2 भिन्न पर कार्य करने के बारे में सीखने से संबंधित समस्याएँ
शोध सुझाव देते हैं कि भिन्न के कार्यों को समझना सीखते समय विद्यार्थियों के लिए मुख्य बाधाओं में से एक यह होता है कि उन्हें अकसर बिना इस बात के पीछे की संकल्पनात्मकता समझाए बिना कि नियम और प्रक्रियाएँ क्यों कार्य करती हैं, प्रक्रियाएँ और नियम पढ़ाए जाते हैं (फ़ाज़ियो और सीग्लर, 2011)। यह सुझाव दिया जाता है कि ‘विद्यार्थियों की संकल्पनात्मक समझ को बेहतर बनाने का एक तरीका’, भिन्न के मैनिपुलेटिव्ज़ और विज़ुअल प्रतिनिधियों का उपयोग करना है। अभ्यासक्रम जिसने भिन्न के विज़ुअल प्रतिनिधियों का उपयोग करके भिन्न अंकगणित पढ़ाया है, उसने विद्यार्थियों के कंप्यूटेशनल कौशल पर सकारात्मक प्रभाव दिखाया है (फ़िज़यो और सीग्लर, 2011, पृ. 12)। इस इकाई में भिन्न के कार्यों के विषय को पढ़ाने की अपनी प्रक्रिया के भाग के रूप में विज़ुअल प्रतिनिधि के उपयोग का अन्वेषण करते हैं।
अगली गतिविधि का लक्ष्य, भिन्न को जोड़ते और घटाते समय कल्पना की समस्या का हल करना है और यह जानना है कि इन कार्यों के लिए एक सार्व हर की आवश्यकता क्यों है। विद्यार्थियों के कल्पना कौशल को विकसित करने के लिए, विद्यार्थियों को अपने खुद की विधियों और दृष्टिकोण के साथ आगे आने के लिए पर्याप्त समय और अवसर देना आवश्यक है। अगर वे पूरी तरह से सही नहीं हैं, तो प्रदान की गई गलत अवधारणाओं का पूरी कक्षा के सामने की जाने वाली चर्चाओं में समाधान किया जा सकता है।
इस अंक में अपने विद्यार्थियों के साथ गतिविधियों के उपयोग का प्रयास करने से पहले अच्छा होगा कि आप सभी गतिविधियों को पूरी तरह या आंशिक रूप से स्वयं करके देखें। यह और भी बेहतर होगा अगर आप अपने किसी सहकर्मी के साथ मिलकर इसे करने का प्रयास करें क्योंकि स्वयं के अनुभव के आधार पर सिखाना आसान होगा। स्वयं प्रयास करने से आपको शिक्षार्थी के अनुभवों के भीतर झाँकने का मौका मिलेगा, जो परिणामस्वरूप आपके शिक्षण और एक शिक्षक के रूप में आपके अनुभवों को प्रभावित करेगा।
जब आप तैयार हों, तब गतिविधियों का अपने विद्यार्थियों के साथ उपयोग करें और फिर से इस बात पर विचार करें कि गतिविधि कैसी हुई और क्या सीख मिली। इससे आपको अधिक विद्यार्थी को केंद्र में रखने वाला शैक्षिक वातावरण बनाने में मदद मिलेगी।
गतिविधि 1: भिन्न जोड़ने और घटाने की कल्पना करना
भाग 1: भिन्न जोड़ना
वर्ग आकार वाले कागज़ से विद्यार्थी इस गतिविधि को अधिक तेज़ी तथा अधिक सटीकता से कर पाएँगे। यह गतिविधि जोड़े में या छोटे समूहों में बेहतर कार्य करती है, ताकि विद्यार्थी आपस में अधिक विचार उत्पन्न कर सकें। सुनिश्चित करें कि समूह छोटे हों और आरेखण बड़े हों ताकि समूह में मौजूद सभी विद्यार्थी उसे देख सकें तथा उसमें भाग ले सकें। रंगीन पेंसिल और कैंची उपयोगी होती हैं लेकिन आवश्यक नहीं। इस गतिविधि का एक महत्वपूर्ण पहलू विद्यार्थियों को प्रत्येक भाग पर कार्य करने के लिए बहुत से समय की अनुमति देना है, ताकि उन्हें इसकी अच्छी समझ हो जाए कि उन्हें क्या करना है तथा भिन्न के कार्यों के बारे में सोचने, कल्पना करने और उसकी चर्चा करने के लिए पर्याप्त समय हो। इसका अर्थ विद्यार्थियों को इस गतिविधि में सभी कार्यों को करने के लिए कम से कम दो अध्याय देना हो सकता है।
