8 Cyfartaleddau
Mae cyfartaledd yn werth canolig, neu ‘nodweddiadol’. Weithiau mae’n haws cyflwyno data’n rhifiadol yn hytrach nag yn graffigol, a chanfod un rhif i gynrychioli casgliad o ddata yn lle llawer o rifau. Gallwch wneud hyn trwy ganfod y cyfartaledd rhifyddol: ystyr ‘rhifyddol’ yw ‘gwneud symiau’, a’r ‘cyfartaledd’ yw gwerth cynrychioladol ein holl ddata. Felly mae gweithio allan y cyfartaledd rhifyddol yn golygu gweithio allan gwerth cynrychioladol ar gyfer eich data gyda chyfrifiadau mathemategol. Enw mwy cyfarwydd ar y cyfartaledd rhifyddol yw’r cyfartaledd cymedrig. Mae yna fathau eraill o gyfartaledd, ond byddwn yn canolbwyntio ar y cymedr yma.
Noder: Gyda data rydym yn sôn am ‘setiau data’ neu ‘setiau o ddata’. Gair arall am ‘grŵp’ yw ‘set’. Felly pe baem ni’n cynnal arolwg, byddai gennym set ddata.
Byddwch yn gyfarwydd â’r gair ‘cyfartalog’. Y tu allan i faes mathemateg, caiff ei ddefnyddio i olygu ‘heb fod yn arbennig’ neu ‘gweddol’. Ond ym maes mathemateg, mae ‘cyfartaledd’ yn golygu y gallwn fod ag un gwerth nodweddiadol sy’n gynrychiadol o’n holl ddata ac sy’n defnyddio ein data i gyd.
Ble ydyn ni’n gweld cyfartaleddau mewn bywyd go iawn?
Os edrychwch chi ar lyfryn gwyliau, byddwch yn gweld y bydd yn sôn am yr oriau ‘cyfartalog’ o heulwen mewn diwrnod.
Efallai bydd athro’n gweithio allan y marciau cyfartalog ar gyfer myfyrwyr mewn dosbarth.
Wrth ichi fynd ar daith, efallai y soniwch am eich cyflymder cyfartalog.
Y nifer gyfartalog o goliau a sgoriwyd fesul gêm gan eich tîm pêl-droed dros dymor.
Enghraifft: Sgoriau prawf cymedrig
Nid yw’n anodd gweithio allan y cyfartaledd rhifyddol neu gymedrig.
Edrychwch ar yr enghraifft ganlynol sydd wedi’i seilio ar yr enghraifft gyntaf yn y rhestr uchod:
| Myfyriwr | Sgôr |
|---|---|
| Sara | 11 |
| Ceri | 13 |
| Siân | 14 |
| Dylan | 15 |
| Aled | 17 |
| Ewan | 17 |
| Paul | 15 |
| Elisa | 20 |
| Bea | 20 |
| Gwyn | 18 |
Er mwyn cyfrifo’r cyfartaledd cymedrig, mae angen ichi wneud y canlynol:
Adiwch yr holl ddata at ei gilydd i gael cyfanswm (cyfanswm ‘A’).
Yn yr enghraifft hon, y data yw sgoriau prawf y myfyrwyr, felly mae angen inni adio:
11 + 13 + 14 + 15 + 17 + 17 + 15 + 20 + 20 + 18 = 160
Adiwch nifer y categorïau mae’ch data wedi’u rhannu iddynt. Nifer y myfyrwyr fyddai hon (cyfanswm ‘B’). Yn yr achos hwn, mae 10 o fyfyrwyr.
I gyfrifo’r cyfartaledd cymedrig, rydych yn rhannu cyfanswm eich data (A) â nifer y darnau o ddata (B). Felly:
A ÷ B = y cyfartaledd
Yn yr enghraifft uchod, cyfanswm y sgoriau yw 160, wedi’i rannu â 10 (nifer y myfyrwyr):
160 ÷ 10 = 16
Felly’r sgôr gyfartalog gymedrig fyddai 16.
Edrychwch ar yr enghraifft isod, lle byddwch yn edrych ar gyfartaledd cymedrig oriau o heulwen.
Enghraifft: Cyfartaledd cymedrig oriau o heulwen
Cofnodwyd yr oriau o heulwen pob dydd yn ystod gwyliau wythnos yn Abermaw ym mis Mehefin fel a ganlyn:
| Dydd | Oriau o heulwen |
|---|---|
| Sul | 6 |
| Llun | 1 |
| Mawrth | 7 |
| Mercher | 8 |
| Iau | 5 |
| Gwener | 2 |
| Sadwrn | 6 |
Gallech luniadu siart bar neu graff llinell i gyflwyno’r data hyn. Fodd bynnag – fel y byddech yn disgwyl gyda thywydd Prydain – roedd yr oriau o heulwen yn amrywio’n fawr o ddydd i ddydd.
