2 यह देखने में सक्षम होना कि भाग में क्या हो रहा है
विद्यार्थियों के लिए भाग का सिद्धांत समझ पाना आंशिक रूप से कठिन हो सकता है, क्योंकि इसे समझने के कई सिद्धांत दिए गए हैं। जब आपको इस प्रकार की समस्या आए, जैसे कि ‘42 भाग 6’, तो आप इसे ऐसे पढ़ सकते हैं:
- ‘42 में कितने 6 आते हैं?’
- ‘42 में से 6 के कितने समूह बन सकते हैं?’
- ‘इनमें से कितने प्रत्येक छः समूहों में आ सकते हैं?’
- ‘42 का एक-छठा हिस्सा क्या होगा?’
हालाँकि, उत्तर हमेशा 7 होगा, लेकिन इस उत्तर तक पहुँचने के लिए कई अलग-अलग तरीके होंगे, जिससे कुछ विद्यार्थी भ्रमित हो सकते हैं।
विद्यार्थियों की यह समझने में मदद करना कि भाग के बारे में सोचने के एक से अधिक तरीके हैं और हर दिन बोली जाने वाली भाषा की संभावित अस्पष्टता के बारे में सचेत रहने से उनका गणितीय विकास होगा। विद्यार्थियों को विभाजन देने से संबंधित सभी कार्यों, जैसे कि ‘42 को 6 से विभाजित करें’, का निर्देश देने वाली प्रत्येक समस्याओं के अर्थ के बारे में बहुत ध्यानपूर्वक विचार करने की शिक्षा देना महत्वपूर्ण है।
यह कल्पना करने में सक्षम होना कि क्या हो रहा है, कलन विधि को समझने के लिए एक महत्वपूर्ण चरण है। निम्न गतिविधि में आप विद्यार्थियों से सरल ज्ञान का उपयोग करके भाग करने और भागफल तथा शेषफल ढूँढने के लिए कह सकते हैं। विद्यार्थियों द्वारा इस गतिविधि में समझी गई बातों के आधार पर आप आगे की गतिविधियाँ तैयार कर सकते हैं ताकि भाग कलन विधि के बारे में अधिक गहराई से समझा जा सके।
अपने विद्यार्थियों के साथ गतिविधियों के उपयोग का प्रयास करने से पहले अच्छा होगा कि आप सभी गतिविधियों को पूरी तरह या आंशिक रूप से स्वयं करके देखें। यह और भी बेहतर होगा यदि आप इसका प्रयास अपने किसी सहकर्मी के साथ करें क्योंकि स्वयं के अनुभव के आधार पर सिखाना आसान होगा। स्वयं प्रयास करने से आपको शिक्षार्थी के उन अनुभवों के भीतर झांकने का अवसर मिलेगा जो आपके शिक्षण और एक शिक्षक के रूप में आपके अनुभवों को प्रभावित कर सकते हैं।
गतिविधि 1: लंबाइयों का भाग
तैयारी
यह गतिविधि विद्यार्थियों की भाग की गणितीय समझ को चुनौती देने के लिए तैयार की गई है। अगर आपके विद्यार्थी की आयु कम है या भाग का कम अनुभव है, तो सरल संख्याओं का उपयोग करें – महत्वपूर्ण है उनके द्वारा मन में बनने वाला चित्र और उनकी सोच।
यह गतिविधि सर्वश्रेष्ठ ढंग से चार से छः विद्यार्थियों के समूहों में की जा सकती है। इस गतिविधि के लिए स्वयं को तैयार करने हेतु हो सकता है कि आप संसाधन 2, 'समूहकार्य का उपयोग करना' देखना चाहें।
गतिवधि
अपने विद्यार्थियों को निम्न बताएँ:
रजनी को अपने बेडरूम में नया सिरेमिक फ्लोर टाइलें लगवाना है (चित्र 1)। बेडरूम के फ्लोर की लंबाई 5,273 मिमी और चौड़ाई 4,023 मिमी है।
उसने कैटलॉग देखा और टाइलों के दो डिज़ाइन छाँट लिए:
- पिंक स्पैरो
- रोज़वुड मैट।
वर्गाकार पिंक स्पैरो की लम्बाई 600 मिमी और रोज़वुड मैट की लम्बाई 450 मिमी है।
- रजनी के बेडरूम फ्लोर का आकार कैसा होगा?
