2 ऋणात्मक संख्याओं की आवश्यकता
इस इकाई की गतिविधियों के माध्यम से आप इस बारे में अपने विद्यार्थियों की समझ को विकसित कर सकेंगे कि ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग क्यों किया जाता है और ये कितनी उपयोगी हो सकती हैं। इसमें आपको युक्तियां भी बताई जाएंगी कि आपके विद्यार्थियों को यह समझने में कैसे मदद की जाए कि केवल नियमों को याद करने के बजाय ऋणात्मक संख्याओं के साथ कैसे काम किया जाए। पहली गतिविधि इस तरह डिज़ाइन की गई है कि विद्यार्थियों को संख्या प्रणाली के एक हिस्से के रूप में ऋणात्मक संख्याओं की ज़रूरत को समझने में मदद मिले।
इस अंक में अपने विद्यार्थियों के साथ गतिविधियों के उपयोग का प्रयास करने से पहले अच्छा होगा कि आप सभी गतिविधियों को पूरी तरह या आंशिक रूप से स्वयं करके देखें। यह और भी बेहतर होगा यदि आप इसका प्रयास अपने किसी सहकर्मी के साथ करें क्योंकि जब आप अनुभव पर विचार करेंगे तो आपको मदद मिलेगी। स्वयं प्रयास करने से आपको शिक्षार्थी के अनुभवों के भीतर झांकने का मौका मिलेगा जिसके फलस्वरूप यह आपके शिक्षण और एक शिक्षक के रूप में आपके अनुभवों को प्रभावित करेगा।
गतिविधि 1: ऋणात्मक संख्याओं की आवश्यकता को समझना
तैयारी
इस गतिविधि में संख्या प्रणाली के एक हिस्से के रूप में ऋणात्मक संख्याओं की ज़रूरत को समझने में विद्यार्थियों की मदद के लिए तीन अलग अलग उपाय सुझाए गए हैं। इन सभी उपायों का उपयोग करने से, आवश्यक नहीं कि एक ही अध्याय में, विद्यार्थियों को ऋणात्मक संख्याओं के बारे में सोचने का एक व्यापक क्षेत्र प्राप्त होगा।
‘धनात्मक’ और ‘ऋणात्मक’ को दर्शाने के लिए पर्वतों और गहरे समुद्र के चित्र लाकर दिखाएं ताकि ‘ऊपर’ और ‘नीचे’ और साथ ही शून्य यानी समतल की चर्चा की जा सके। क्या आप ऐसी अन्य स्थितियों के बारे में सोच सकते हैं जहां धनात्मक और ऋणात्मक समझना विद्यार्थियों के लिए स्वाभाविक या सहज होगा?
गतिवधि
विचार 1: समुद्र तल के ऊपर और नीचे
एक बड़े कागज के टुकड़े पर, दीवार पर या ब्लैकबोर्ड पर एक बड़ा चित्र बनाएं। आपके चित्र में समुद्र, समुद्र के ऊपर पर्वत, और समुद्र स्तर के नीचे का स्थान दर्शाया जाना चाहिए। पत्रिकाओं से इकट्ठा किए गए या खुद बनाए हुए चित्रों का उपयोग करें। उपयुक्त वस्तुएं होंगी एक जहाज़, एक ऑक्टोपस, एक व्हेल, एक नाव, एक कार, एक मछली, आदि।
विद्यार्थियों से पूछें कि वे आपके चित्र पर वस्तुओं को कहां रखेंगे। उन्हें ‘समुद्र स्तर के ऊपर’ या ‘समुद्र स्तर से नीचे’ कहने के लिए प्रोत्साहित करें। जब सारी वस्तुएं चिपका दी जाएं, तो चर्चा कीजिए कि कोई हवाई जहाज़ कितना ऊंचा जा सकता है और ऑक्टोपस समुद्र के नीचे कितना अंदर जा सकता है। ‘समुद्र तल के नीच’ दर्शाने के लिए विद्यार्थियों को ऋण चिह्न के बारे में बताएं।
विचार 2: रोबोट कदम
