2 धारिता और आयतन के मापन की इकाइयों के बारे में विचार करना
‘आयतन’ वह जगह है जिसे त्रि-आयामी वस्तु अधिग्रहीत या शामिल करती है। आयतन को उसकी भौतिक अवस्था के आधार पर कई अलग अलग तरीकों से परिमाणित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गतिविधि 1 में अनुमान लगाने का प्रयास कर रहे विद्यार्थियों द्वारा एक घनाभ ठोस की आयतन की गणना ऊंचाई, चौड़ाई और लंबाई मापने के द्वारा की जाती है। इस मामले में, आयतन को सेमी3, मी3 या इंच3 में परिमाणित किया जाएगा।
ठोस या गैस का आयतन निर्धारित करने के लिए द्रव विस्थापन एक और तरीका है। द्रव विस्थापन में एक तरल पदार्थ में वस्तु को डुबोया जाता है। वस्तु की आयतन तरल पदार्थ को विस्थापित करेगी। तरल पदार्थ के इस तरह के विस्थापन को मापा जा सकता है। वैसी स्थिति में इसे मिलीलीटर, लीटर, द्रव औंस या कप में व्यक्त किया जाएगा।
तरल पदार्थ का आयतन या छोटी खुली वस्तुओं यथा चावल के दानों को मापन कप जैसे किसी मापन उपकरण में रखकर मापा जा सकता है (चित्र 1)
दूसरी ओर, धारिता एक पात्र का गुण है। यह वर्णित करता है एक पात्र कितना धारित कर सकता है। ग़लतफहमी इस तथ्य से पैदा हो सकती है कि धारिता के लिए प्रयुक्त माप सामान्यतः आयतन के लिए प्रयुक्त माप के समान होती है।
अगली गतिविधि का उद्देश्य विद्यार्थियों को ‘तुलना और भेद निरूपण’ तकनीकों का उपयोग कर त्रि-आयामी वस्तुओं की धारिता एवं आयतन के बीच के अवधारणात्मक अंतर को समझाना है। गतिविधि के भाग 1 और 2 आयतन और धारिता के गणितीय गुणों से विद्यार्थियों को अवगत कराने में मदद के लिए ‘क्या यह हमेशा या कभी-कभी सत्य है, या फिर कभी सत्य नहीं है?’ प्रश्न का उपयोग करते हैं। भाग 3 उसी जागरूकता को हासिल करने के लिए ‘क्या समान है और क्या अलग है?’ प्रश्न का उपयोग करता है।
समानता और विषमता पर ध्यान केंद्रित करने में विद्यार्थियों को सक्षम बनाने, और परिशुद्धता के साथ मापन एवं गणना की बारीकियों में नहीं उलझने देने के लिए, प्रयुक्त किए जाने वाले कुछ उदाहरण असामान्य किंतु वास्तविक हैं। इस तरह के उदाहरणों का प्रयोग करने से गणित को मनोरंजक बनाने की भावना को बल मिलता है, क्योंकि उसमें कई सही उत्तर उपस्थित होते हैं।
गतिविधि 2: तुलना एवं भेद निरूपण – धारिता और आयतन
यह गतिविधि छोटे समूहों या जोड़ियों में काम कर रहे विद्यार्थियों के लिए बेहतर ढंग से काम करती है। समूह को बहुत बड़ा न रखें क्योंकि फिर सभी विद्यार्थी चर्चा में योगदान देने में सक्षम नहीं होंगे। यहाँ इन प्रश्नों के कई सही उत्तर हैं और इनसे सभी विद्यार्थी सहमत नहीं हो सकते। जब तक उनके विचार गणितीय गुणों पर आधारित और युक्तियुक्त हैं, तब तक उनकी दलीलों को स्वीकारें।
भाग 1: धारिता
ब्लैकबोर्ड पर वस्तुओं को सूचीबद्ध करें। यदि आप चाहें तो कुछ और असामान्य वस्तुओं को जोड़ सकते हैं।
| वस्तु | क्या ये वस्तुएँ द्रव को धारित कर सकती हैं? क्या यह हमेशा, कभी-कभी सही है या कभी सत्य नहीं है? |
|---|---|
| हाथी की सूँड़ | |
| मधुमक्खी का छत्ता | |
| संतरा | |
| बाल्टी | |
| पानी की टंकी | |
| मच्छर का पेट | |
| झील | |
| समुद्र | |
| गिलास | |
| नारियल |
अपने विद्यार्थियों को निम्नलिखित निर्देश दें:
- कि वे अपने सहपाठियों के साथ इस बात पर चर्चा करें कि क्या यह हमेशा, कभी-कभी सही है या कभी भी सही नहीं है कि ये वस्तुएँ [ब्लैकबोर्ड पर लिखी हुई] द्रव को धारित कर सकती हैं? उनसे कहें कि आप पाँच मिनट के समय में उनसे उनके कारण पूछेंगे। फिर विद्यार्थियों से ब्लैकबोर्ड पर सारणी को पूरा करने में मदद करने के लिए कहें।
