1 वास्तविक जीवन के संदर्भ में चर और स्थिरांक
दिल्ली का नेहरू प्लेस, जो कंप्यूटर और पेरीफ़ेरल का एशिया का सबसे बड़ा बाजार है, हमेशा भीड़ से भरा रहता है। कामकाज के समय यहाँ अत्यंत गतिशील वातावरण रहता है। सुबह से लेकर शाम तक जितनी तेजी से यहाँ वातावरण बदलता है, उससे एक हॉकर से लेकर कार पार्किंग या दुकान में कर्मचारियों की संख्या तक सभी कुछ प्रभावित होता है (चित्र 1)। वातावरण में इस बदलाव को गतिकी कहा जाता है।
व्यावसायिक (professional) गणितज्ञ इस गतिकी का अनुमान लगाने और उनकी व्याख्या करने के मॉडल विकसित करते हैं। ऐसा करके वे शहरी योजनाकारों, स्थानीय नीति निर्माताओं और कानून प्रवर्तन विभागों को यह अनुमान लगाने में सक्षम बनाता है कि श्रम, प्रावधानों, सहायता संरचना आदि के संबंध में विभिन्न समय पर क्या आवश्यक हो सकता है।
यह गणितीय प्रतिरुपण इस निर्णय पर आधारित है कि समान व्यवस्था में चर (संख्यात्मक मात्राएँ जो अलग–अलग होंगी) और स्थिरांक (मात्राएँ जो समान रहेंगी) क्या हैं। गतिविधि 1 में शहर के जीवन के एक उदाहरण का उपयोग करके इसे आपके विद्यार्थियों को पढ़ाने के तरीका बताया गया है। (यदि आपके विद्यार्थी नेहरू प्लेस या ऐसे किसी वातावरण से अपरिचित हैं, तो आपको इस उदाहरण में उनका जाना–पहचाना संदर्भ उपयोग करना चाहिए।) अगले चरण में यह तय किया जाएगा कि कौन से चर संबंधित हैं और किस तरह से, और गतिविधि 2 में यह बताया गया है कि इसे अपने विद्यार्थियों के साथ कैसे करें।
गतिविधियों 1 और 2 में, आप और आपके विद्यार्थी सोचेंगे कि किसी मॉडल का सरल संस्करण कैसे बनाया जाए; ध्यान दें कि एक ही सही या गलत उत्तर नहीं है। ये कार्य विशेष रूप से उन विद्यार्थियों के लिए बेहतर काम करते हैं, जो युग्म या छोटे समूहों में काम करते हैं, क्योंकि इससे अधिक विचार तैयार होते हैं और अटकने पर विद्यार्थी मानवीय सहायता प्रदान कर सकते हैं।
इस यूनिट में अपने विद्यार्थियों के साथ गतिविधियों के उपयोग का प्रयास करने के पहले अच्छा होगा कि आप सभी गतिविधियों को पूरी तरह (या आंशिक रूप से) स्वयं करके देखें। यह और भी बेहतर होगा यदि आप इसका प्रयास अपने किसी सहकर्मी के साथ करें क्योंकि जब आप अनुभव पर विचार करेंगे तो आपको मदद मिलेगी। स्वयं प्रयास करने से आपको शिक्षार्थी के अनुभवों के भीतर झांकने का मौका मिलेगा, जो परोक्ष रूप से आपके शिक्षण और एक शिक्षक के रूप में आपके अनुभवों को प्रभावित करेगा। जब आप तैयार हों, तो अपने विद्यार्थियों के साथ गतिविधियों का उपयोग करें। पाठ के बाद, सोचें कि गतिविधि किस तरह हुई और उससे क्या सीख मिली। इससे आपको सीखने वाले विद्यार्थियों पर ध्यान केंद्रित रखने वाला अधिक शैक्षिक वातावरण बनाने में मदद मिलेगी।
गतिविधि 1: स्थिरांक और चरों को पहचानना
