1 अनुमान लगाना गणितीय प्रक्रिया के बारे में सोचना है

यह एक शिक्षिका की कहानी है, जिसने अपने माध्यमिक कक्षा के विद्यार्थियों के साथ गतिविधि 1 का प्रयास किया।

प्रश्न 1 और 2 को हमने पूरी कक्षा की गतिविधि के तौर पर किया। मैंने ब्लैक बोर्ड पर एक समय में एक प्रश्न लिखा, और तब विद्यार्थियों से उत्तर और विचार प्राप्त किया। प्रश्न 3 और 4 के लिए हमने पूरी कक्षा के तौर पर काम शुरू किया, और बाद में उन्होंने जोड़े बनाकर इसपर काम किया।

जब मैंने पहला प्रश्न ब्लैकबोर्ड पर लिखा, विद्यार्थी एक दूसरे की ओर बहुत संदेह भरी नजरों से देख रहे थे, जैसे उन्हें इससे पहले इस तरह की कोई चीज़ करने के लिए कभी भी प्रोत्साहित नहीं किया गया हो –– वे केवल सटीक उत्तर की गणना करना चाहते थे।

अचानक, रचित ने कहा कि यह 4,20,000 होगा। मैंने उससे पूछा कि उसने ऐसा क्यों सोचा और उसने कहा कि 6 बार 7 होता है 42 और सौ बार सौ के लिए हमने चार शून्य जोड़ दिए। साक्षी ने तुरंत कहा कि 6 और 7 इकाई वाले स्थान पर थे, इसलिए ऐसा नहीं होगा, लेकिन उसने कहा कि उसका सोंचना है कि यह 10,000 से ज्यादा होगा, क्योंकि 106 और 107 अंक 100 से बड़े हैं और 100 × 100 है, 10,000 के बराबर। तरुना और राहुल इससे सहमत थे।

प्रश्न 1 के भाग (b) ने उनकी गति थोड़ी धीमी कर दी, लेकिन तरुना ने फैसला किया कि यह 2 से ज्यादा और 3 से कम होगा। जब इसक पीछे का तर्क पूछा गया, उसने कहा कि 3 बार 225 होगा 675, जो अंश से अधिक है, और दो बार 225 होगा 450, जो अंश से कम है। भाग (c) के लिए, आदित्य ने फैसला किया कि यह 14 से ज्यादा होगा क्योंकि रूट 4 होता है 2, और इसलिए रूट 5 उससे ज्यादा होगा और इस प्रकार गुणन का परिणाम 14 से ज्यादा होगा।

उनके तर्क में मुझे यह बात खटकी कि उन्होंने ’इससे ज्यादा’ अथवा ’इससे कम’ की भाषा का इस्तेमाल स्वतः ही शुरू कर दिया। इससे लगता है कि ऊपरी और निचली सीमाओं के बारे में सोचना वास्तव में स्वाभाविक होता है इसने मुझे यह सोचने को मजबूर किया कि मुझे शायद इस बारे में शिक्षा देने के लिए इतना ज्यादा समय नहीं खर्च करना चाहिए, बल्कि इस तरह के प्रश्नों का प्रयोग करना चाहिए, ताकि उनमें ये अवधारणाएं स्वाभाविक तौर पर विकसित हों।