विद्यार्थियों के निर्णयों के लिए कारणों पर संपूर्ण कक्षा से चर्चा करें। उसके बाद ही अपनी सारणी में स्तंभ का अन्य शीर्षक बनाने के लिए शब्द ‘धारिता’ को जोड़ें।
| वस्तु | क्या ये वस्तुएँ द्रव को धारित कर सकती हैं? क्या यह हमेशा, कभीकभी सही है या कभी सत्य नहीं है? (धारिता) | वस्तुओं की धारिता का रैकिंग क्रम |
|---|---|---|
| हाथी की सूँड़ | ||
| मधुमक्खी का छत्ता | ||
| संतरा | ||
| बाल्टी | ||
| पानी की टंकी | ||
| मच्छर का पेट | ||
| झील | ||
| समुद्र | ||
| गिलास | ||
| नारियल |
विद्यार्थियों से घटती हुई धारिता के आधार पर इन वस्तुओं की संख्या बताने के लिए कहें: अर्थात सबसे बड़ी धारिता वाली वस्तु की संख्या 1, दूसरी सबसे बड़ी क्षमता वाली वस्तु 2, और इसी प्रकार आगे।
फिर, विद्यार्थियों के निर्णयों के लिए कारणों पर संपूर्ण कक्षा से चर्चा करें। पूछने के लिए एक अच्छा सवाल यह भी हो सकता है कि ‘आप कैसे जानते हैं कि इस वस्तु की सबसे बड़ी धारिता है?’ यदि विद्यार्थी गतिविधि 1 में पता लगाए गए मापनों की भूमिका पर सोच नहीं पाते हैं तो उन्हें इस बारे में याद दिलाएँ। हो सकता है कि आप गतिविधि के इस भाग के लिए तैयारी में मदद करने हेतु प्रमुख संसाधन ‘चिंतन को बढ़ावा देने के लिए सवाल-जवाब का प्रयोग करना’ को देखना चाहें।
भाग 2: आयतन
ब्लैकबोर्ड पर सारणी में एक अन्य स्तंभ जोड़ें:
| वस्तु | क्या ये वस्तुएँ द्रव को धारित कर सकती हैं? क्या यह हमेशा, कभीकभी सही है या कभी सत्य नहीं है? (धारिता) | वस्तुओं की क्षमता का रैकिंग क्रम | यह वस्तु, इसमें किसी भी द्रव के बिना, जगह को अधिग्रह्रहीत करता है। क्या यह हमेशा, कभी-कभी या कभी सत्य नहीं होता है? |
|---|---|---|---|
| हाथी की सूँड़ | |||
| मधुमक्खी का छत्ता | |||
| संतरा | |||
| बाल्टी | |||
| पानी की टंकी | |||
| मच्छर का पेट | |||
| झील | |||
| समुद्र | |||
| गिलास | |||
| नारियल |
विद्यार्थियों से परस्पर चर्चा करने के लिए कहें कि क्या यह हमेशा, कभी-कभी या कभी भी सत्य नहीं है कि ये वस्तुएँ [ब्लैकबोर्ड पर लिखी हुई] खाली होने पर जगह धारित कर सकती हैं? उनसे कहें कि आप पाँच मिनट में उनसे उनके कारण पूछेंगे। फिर, ब्लैकबोर्ड पर सारणी को पूर्ण करें।
विद्यार्थियों के निर्णयों के लिए कारणों पर संपूर्ण कक्षा से चर्चा करें। अंत में, दर्शाए गए अनुसार अंतिम स्तंभ बनाने के लिए शब्द ‘आयतन’ जोड़ें।
| वस्तु | क्या ये वस्तुएँ द्रव को धारित कर सकती हैं? क्या यह हमेशा, कभी कभी सही है या कभी सत्य नहीं है? (धारिता) | वस्तुओं की क्षमता का रैकिंग क्रम | यह वस्तु, इसमें किसी भी द्रव के बिना, जगह को अधिग्रह्रहीत करता है। क्या यह हमेशा, कभी-कभी या कभी सत्य नहीं होता है? (आयतन) | वस्तुओं की आयतन का रैकिंग क्रम |
|---|---|---|---|---|
| हाथी की सूँड़ | ||||
| मधुमक्खी का छत्ता | ||||
| संतरा | ||||
| बाल्टी | ||||
| पानी की टंकी | ||||
| मच्छर का पेट | ||||
| झील | ||||
| समुद्र | ||||
| गिलास | ||||
| नारियल |
अपने विद्यार्थियों से घटती हुई आयतन में वस्तुओं को व्यवस्थित करने के लिए कहें। सबसे बड़ी आयतन वाली वस्तु की संख्या 1, दूसरी सबसे बड़ी आयतन की संख्या 2, और इसी प्रकार आगे।
विद्यार्थियों के निर्णयों के लिए परस्पर कारणों पर चर्चा करें।
भाग 3: धारिता और आयतन की तुलना एवं भेद निरूपण
विद्यार्थियों से पूर्ण सारणी को फिर से देखने के लिए कहें। उनसे वस्तुओं की समानता और विषमता के बारे में पूछें? क्या सभी वस्तुओं में धारिता और आयतन विद्यमान है? यदि किसी वस्तु की सबसे बड़ी धारिता है तो क्या इसका अर्थ है कि उसकी सबसे बड़ी आयतन भी है?