- अपनी कॉपी में रजनी के बेडरूम फ्लोर का चित्र बनाएँ। आरंभ करने से पहले, इस बारे में सोचें: आप कॉपी में 5273 मिमी0 की लंबाई और 4023 मिमी0 की चौड़ाई वाला आयत नहीं बना सकते हैं। आप रजनी के बेडरूम फ्लोर को दर्शाने वाला एक आयत कैसे बनाएँगे? समूह में चर्चा करें।
- (शिक्षक के लिए नोट: अगर आपकी कक्षा के विद्यार्थी कम आयु के हैं या उन्होंने अभी तक मापन करना नहीं सीखा है, तो इस प्रश्न को छोड़कर अगला प्रश्न पूछें)। अब:
- रजनी के बेडरुम के फ्लोर का अलग–अलग पैमाने का उपयोग करके जितना सटीक हो सके उतना तीन अलग–अलग आकार के चित्र बनाए। (अगर अलग अलग पैमानों का उपयोग करने से गतिविधि बहुत कठिन हो रही है, तो केवल एक पैमाने का उपयोग करें।) चित्र के सामने उपयोग किए गए पैमाने को दर्ज करना याद रखें। तीनों चित्रों के बीच अंतर बताएँ।
- प्रत्येक तीन चित्रों में, फ्लोर के चित्र को पिंक स्पैरो टाइलों और रोज़वुड मैट टाइलों से भर दें।
- क्या अलग अलग आकारों वाले चित्र को भरने के लिए उपयोग की गई टाइलें/टाइलों की संख्या समान हैं? क्यों?
- रजनी हर तरह की टाइल से फ्लोर को कवर करने के लिए टाइलों की कितनी पंक्तियों का उपयोग करेगी? क्या ये पंक्तियाँ संपूर्ण फ्लोर को कवर करेंगी? क्यों या क्यों नहीं?
- रजनी हर तरह की टाइल से फ्लोर को कवर करने के लिए टाइलों के कितने स्तंभ का उपयोग करेगी? क्या ये स्तंभ संपूर्ण फ्लोर को कवर करेंगे? क्यों या क्यों नहीं?
वीडियो: समूहकार्य का उपयोग करना |
केस स्टडी 1: श्रीमती अग्रवाल, गतिविधि 1 के उपयोग का अनुभव बताती हैं
यह एक अध्यापिका की कहानी है जिसने अपने प्राथमिक कक्षा के विद्यार्थियों के साथ गतिविधि 1 का प्रयास किया।
मैंने इस गतिविधि को एक कक्षा में आज़माया जिन्हें भाग के कलन विधि में समस्या हो रही थी। ऐसा लगा कि उस दौरान मानो उन्हें यह बात समझ नहीं आई, कि वाकई में इसका क्या मतलब था, जब वे दो मात्राओं/संख्याओं को विभाजित कर रहे थे।
मैंने इस गतिविधि के लिए संख्याओं को कम करके तीन-अंकीय और दो-अंकीय संख्याएँ कर दी, ताकि वे अधिक आसानी से हल कर सकें, क्योंकि मैं चाहती थी कि वे जो कर रहे हैं, उसके बारे में विचार करें और उसकी कल्पना करें। मुझे लगा कि उनमें से कुछ को काग़ज़ पर रूप प्रस्तुत करते समय समस्या होगी, इसलिए मैंने उनकी एटलस की मदद से उनके साथ कुछ अभ्यास किए, जिनमें मैंने पाया कि लंबी दूरियों को प्रस्तुत करने के लिए, पैमानों का उपयोग कैसे किया गया था। इसके बाद, जब मैंने वास्तव में ये गतिविधि की, तब उनमें से अधिकांश लोगों को इसका तरीका आ गया और वो तीन बेडरूम फ़ लोर के चित्रों को आरेखित कर पाए।