उन्हें उन अभिव्यक्तियों को लेकर बहुत संदेह था जिनके साथ उन्हें शुरू करना था। मुझे ऐसा इसलिए लगा, क्योंकि इसमें एक भिन्न शामिल था –शायद मुझे पूछना चाहिए था। मैंने थोड़ी देर तक इंतजार किया, ताकि वे इस बात से वास्तव में अवगत हो जाएं कि जो संकेत मैं उन्हें देने जा रही हूं, उसपर वे टिके हैं और उसका सम्मान करेंगेः अनुमान लगाना शुरू करने के लिए का अनुमान लगाना। शिवम ने फैसला किया कि लगभग 0.8 होगा, जो तकरीबन 1 है, और इस प्रकार वह अभिव्यक्ति x + 5 होगी। मैंने उनसे पूछा कि क्या वह अधिकतम अथवा न्यूनतम मान होगा, और वे सभी सहमत थे कि वह अधिकतम होगा। ऐसी अभिव्यक्ति के लिए जिसमें शामिल हो मुझे कोई भी संकेत देने की ज़रूरत नहीं पड़ी। सभी सीधे अनुमान करने लगे, क्या होगा – ऐसा लगता है कि मेरे संकेत ने काम किया। उन्होंने कहा कि मान लगभग 4 होगा और इसका मतलब है कि न्यूनतम मान 9 होगा।

तीसरी अभिव्यक्ति को लेकर उनके चेहरों पर परेशानी झलकने लगी। मैंने उनसे पूछा कि उन्हें क्या परेशानी है, तो उन्होंने कहा कि परेशानी घन और वर्ग निकालने में थी। इसलिए, मैंने उन्हें एक सहायक प्रश्न देकर उनकी मदद कीः मैंने उनसे कहा कि वे 3 और 0.1 का घन निकालें, और परिणाम देखें। तरुना ने कहा कि 3 का घन संख्या 3 से बड़ा होगा, लेकिन 0.1 का घन 1 से छोटा होगा। तब मैंने उनसे बस इतना कहा ’अब इस अभिव्यक्ति को देखो’ और उन्होंने तुरन्त ही उत्तर निकाल लिए। एक बार फिर, बगैर उत्साह बढ़ाए, उन्होंने अपने अनुमानों में एक शृंखला की पहचान कर ली।

चारपाई के बारे में कक्षा में वास्तविक उत्सुकता थी। उन्होंने मुझसे पूछा कि चारपाई की लम्बाई और चौड़ाई क्या है। मैंने उन्हें बताया कि उनका अनुमान वहीं से शुरू होता है – यह उनके ऊपर निर्भर है। सभी ने फैसला किया कि उन्हें इसे दो मीटर गुणा एक मीटर मानना चाहिए। लेकिन वहां इस बात पर ज्यादा चर्चा हुई कि वे दोगुना कैसे करेंगे, क्योंकि रस्सी फ्रेम के चारों ओर लपेटी जानी थी। इस बिन्दु पर मैंने उनसे इसपर जोड़े बनाकर काम करने को कहा, और यह भी कि वे बाद में अपनी सोच को पूरी कक्षा के साथ साझा करने के लिए तैयार रहें।

प्रश्न 4 के कारण अत्यधिक चर्चा हुई। इसका वर्णन करने में उन्हें परेशानी हुई–– शुरुआत में ऐसा लगा कि उनके पास भाषा नहीं है। मैंने सोचा कि यदि वे सभी अपनी बातचीत तेज आवाज में करें और अपने विचारों को बताएं तो उन्हें मदद मिलेगी, इसलिए मैंने उनसे कहा कि वे अपनी सोच एक दूसरे को जोड़े में बताएं और जब वे अपनी व्याख्याओं से खुश हों, तो इसे अपनी अभ्यास पुस्तिकाओं में लिखें। इसके बाद हमने कुछ व्याख्याओं को पूरी कक्षा के साथ साझा किया। मैंने ध्यान दिया कि कुछ विद्यार्थियों ने उन बातों में बदलाव किया, जो उन्होंने पूरी कक्षा के साथ चर्चा में निकले परिणाम के रूप में लिखा था। व्याख्याएं शायद बहुत परिष्कृत नहीं थीं, लेकिन मैं उनकी सोच के बारे में विचार करना शुरू करने के उनके प्रयास और उनकी प्रतिबद्धता से बहुत प्रभावित थी – यह करना कोई आसान काम नहीं है! मैंने उन्हें यह बात बताई और यह भी कहा कि मुझे यह करना अभी भी बहुत कठिन लगता है।