Efallai y byddai’n fwy defnyddiol canfod cyfartaledd cymedrig yr oriau o heulwen pob dydd. Byddai hyn yn rhoi ichi un gwerth, y gallech ei ddefnyddio fel canllaw i faint o heulwen i’w ddisgwyl pob dydd.
Dull
I weithio allan y gwerth cymedrig hwn, mae angen ichi:
adio nifer yr oriau o heulwen ar gyfer pob dydd at ei gilydd
rhannu’r swm hwn â nifer y dyddiau mae gennych ddata ar eu cyfer.
Yn yr enghraifft hon, mae gennym:
6 + 1 + 7 + 8 + 5 + 2 + 6 = oriau o heulwen ar gyfer yr wythnos
a gwerth saith diwrnod o ddata. Felly, y cymedr yw:
35 ÷ 7 = 5 awr
Noder: Rhaid ichi gofio pa unedau rydych yn gweithio ynddynt ac ysgrifennu’r unedau hyn ar ôl eich gwerth cyfartalog – fel arall, ni fydd yn gwneud synnwyr.
Felly o’r data hyn, gallwch weld bod pum awr o heulwen pob dydd, ar gyfartaledd, mewn wythnos ym mis Mehefin yn Abermaw. Yna gallech ddefnyddio’r wybodaeth honno i’ch helpu i ddewis eich gwyliau nesaf: pe baech chi eisiau mwy na phum awr o heulwen pob dydd ar wyliau ym mis Mehefin, byddech yn dewis rhywle poethach (fel Sbaen, efallai).
Crynodeb o’r dull
Adiwch eich holl ddata at ei gilydd.
Canfyddwch nifer y categorïau mae’ch data wedi’u rhannu iddynt (faint o ddarnau o ddata sydd gennych).
Rhannwch gyfanswm eich data â nifer y categorïau data i roi’r cyfartaledd cymedrig.
Peidiwch ag anghofio nodi pa unedau rydych yn gweithio ynddynt, er enghraifft oriau, goliau, pobl ac ati.
Nawr rhowch gynnig ar y gweithgaredd canlynol. Cofiwch gyfeirio’n ôl i’r enghraifft os cewch anhawster a gwirio’ch atebion pan fyddwch wedi cwblhau’r cwestiynau.
Gweithgaredd 15: Canfod y cyfartaledd cymedrig
Cyfrifwch yr atebion i’r problemau canlynol heb ddefnyddio cyfrifiannell. Gallwch ail-wirio’ch atebion gyda chyfrifiannell os oes angen. Cofiwch wirio’ch atebion pan fyddwch wedi cwblhau’r cwestiynau.
Oedrannau’r pedwar plentyn mewn teulu yw 4, 6, 8 a 10. Beth yw’r oedran cyfartalog cymedrig?
Canfyddwch gyfartaledd y setiau data canlynol:
a.4, 6, 11
b.3, 7, 8, 4, 8
c.8, 9, 10, 9, 4, 2
d.11, 12, 13, 14, 15, 16
The number of goals scored by a football team in recent matches were as follows:
| 2 | 3 | 0 | 1 | 3 |
| 2 | 3 | 2 | 1 | 3 |
Gweithiwch allan nifer gymedrig y goliau ar gyfer pob gêm.
Awgrym: Sylwch ei bod yn bwysig cynnwys y sero yn eich cyfrifiadau.
Ateb
Gwiriwch eich atebion â’r atebion isod.
Yn gyntaf, adiwch yr holl oedrannau at ei gilydd:
4 + 6 + 8 + 10 = 28
Yna rhannwch y cyfanswm hwn â maint y data a roddwyd:
28 ÷ 4 = 7
7 yw’r oedran cyfartalog.
Byddwch yn canfod yr atebion canlynol trwy ddefnyddio’r cyfrifiad a ddefnyddioch ar gyfer cwestiwn 1:
a.Adiwch yr holl rifau at ei gilydd (4 + 6 + 11 = 21) ac yna rhannwch yr ateb hwn â maint y data a roddwyd (21 ÷ 3 = 7). 7 yw’r ateb.
b.Adiwch yr holl rifau at ei gilydd (3 + 7 + 8 + 4 + 8 = 30) ac yna rhannwch yr ateb hwn â maint y data a roddwyd (30 ÷ 5 = 6). 6 yw’r ateb.
c.Adiwch yr holl rifau (8 + 9 + 10 + 9 + 4 + 2 = 42) ac yna rhannwch yr ateb hwn â maint y data a roddwyd (42 ÷ 6 = 7). 7 yw’r ateb.
d.Adiwch yr holl rifau (11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 81) ac yna rhannwch yr ateb hwn â maint y data a roddwyd (81 ÷ 6 = 13.5). 13.5 yw’r ateb. Noder nad yw’r cyfartaledd cymedrig, o bosibl, yn rif cyfan.
Nifer gyfartalog y goliau fesul gêm yw 2:
2 + 3 + 0 + 1 + 3 + 2 + 3 + 2 + 1 + 3 = 20
20 ÷ 10 = 2
Nawr rhowch gynnig ar weithgaredd arall i wirio’ch gwybodaeth.