अरूण ये जानना चाहता था कि ‘तीन आकारों’ से मेरा मतलब क्या था। मीता ने उसकी क्वेरी का जवाब यह कहकर दिया कि हो सकता है कि हम अलग अलग आकार के पैमानों का इस्तेमाल कर सकते थे। मैंने उनको वर्गाकार काग़ज़ के पत्रक दे दिए और वे सभी अपने आरेखण में व्यस्त हो गए। इसमें कुछ समय लग रहा था, इसलिए मैंने उन्हें एक समय सीमा प्रदान किया और कहा कि उन्हें अपने समूह में विभिन्न विद्यार्थियों को विभिन्न आकार आवंटित करने चाहिए।
जब उन लोगों ने बेडरूम के अपने आरेखण संपन्न कर लिए, तो मैंने उनसे कहा कि क्या वे कई कॉपी बना सकते हैं, ताकि इस समूह के प्रत्येक विद्यार्थी के पास टाइल लेआउट बनाने हेतु उपयोग करने के लिए एक कॉपी मौजूद रहे। फिर मैंने उन्हें फ्लोर को या तो पिंक स्पैरो टाइलों से या रोज़वुड मैट टाइलों से कवर करने के लिए कहा।
मुझे निम्न प्रश्न पछू ना याद था: ‘पैमाने भिन्न होने के बावजदू टाइलों की संख्या समान क्यों है?’ पहली बार तो वे सुनिश्चित नहीं थे कि कैसे उत्तर दिया जाए लेकिन आखिरकार किसी ने कहा ‘क्योंकि यह समान रूम है’ और दूसरे ने कहा ‘हमें इस पैमाने का उपयोग टाइलों के लिए भी करना पड़ा।’ मैं इन उत्तरों से खुश थी, क्योंकि उनसे जो कहा गया था उसे न केवल यांत्रिक तौर पर कर रहे थे बल्कि वे इस पर भी ध्यान दे रहे थे कि गणित का मतलब क्या होता है।
उसके बाद हमने संपूर्ण कक्षा के योगदान के साथ अंतिम दो प्रश्नों पर चर्चा की। वे इस समय ‘क्यों?’ प्रश्नों का उत्तर बहुत जल्दी-जल्दी दे रहे थे और मैं यह देख कर उनकी मदद करने में सक्षम थी कि वे स्थान को विभाजित कर रहे थे और भाग की गतिविधि कर रहे थे, जिनके कारण उन्हें काफ़ी मदद मिली। उस शेष का यहाँ भी कुछ मतलब था – ‘थोड़ा सा छूटा हुआ’ जिसके लिए आपको किसी टाइल को भरने के लिए काटना होता, जो उनके लिए एक वास्तविक अवधारणा थी।
आपके शिक्षण अभ्यास के बारे में सोचना
अपनी कक्षा के साथ ऐसा कोई अभ्यास करने के बाद यह सोचें कि क्या ठीक रहा और कहाँ गड़बड़ी हुई। ऐसे सवाल सोचें जो विद्यार्थियों की रुचि बढ़ाए और जिसमें वे आगे बढ़ने में सक्षम हों, और जिनका स्पष्टीकरण करने की आवश्यकता हो। ऐसे चिंतन से वह ‘स्क्रिप्ट’ मिल जाती है, जिसकी मदद से आप विद्यार्थियों के मन में गणित के प्रति रुचि जगा सकते हैं और उसे मनोरंजक बना सकते हैं। यदि विद्यार्थी कुछ भी समझ नहीं पाते हैं तथा कुछ भी नहीं कर पाते हैं, तो वे शामिल होना नहीं चाहेंगे। जब भी आप गतिविधियाँ करें, इस विचार करने वाले अभ्यास का उपयोग करें, जैसे श्रीमती अग्रवाल ने कुछ छोटी–छोटी चीज़ें की जिनसे काफ़ी फर्क पड़ा।
विचार के लिए रुकें चिंतन को बढ़ावा देने वाले अच्छे प्रश्न हैं:
|
1 औपचारिक ‘भाग’ विधि