोचते हैं कि विद्यार्थियों को गलतियाँ करने से रोकना उनका कार्य है। इस इकाई में यह बताया जाता है कि शिक्षक का कार्य विद्यार्थियों को गलतियाँ करने देना और उनसे सीखने देना है। विद्यार्थियों को ‘विचारों से खेलने’ को कहने का अर्थ है कि वे अपने स्वयं के रचनात्मक पक्ष का अभ्यास करते हैं, ढेर सारे विचार आदि आजमाने, सीखी गई बातों को वास्तव में जानकर और समझकर समाप्त करते हैं।

अपने विद्यार्थियों को रचनात्मक और आनंद लेने वाला बनने, और स्वयं चुनाव करने को कहने का अर्थ यह भी है कि वे अपरिचित संदर्भ में कुछ पूछे जाने पर अधिक सहज होते हैं, जैसा कि अक्सर परीक्षा में होता है। वे यह जानते हैं कि जब वे किसी विचार के बारे में सोचते हैं और कुछ चीज़ें आजमाते हैं, तो वे कोई ऐसी समस्या सुलझा सकते हैं, जो शुरू करने में कठिन लगती है – ठीक उसी तरह जैसा उन्होंने पहले किया था।

विचार के लिए रुकें इस इकाई में आपके द्वारा उपयोग किए गए तीन विचार पहचानें जो अन्य विषयों को पढ़ाने में भी काम करेंगे। उन दो विषयों पर अब एक नोट तैयार करें, जिन्हें आप जल्द ही पढ़ाने वाले हैं, जहाँ थोड़े-बहुत समायोजन के साथ उन अवधारणाओं का उपयोग किया जा सकता है।

संसाधन

संसाधन 1: NCF/NCFTE शिक्षण आवश्यकताएं

इस इकाई की सीख नीचे बताई गई NCF (2005) और NCFTE (2009) की शिक्षण आवश्यकताओं से जुड़ी है:

• शिक्षार्थियों को उनके शिक्षण में सक्रिय प्रतिभागी के रूप में देखें न कि सिर्फ ज्ञान प्राप्त करने वाले के रूप में; ज्ञान निर्माण के लिए उनकी क्षमताओं को प्रोत्साहित करने के लिए; रटने की पद्धतियों से शिक्षण को दूर ले जाने के लिए।
• शिक्षण को निजी अनुभवों से अर्थ की खोज के रूप में और ज्ञान निर्माण को विचारात्मक शिक्षण की निरंतर विकास प्रक्रिया के रूप में देखें।
• विद्यार्थियों को गणित से डरने के बजाय उसका आनंद उठाना सिखाने के लिए समर्थन।
• विद्यालय के ज्ञान को समुदाय के ज्ञान और विद्यालय के बाहर के जीवन से जोड़ें।

संसाधन 2: निगरानी करना और फीडबैक देना

विद्यार्थियों के प्रदर्शन में सुधार करने में उनकी निरंतर निगरानी करना और प्रतिक्रिया देना शामिल है, ताकि उन्हें पता हो कि उनसे क्या अपेक्षित है और लक्ष्य पूरा करने के बाद उन्हें प्रतिक्रिया मिलती है। आपकी रचनात्मक प्रतिक्रिया से वे अपना प्रदर्शन सुधार सकते हैं।

अतिरिक्त संसाधन

• A newly developed maths portal by the Karnataka government: http://karnatakaeducation.org.in/ KOER/ en/ index.php/ Portal:Mathematics
• Class X maths study material: http://www.zietmysore.org/ stud_mats/ X/ maths.pdf
• National Centre for Excellence in the Teaching of Mathematics: https://www.ncetm.org.uk/
• National STEM Centre: http://www.nationalstemcentre.org.uk/
• OpenLearn: http://www.open.edu/ openlearn/
• BBC Bitesize: http://www.bbc.co.uk/ bitesize/
• Khan Academy’s math section: https://www.khanacademy.org/ math
• NRICH: http://nrich.maths.org/ frontpage
• Mathcelebration: http://www.mathcelebration.com/
• Art of Problem Solving’s resources page: http://www.artofproblemsolving.com/ Resources/ index.php
• Teachnology: http://www.teach-nology.com/ worksheets/ math/
• Maths is Fun: http://www.mathsisfun.com/
• National Council of Educational Research and Training’s textbooks for teaching mathematics and for teacher training of mathematics: http://www.ncert.nic.in/ ncerts/ textbook/ textbook.htm
• LMT-01 Learning Mathematics, Block 1 (‘Approaches to Learning’) Block 2 (‘Encouraging Learning in the Classroom’), Block 6 (‘Thinking Mathematically’): http://www.ignou4ublog.com/ 2013/ 06/ ignou-lmt-01-study-materialbooks.html
• Learning Curve and At Right Angles, periodicals about mathematics and its teaching: http://azimpremjifoundation.org/ Foundation_Publications
• Central Board of Secondary Education’s books and support material (also including the Teachers Manual for Formative Assessment – Mathematics (Class IX)) – select ‘CBSE publications’, then ‘Books and support material’: http://cbse.nic.in/ welcome.htm

References

Acknowledgements

अभिस्वीकृतियाँ

तृतीय पक्षों की सामग्रियों और अन्यथा कथित को छोड़कर, यह सामग्री क्रिएटिव कॉमन्स एट्रिब्यूशन-शेयरएलाइक लाइसेंस के अंतर्गत उपलब्ध कराई गई है (http://creativecommons.org/ licenses/ by-sa/ 3.0/)। नीचे दी गई सामग्री मालिकाना हक की है तथा इस परियोजना के लिए लाइसेंस के अंतर्गत ही उपयोग की गई है, तथा इसका Creative Commons लाइसेंस से कोई वास्ता नहीं है। इसका अर्थ यह है कि इस सामग्री का उपयोग अननुकूलित रूप से केवल TESS-India परियोजना के भीतर किया जा सकता है और किसी भी बाद के OER संस्करणों में नहीं। इसमें TESS-India, OU और UKAID लोगो का उपयोग भी शामिल है।

इस यूनिट में सामग्री को पुनः प्रस्तुत करने की अनुमति के लिए निम्न स्रोतों का कृतज्ञतापूर्ण आभार:

चित्र 5: दिल्ली के रेड फोर्ट या लाल किले की फोटो के लिए साभार क्लेयर ली। (Figure 5: photo of the Red Fort or Lal Qil'ah in Delhi courtesy of Clare Lee.)

कॉपीराइट के स्वामियों से संपर्क करने का हर प्रयास किया गया है। यदि किसी को अनजाने में अनदेखा कर दिया गया है, तो पहला अवसर मिलते ही प्रकाशकों को आवश्यक व्यवस्थाएं करने में हर्ष होगा।

वीडियो (वीडियो स्टिल्स सहित): भारत भर के उन अध्यापक शिक्षकों, मुख्याध्यापकों, अध्यापकों और विद्यार्थियों के प्रति आभार प्रकट किया जाता है जिन्होंने उत्पादनों में दि ओपन यूनिवर्सिटी के साथ काम किया है।