कक्षा के मध्य में एक स्थान बनाएं, सुनिश्चित करें कि सभी विद्यार्थी इस मार्ग को देख सकें। उसके केन्द्र को एक चॉक के क्रॉस से चिह्नित करें और एक विद्यार्थी को उस क्रॉस पर खड़े रहने के लिए कहें। कक्षा से यह कल्पना करने को कहें कि विद्यार्थी एक रोबोट है जो एक सरल रेखा में केवल आगे और पीछे जाता है। क्रॉस से आगे कदम क्रमांकित करने के लिए कागज़ के टुकड़ों या चॉक चिह्नों का उपयोग करे।ं
रोबोट को 2 पर जाने के लिए कहें, फिर उसे दो स्थान पीछे जाने के लिए कहें। विद्यार्थियों से यह बताने को कहें कि क्रॉस पर कौन सी संख्या रखी जानी चाहिए – उम्मीद है वो शून्य कहेंगे।
दूसरों से कहें कि रोबोट को एक खास संख्या पर जाने का और फिर वापस एक खास संख्या पर जाने का निर्देश दें। अब रोबोट को 3 पर जाने को और फिर चार स्थान पीछे जाने को कहें। वो शून्य से नीचे चले गए! शून्य से पीछे एक कदम को दर्शाने के लिए कौन सी संख्या का उपयोग किया जा सकता है? शून्य से परे वाली अन्य संख्याएं बताएं और विद्यार्थियों को रोबोट को कहां जाना है यह बता कर ऋणात्मक संख्याएं कहने का अभ्यास करने को कहें।
विचार 3: बेंच का खेल
कमरे के अगले भाग में जितनी हो सके बेंच रखें और बेंचों को चॉक की मदद से रेखाएं बना कर अलग अलग सीटों में विभाजित कर दें। किसी एक सीट पर (कोने वाली सीट को छोड़कर) चॉक से शून्य लिखें और फिर बेंचों की अन्य सीटों को शून्य के दाईं ओर से 1, 2, 3 इस तरह क्रमांकित करें। विद्यार्थियों से पूछें कि बाईं ओर की सीटों को किस तरह से क्रमांकित किया जा सकता है। यदि वे नहीं सोच पाते हैं तो उन्हें ऋण चिह्न का सुझाव दें।
फिर ऐसे खेल खेलें जिनमें ऋणात्मक और धनात्मक संख्याएं शामिल हों। उदाहरण के लिए:
- किसी विद्यार्थी को एक सीट के पीछे खड़े होने को कहें। कक्षा के बच्चों से कहें कि वे जहां चाहें उस विद्यार्थी को जाने के लिए कहें, जैसे ‘5’ या ‘–2’ इस तरह।
- किसी विद्यार्थी को एक सीट पर बैठने को कहें और कक्षा से पूछें कि विद्यार्थी को किस सीट पर बैठना चाहिए। उन्हें शून्य से दाईं ओर की संख्याओं के लिए ‘3’ या ‘5’ और बाईं ओर की संख्याओं के लिए ‘ऋण 2’ या ‘ऋण 4’ का उपयोग करने को कहें।
इसके बाद, इस कार्य को और कठिन बना दें। एक विद्यार्थी को 5 के लेबल वाली सीट पर बिठाएं और कक्षा से पूछें कि सीट 2 पर जाने के लिए कौन सी ‘चाल’ चलनी होगी। यह ज़्यादा कठिन है क्योंकि ‘ऋण 3’ शून्य के सापेक्ष स्थिति दर्शा सकता है और बाईं ओर तीन सीट चलने की गतिविधि दर्शा सकता है। सुनिश्चित करें कि आप इन दो अर्थों पर चर्चा करेंगे।
अब विद्यार्थी को एक चाल चलने के लिए कहें और पूछें उस चाल को ‘पहले जैसा’ करने के लिए कौन सी चाल चलनी होगी।
आत्मविश्वास बढ़ाने के लिए ज़्यादा से ज़्यादा इस तरह के गेम का उपयोग करें। आप कुर्सियों का उपयोग करने के बजाय संख्याओं को दीवार पर चिपका सकते हैं। इस तरह से विद्यार्थी गेम खेल कर ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ना और घटाना सीख सकेंगे।
 वीडियो: स्थानीय संसाधनों का उपयोग करते हुए |
केस स्टडी 1: गतिविधि 1 के उपयोग का अनुभव श्रीमती कपूर बताती हैं