उनसे अपने अपने समूहों में चर्चा करने और पाँच मिनट में संपूर्ण कक्षा के समक्ष अपने विचार साझा करने के लिए तैयार रहने को कहें।
फिर, विद्यार्थियों के निर्णयों के लिए कारणों पर संपूर्ण कक्षा से चर्चा करें।
 वीडियो: सोच-विचार को बढ़ावा देने के लिए प्रश्न पूछने का उपयोग करना |
केस स्टडी 2: गतिविधि 2 के उपयोग के बारे में श्रीमती आशा बताती हैं
मैंने सोचा कि यह गतिविधि पूरे पाठ को आवरित करेगी और इसने ऐसा ही किया। मैंने विद्यार्थियों से पुनः चार या पाँच के समूह में काम करने को कहा।
उन्हें उदाहरण पसंद आए! एक विद्यार्थी समीर जो हमेशा प्रश्न करता था, उसने पूछा कि क्या यह एक पूर्ण विकसित हाथी है या उसका बच्चा। तो मैंने उससे कहा कि वह उनमें से कोई ले सकता है और तदनुसार उन्हें ग्रेड कर सकता है। मुझे लगता है कि सभी समूहों ने उन दोनों के साथ ही अपना कार्य समाप्त किया! मुझे लगता है कि गतिविधि ने अच्छी तरह काम किया क्योंकि हमने पिछले पाठ में गतिविधि 1 संपन्न की थी जिसने विद्यार्थियों को धारिता और आयतन की अवधारणाओं के बारे में सोचने के लिए समर्थ बनाया था। मैंने यह भी देखा कि भले ही संभवतः मच्छर का पेट जैसे उदाहरण बेहद असामान्य थे और कुछ हद तक बेतुके भी थे, तथापि गणित के पाठों में सामान्यतः नहीं बोलने वाले और कभी भी अपने हाथ न खड़े करने वाले विद्यार्थी भी अब सुझाव दे रहे थे और वे सुझाव सार्थक भी थे।
जब समूह अपने निष्कर्षों के बारे में रिपोर्ट कर रहे थे, तो मैंने तकरीबन समूह के आधे ‘कमजोर’ विद्यार्थियों में से किसी एक को इंगित कर अपने समूह के विचारों से अवगत कराने के लिए कहा। ऐसा प्रयोग मैंने पहले नहीं किया था, लेकिन मैं उनके द्वारा प्रदत्त व्याख्या से बेहद प्रभावित हुई। मैंने यह भी महसूस किया कि जैसे-जैसे मैं अलग अलग समूहों से अधिकाधिक व्याख्याएँ प्राप्त करती जा रही थी, उनके तर्क ज्यादा विश्वसनीय और परिष्कृत होते जा रहे थे।
हम सामान्यतः वैसी गणितीय गतिविधियाँ नहीं करते हैं जिनके कई सारे सही उत्तर होते हैं - वे ऐसे प्रश्न होते हैं जो आपको सही या गलत लग सकते हैं। इसलिए, यह मेरे और विद्यार्थियों दोनों के लिए नया था। इस तरह के चिंतन के लिए अधिक खुलने में उनकी मदद करने के लिए, मैंने उन्हें गतिविधि वर्णन में उक्त बातें बताईं:
यहाँ इन प्रश्नों के कई सही उत्तर हैं और इनसे सभी विद्यार्थी सहमत नहीं हो सकते हैं। जब तक उनके विचार गणितीय गुणों पर आधारित और युक्तियुक्त हैं, तब तक उनकी दलीलों को स्वीकारें।
मुझे लगता है कि इससे मुझे और मेरे विद्यार्थियों को गणितीय गुणों एवं तार्किक चिंतन के प्रवाहों पर वास्तव में ध्यान केंद्रित करने में मदद मिली। मुझे लगता है कि यह पहली बार था जब मैंने धारिता और आयतन के बीच के अंतर को समझने में वास्तव में आश्वस्त महसूस किया।
 विचार के लिए रुकें श्रीमती आशा ने बताया कि कैसे उन्होंने अपने समूह के विचारों के बारे में बताने के लिए कुछ ‘कमजोर’ विद्यार्थियों का चुनाव किया। आपको क्या लगता है कि ऐसा करने के कौन-कौन से लाभ हैं और वे कौन-कौन सी रणनीतियाँ हैं जिनका उपयोग यह सुनिश्चित करने के लिए किया जा सकता है कि यह विद्यार्थियों द्वारा रिपोर्ट देने के लिए एक सकारात्मक अनुभव है? अब इस बारे में सोचें कि आपकी कक्षा का प्रदर्शन गतिविधि के साथ कैसा था और निम्नलिखित सवालों पर प्रतिक्रिया दें:
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1 गणितीय गुणों के बारे में जानने के लिए ‘तुलना और भेद निरूपण’ कार्य