Gweithgaredd 16: Y prawf mathemateg
Fel uchod, cyfrifwch yr atebion i’r problemau canlynol heb ddefnyddio cyfrifiannell. Gallwch ail-wirio’ch atebion gyda chyfrifiannell os oes angen. Cofiwch wirio’ch atebion pan fyddwch wedi cwblhau’r cwestiynau.
Mewn dosbarth mathemateg, roedd y sgoriau ar gyfer prawf (allan o 10) fel a ganlyn:
| 5 | 6 | 6 | 4 | 4 |
| 7 | 3 | 5 | 6 | 7 |
| 8 | 6 | 2 | 8 | 5 |
| 4 | 5 | 6 | 5 | 6 |
Beth yw’r sgôr gymedrig?
Roedd rhai o’r myfyrwyr yn teimlo bod yr athro wedi bod yn rhy llym gyda’u marciau. Cafodd y profion eu hail-farcio, ac roedd y canlyniadau newydd fel a ganlyn:
| 4 | 6 | 6 | 4 | 4 |
| 6 | 1 | 5 | 6 | 6 |
| 7 | 6 | 1 | 9 | 5 |
| 3 | 5 | 6 | 5 | 5 |
Gweithiwch allan y sgôr gymedrig ar gyfer y canlyniadau newydd. Pa set o ganlyniadau roddodd y marciau gorau? Oedd yr athro’n llym wrth farcio am y tro cyntaf?
Ateb
Yn gyntaf, adiwch yr holl farciau at ei gilydd:
5 + 6 + 6 + 4 + 4 + 7 + 3 + 5 + 6 + 7 + 8 + 6 + 2 + 8 + 5 + 4 + 5 + 6 + 5 + 6 = 108
Yna rhannwch hwn â nifer y sgoriau (neu nifer y myfyrwyr), sef 20:
108 ÷ 20 = 5.4
Felly’r sgôr gyfartalog yw 5.4 allan o 10.
Eto, yn gyntaf adiwch yr holl farciau at ei gilydd:
4 + 6 + 6 + 4 + 4 + 6 + 1 + 5 + 6 + 6 + 7 + 6 + 1 + 9 + 5 + 3 + 5 + 6 + 5 + 5 = 100
Yna rhannwch y cyfanswm hwn â 20:
100 ÷ 20 = 5
Y set gyntaf o farciau oedd y set orau. Nid oedd yr athro wedi bod yn marcio’n llym.
Beth yw manteision ac anfanteision defnyddio’r cyfartaledd cymedrig?
Ydych chi erioed wedi clywed am deuluoedd â 2.4 o blant? Hwn yw’r cyfartaledd cenedlaethol, ond does dim ystyr iddo – oherwydd ni allwch fod â 0.4 o blentyn! Mae hyn yn tynnu sylw at un o broblemau cyfartaleddau: efallai na fydd y gwerth a gewch yn werth real yn nhermau’r hyn rydych chi’n siarad amdano.
Problem arall yw y bydd gwerthoedd sy’n llawer uwch neu’n llawer is na’r lleill yn y set ddata yn effeithio ar y gwerth cymedrig. Er enghraifft, efallai bod eich tîm pêl-droed yn cael tymor gwael iawn, heb sgorio o gwbl mewn naw gêm. Nifer gymedrig y goliau a sgoriwyd fesul gêm yn y naw gêm hyn fyddai sero (cyfanswm y goliau = 0 a nifer y gemau a chwaraewyd = 9, felly’r cymedr fyddai 0 ÷ 9 = 0). Yna, yn sydyn, mae’r tîm yn dechrau chwarae’n dda iawn ac yn sgorio deg gôl yn y gêm nesaf. Byddai hyn yn cynyddu cyfartaledd cymedrig y goliau a sgoriwyd i un gôl fesul gêm (cyfanswm y goliau = 10 a nifer y gemau a chwaraewyd = 10, felly’r cymedr fyddai 10 ÷ 10 = 1), sy’n awgrymu eu bod wedi sgorio gôl ym mhob gêm pan doedden nhw ddim wedi gwneud hynny.
Mae’r cymedr yn ffordd dda o gyfrifo’r cyfartaledd, fodd bynnag, oherwydd nid yw’n rhy gymhleth i’w weithio allan (o’i gymharu â rhai cyfrifiadau ystadegol eraill) ac mae’n defnyddio’r holl ddata sydd ar gael.
Crynodeb
Yn yr adran hon, rydych wedi:
dysgu bod y cymedr yn un math o gyfartaledd
dysgu bod y cymedr yn cael ei weithio allan trwy adio’r eitemau at ei gilydd a rhannu â nifer yr eitemau
deall y gall y cymedr roi ‘cyfartaledd wedi’i ystumio’ os yw un neu ddau o’r gwerthoedd llawer yn uwch neu’n is na’r gwerthoedd eraill.