यह एक अध्यापिका की कहानी है जिसने अपने प्राथमिक कक्षा के विद्यार्थियों के साथ गतिविधि 1 का प्रयास किया। मुझे याद है कि मेरी कक्षाएं ऋणात्मक संख्याओं को नापसंद करने लगी थीं क्योंकि बहुत कुछ याद करना पड़ता था और अक्सर सबकुछ गड़बड़ हो जाता था।
मैंने गतिविधि 1 में उनके साथ कुछ खेलने का निर्णय लिया। ऋणात्मक संख्याओं के बारे में उन्हें पहले से पता था इसलिए उन्होंने तुरंत बताया कि ऑक्टोपस ऋण 8 मीटर पर होगा। मैंने दीवार पर लगे कागज़ पर चित्र बनाया जिसके साथ धनात्मक और ऋणात्मक चिह्नित की गई एक स्केल थी, और इस छोटी सी गतिविधि के पूरा होने के बाद उसे वहीं छोड़ दिया। सुबह बहुत से विद्यार्थी अपने बनाए हुए चित्रों के साथ आए तो हमने बड़े चित्र में उन्हें उनकी सही जगह पर रख दिया और धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं के बारे में किसी और समय सोचने का तय किया।
बाद के समय में हमने बेंच गेम खेला। उन्हें इसमें बहुत मज़ा आया, हालांकि कई बार उन्हें शून्य से आगे की चाल को गिनने में काफी मुश्किल हुई, जैसे 5 से –2 तक, लेकिन उन्होंने इसका बहुत अभ्यास किया क्योंकि वो खेलते रहना चाहते थे। मुझे वाकई लगता है कि जब हमने पाठ्यपुस्तक में ऋणात्मक संख्यों पर अभ्यास करना आरंभ किया, तो खुद अपनी चाल चलने या दूसरों को चाल चलने के निर्देश देने से उन्हें यह समझने में काफी आसानी रही कि क्या हो रहा है।
पाठ्यपुस्तक के उपयोग वाले चरण को और आसान बनाने के लिए, मेरे ख्याल से मैं इनमें से कुछ उपायों को दोहराउंगी और फिर विद्यार्थियों के साथ इस पर चर्चा भी करूंगी कि हम जो कर रहे हैं उसे गणितीय अंकन में दर्ज कैसे कर सकते हैं और फिर उसे ब्लैकबोर्ड पर लिखेंगे। उम्मीद है फिर वे यह समझेंगे कि गतिविधियां गणितीय अंकनों और सवालों, और पाठ्यपुस्तक में क्या पूछा गया है उससे कैसे संबद्ध होती है।ं
आपके शिक्षण अभ्यास के बारे में सोचना
अपनी कक्षा के साथ ऐसा कोई अभ्यास करने पर बाद में यह सोचें कि क्या ठीक रहा और कहाँ गड़बड़ी हुई। ऐसे प्रश्न सोचें जिनसे विद्यार्थियों में रुचि पैदा हो तथा उनके बारे में उन्हें समझाएँ ताकि वे उन्हें हल करके आगे बढ़ सकें। ऐसे चिंतन से वह ‘समझ’ मिल जाती है, जिसकी मदद से आप विद्यार्थियों के मन में गणित के प्रति रुचि जगा सकते हैं और उसे मनोरंजक बना सकते हैं। जब आप सोचते हैं कि गतिविधि 1 के उपाय आपकी कक्षा के साथ कैसे रहे, तो श्रीमती कपूर की तरह छोटी छोटी खास बातों का एक नोट बना लें।
 विचार के लिए रुकें केस स्टडी में, श्रीमती कपूर ने कहा कि वह उनमें से कुछ गतिविधियां दोहरा कर उनके परिणामों को गणितीय अंकनों और सवालों की मदद से ब्लैकबोर्ड पर दर्ज करने के बारे में सोच रही थीं। विद्यार्थियों द्वारा गतिविधियों और गेम्स का बहुत अधिक अनुभव लेने के बाद आपके विचार से ऐसा करने के क्या फ़ायदे हो सकते हैं? अब निम्नलिखित प्रश्नों के बारे में सोचें:
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ऋणात्मक संख्याएं