(समान हर)
अपने विद्यार्थियों से कहें:
- 6 सेमी की लंबाई और 2 सेमी की ऊँचाई वाले तीन आयत बनाएँ
- पहले आयत में
रंग भरें या शेड करें - दूसरे आयत में
रंग भरें या शेड करें - दोनों रंगीन या शेड किए गए
को काटकर उन्हें एक साथ तीसरे आयत में रखें जिससे ये
दिखाए।
वे इन आयतों का उपयोग करके 
का उत्तर कैसे निकाल पाएँगे? उन्हें तरीका सोचने के लिए तीन या उससे अधिक मिनट दें
कक्षा के साथ इसको हल करने के तरीके पर चर्चा करें। कुछ विद्यार्थियों को आकर ब्लैकबोर्ड पर अपने सुझाव बनाने के लिए कहें। एक समाधान चित्र 1 की तरह लग सकता है:
(शिक्षक के लिए नोट: अगर कोई कैंची या रंगीन पेंसिल उपलब्ध नहीं है, तो विद्यार्थी दोनों अंशों को एक आयत में आरेखित कर सकते हैं और दोनो अंशों को इंगित करने के लिए शेड का उपयोग कर सकते हैं।)
(समान हर)
- विद्यार्थियों से वही करने के लिए कहें जैसा उन्होंने
, के साथ किया था लेकिन अब भिन्न 
के लिए। सुनिश्चित करें कि वे एक ही आकार के आयतों का उपयोग करें क्योंकि वे इनका अगले प्रश्न में फिर से उपयोग करेंगे 
(अलग हर)
- विद्यार्थियों से अपने काटे हुए और शेड किए गए
और 
को एक साथ तीसरे आयत में रखने के लिए कहें ताकि वह 
दिखाए। - विद्यार्थियों से पूछें कि वे इन आयतों का उपयोग करके कैसे
का उत्तर निकाल पाएँगे। उन्हें एक तरीका सोचने के लिए पाँच या उससे अधिक मिनट दें। - पूरी कक्षा के साथ इसको हल करने के तरीके पर चर्चा करें। कुछ विद्यार्थियों को आकर ब्लैकबोर्ड पर अपने सुझाव बनाने के लिए कहें। आवश्यकता होने पर एक सुझाव दें कि सार्व हर (पूर्णांक कितने समान भागों में विभाजित किया गया है) के उपयोग से मदद मिल सकती है।
एक समाधान चित्र 2 की तरह लग सकता है:
अन्य भिन्न के जोड़
यही दृष्टिकोण अन्य भिन्न के जोड़ के लिए उपयोग की जा सकती है। इससे विद्यार्थियों को उस लंबाई वाले आयतों का उपयोग करने में मदद मिलती है, जो दो हरों के समापवर्त्य होते हैं उदाहरण के लिए, 
, को हल करने के लिए, 8 की लंबाई वाले आयत का उपयोग करें; 
, का हल निकालने के लिए, 14 की लंबाई वाले आयत का उपयोग करें। विद्यार्थियों से आयत के आकार का सुझाव देने के लिए कहना, भिन्नों के जोड़ को समझने के प्रति एक महत्वपूर्ण चरण है।
भाग 2: भिन्नों को घटाना
आपके विद्यार्थियों को यह पता होना चाहिए कि घटाने का अर्थ ‘ले लेना’ होता है और ‘ले लेना’ भौतिक रूप से किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 8 – 3, हमारे पास आठ चीज़ों का होना और उसमें से तीन ले लेना, इसके ही समान होता है। उसी प्रक्रिया का उपयोग करना जैसा भाग 1 में किया था 
को आरेखित करके फिर उसमें से 
को मिटाकर दिखाया जा सकता है। अगर 
और 
के अंशों को काट दिया जाए, तो 
के अंश को 
के अंश से कवर किया जा सकता है और फिर विद्यार्थी कवर नहीं किए हुए भाग को हल कर सकते हैं। या अंश के 
भाग को अंश के भाग 
के समान माप के अनुसार काटा जा सकता है।
(समान हर)
अपने विद्यार्थियों से कहें:
- 6 सेमी की लंबाई और 2 सेमी की ऊँचाई वाले तीन आयत बनाएँ
- पहले आयत में
रंग भरें या शेड करें - दूसरे आयत में
रंग भरें या शेड करें - रंगीन या शेड किए गए, दोंनो आंशिक टुकड़ों को काटना और उन्हें एक साथ इस तरह से तीसरे आयत में रखना जिससे कि वह
दिखाए
वे इन आयतों का उपयोग करके 
का उत्तर कैसे निकाल पाएँगे? उन्हें तरीका सोचने के लिए तीन या उससे अधिक मिनट दें।
पूरी कक्षा के साथ इसको हल करने के तरीके पर चर्चा करें। कुछ विद्यार्थियों को आकर ब्लैकबोर्ड पर अपने सुझाव बनाने के लिए कहें।
(समान हर)
- विद्यार्थियों से वही करने के लिए कहें जैसा उन्होंने
, के साथ किया था लेकिन अब भिन्न 
के लिए। सुनिश्चित करें कि वे एक ही आकार के आयतों का उपयोग करें क्योंकि वे इनका अगले प्रश्न में फिर से उपयोग करेंगे। - विद्यार्थियों के साथ चर्चा करें कि क्यों
एक पूर्णांक के समान है।
(अलग हर)
विद्यार्थियों से उनके काटे गए और शेड किए गए 
और 
को तीसरे आयत में इस तरह से रखने के लिए कहें जिससे कि वह 
दिखाए। वे इन आयतों का उपयोग करके 
का उत्तर कैसे निकाल पाएँगे? उन्हें एक तरीका सोचने के लिए पाँच या उससे अधिक मिनट दें।
कक्षा के साथ इसको हल करने के तरीके पर चर्चा करें। कुछ विद्यार्थियों को आकर ब्लैकबोर्ड पर अपने सुझाव बनाने के लिए कहें। आवश्यकता होने पर एक सुझाव दें कि सार्व हर (पूर्णांक कितने समान भागों में विभाजित किया गया है) के उपयोग से मदद मिल सकती है।
अन्य भिन्न के अतंर
यही दृष्टिकोण अन्य भिन्न के जोड़ के लिए उपयोग की जा सकती है। पहले की तरह, अगर विद्यार्थी ऐसी लंबाई वाले आयतों का उपयोग करते हैं, जो कि दो हरों का समापवर्त्य है, तो इससे उनकी समझ को विकसित करने में मदद मिलेगी और उनका ध्यान इस पर जाएगा। उदाहरण के लिए, 
, को हल करने के लिए, 8 की लंबाई वाले आयत का उपयोग करें; 
, का हल निकालने के लिए, 21 की लंबाई वाले आयत का उपयोग करें।
 वीडियो: अध्याय नियोजन |
केस स्टडी 1: श्रीमती मेहता, गतिविधि 1 के उपयोग का अनुभव बताती हैं
यह उस अध्यापिका की कहानी है जिसने अपनी प्राथमिक कक्षा के विद्यार्थियों के साथ गतिविधि 1 को आज़माया था।.
मैं गणितीय आघात के बारे में पढ़कर थोड़ा सहम गयी थी – मेरे ध्यान में ऐसे कई विद्यार्थी आए जो संभवतः इसका अनुभव कर रहे होंगे। मैं इस बात को भी स्वीकार करना चाहूँगी कि आज तक मैं इस बात पर विश्वास करती थी कि कुछ विद्यार्थियों को ‘यह समझ‘ आता है और अन्यों को नहीं। शायद ऐसा इसलिए है क्योंकि मुझे खुद कभी भी गणित को लेकर परेशानी नहीं हुई और कभी भी गणित को वाकई में एक नकारात्मक तरीके से नहीं देखा – बस यही जानती थी कि वह कभी-कभी कठिन हो सकता है।
इसलिए इस गतिविधि को शुरू करने से पहले मैंने खुद से यह वादा किया कि मैं वाकई में विद्यार्थियों को उनके खुद की विधियों और दृष्टिकोण के साथ आगे आने के लिए, भले ही वे पूरी तरह से सही न हो, पर्याप्त समय और अवसर देकर उनकी सहायता करूँगी – और उसमें हस्तक्षेप नहीं करूँगी या उन्हें बस तरीका नहीं बता दूँगी।
मुझे ऐसा लगा था कि इस गतिविधि में उन्हें शामिल करने के लिए बहुत से संकेत और सहायता देने की आवश्यकता होगी लेकिन वे सभी तुरंत इसे करने लगे। विद्यार्थियों ने चार या पाँच के समूहों में कार्य किया। प्रत्येक समूह के लिए पर्याप्त कैंची नहीं थी, लेकिन विद्यार्थियों ने खुशी-खुशी उसे साथ-मिलकर, समूह से समूह उसे पास करके कार्य किया। मैंने पाया कि उन्होंने इस दौरान वास्तव में एक दूसरे के कार्य पर एक नज़र डाला – और इस तरीके से एक दूसरे के तरीकों को अपनाया भी।
उन्होंने बड़ी आसानी से एक सार्व हर के साथ भिन्नों को जोड़ने का नियम निकाल लिया। एक अलग हर के साथ भिन्नों को जोड़ने की विधि ढूँढना इससे कठिन था और इसके लिए हमें वास्तव में पूरी कक्षा के साथ दो चर्चाएँ करनी पड़ी। पहली चर्चा में, पाँच मिनट के बाद, मैं समतुल्य भिन्नों और 3/6, ½ के बराबर होता है आदि के बारे में बात करने लगी। विचार करने के बाद मैं इस चीज़ को लेकर खुश नहीं थी कि मैंने उन्हें उसके बारे में बता दिया – लेकिन फिर मैंने सोचा कि उन्होंने इस अवधारणा को पिछले अध्याय ‘समतुल्य भिन्न’ से समझा था। बस उन्होंने इस शिक्षण को याद नहीं किया था। उन्हें इसकी याद दिलाने के बाद, मैंने उन्हें उत्तरों पर कार्य करने के लिए और दस मिनट दिए, लेकिन मैंने इसके साथ उनसे एक से अधिक उत्तर देने के लिए कहा। पूरी कक्षा के साथ दूसरी चर्चा के दौरान, हमने यह साझा किया कि 
होता है और मुझे लगता है कि विद्यार्थियों को समतुल्य भिन्नों के बारे में बहुत कुछ समझ में आया।
शायद भिन्न जोड़ते समय उन गहन चर्चाओं के परिणामस्वरूप उन्होंने इतनी जल्दी भिन्न को घटाने का नियम निकाल लिया और वे इस पर अच्छा तर्क दे सके कि उन्हें एक सार्व हर की आवश्यकता क्यों है। हम इस बात पर भी चर्चा करने लगे कि आपको अंत में ऋणात्मक भिन्न क्यों प्राप्त होता है।
 विचार के लिए रुकें श्रीमती मेहता के अध्याय में भिन्नों के कार्यों को समझने में विद्यार्थियों की सहायता करने के लिए प्रभावी ढंग से कल्पना का उपयोग किया गया हैं। हालाँकि, किसी अध्याय के अच्छी तरह से समाप्त होने पर भी ऐसे कुछ विद्यार्थी होते हैं जो अभी भी पूरी तरह से यह नहीं समझ पाते कि गणित के कौन से तरीके पढ़ाए जा रहे हैं। श्रीमती मेहता के अध्याय पर विचार करें, तो विद्यार्थियों के सीखने को मॉनिटर करने और उन्हें फीडबैक देने के लिए अध्याय कौन-कौन से अवसर प्रदान करता है? इस बारे में विचार करने में मदद के लिए आप संसाधन 2, ‘मॉनिटर करना और फीडबैक देना’ पर एक नज़र डालना चाहेंगे। |
आपके शिक्षण अभ्यास के बारे में सोचना
अपनी कक्षा के साथ ऐसा कोई अभ्यास करने के बाद यह सोचें कि क्या ठीक रहा और कहाँ गड़बड़ी हुई। ऐसे प्रश्न सोचें जिनसे विद्यार्थियों में रुचि पैदा हो तथा उनके बारे में उन्हें समझाएँ ताकि वे उन्हें हल करके आगे बढ़ सकें। ऐसे चिंतन से वह ‘स्क्रिप्ट’ मिल जाती है, जिसकी मदद से आप विद्यार्थियों के मन में गणित के प्रति रुचि जगा सकते हैं और उसे मनोरंजक बना सकते हैं। अगर विद्यार्थियों को समझ में नहीं आ रहा है और वे कुछ नहीं कर पा रहे हैं, तो इसका मतलब है कि उनकी इसमें सम्मिलित होने की रुचि नहीं है। जब भी आप गतिविधियाँ करें, इस विचार करने वाले अभ्यास का उपयोग करें, ध्यान दें, जैसे श्रीमती मेहता ने कुछ छोटी–छोटी चीज़ें कीं, जिनसे काफी फर्क पड़ा।
विचार के लिए रुकें ऐसे चिंतन को गति देने वाले अच्छे प्रश्न निम्नलिखित हैं:
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1 गणित सीखने से संबंधित कुछ समस्याएँ – ‘गणितीय आघात’