अपने विद्यार्थियों को निम्न बताएँ:
- कल्पना करें कि आप एक व्यावसायिक (professional) गणितज्ञ हैं और आप दिल्ली में नेहरू प्लेस की गतिकी की व्याख्या के लिए एक गणितीय मॉडल तैयार करने पर काम कर रहे हैं। आपको पहले नेहरू प्लेस में भूमिका अदा करने वाले सभी चर (बदलने वाली मात्राएँ) और स्थिरांक (न बदलने वाली मात्राएँ) पहचानने होंगे।
इस व्यवस्था में सभी ‘खिलाड़ियों’ या ‘तत्वों’ की सूची बना लें। कुछ उदाहरण पहले तल पर कार पार्किंग, हॉकर या दुकानों की संख्या हो सकते हैं।
जब आपके विद्यार्थी कुछ विचार तैयार कर लें, तो बोर्ड पर नीचे सूची में लिख लें:
कितनी संख्या में है।:
- कॉम्पलेक्स की सुरक्षा में नियुक्त पुलिस विभाग में काम करने वाले पुरुष और महिलाएँ
- कार पार्किंग
- कॉम्पलेक्स के नागरिक रखरखाव में नगर निगम द्वारा नियुक्त लोग
- पार्किंग लॉट कर्मी
- हॉकर
- एस्केलेटर
- दुकान स्वामी जिनकी दुकान प्रथम तल पर है
- तल पर मौजूद रेस्टोरेंट स्वामी
- बिजली आपूर्ति कंपनियाँ
- लैपटॉप खरीदना चाहने वाले आंगतुक।
अब अपने विद्यार्थियों को बताएँ:
- इस सूची में इस संदर्भ में ‘खिलाड़ियों’ या ‘तत्वों’ के कुछ और उदाहरण दिए गए हैं। इस सूची और अपने उदाहरणों के बीच, तय करें कि कौन से चर (बदलने वाली मात्रा) हैं और कौन से स्थिरांक (न बदलने वाली मात्रा) हैं। क्या इनमें से कोई दोनों होगा? यदि ऐसा है, तो यह किसपर निर्भर करेगा?
गतिविधि 1 में विद्यार्थियों से नेहरू प्लेस में चरों और स्थिरांकों को पहचानने के लिए कहा गया। गणितीय मॉडल बनाने के लिए, अब विद्यार्थियों को सोचना होगा कि किस प्रकार ये स्थिरांक और चर एक–दूसरे को कैसे प्रभावित करते हैं और उनसे कैसे संबंधित हैं।
गतिविधि में विद्यार्थियों को दिमागी नक्शा बनाने को कहा जाता है। दिमागी नक्शा आमतौर पर अवधारणा (नोड के रूप में) को दर्शाने वाली शब्दों या वाक्यांशों की एक श्रृंखला, और एक रेखा (या लिंक) जो इसे अन्य अवधारणा से जोड़ती है, जो दोनों का संबंध व्यक्त करता है। अवधारणा नक्शा दिमागी नक्शे के समान होता है, बस यह अंतर होता है कि दिमागी नक्शे में एक केंद्र होता है, जबकि अवधारणा नक्शा रैखिक हो सकता है। दिमागी नक्शा एक अच्छा औजार है और विद्यार्थियों की उनकी समझ का अन्वेषण करने और समीक्षा करने में उनकी मदद करने की एक प्रभावी रणनीति है; इसे यह पता करने के लिए एक मूल्यांकन औजार के रूप में भी उपयोग किया जा सकता है कि विद्यार्थी क्या जानते हैं और उनकी गलतफहमियाँ क्या हैं। गतिविधि 2 में कोई सही या गलत उत्तर नहीं हैं।
गतिविधि 2: बीजगणितीय व्यंजकों का विकास
- अपने विद्यार्थियों के साथ, कल्पना करें कि आप एक व्यावसायिक (professional) गणितज्ञ हैं और आप दिल्ली में नेहरू प्लेस की गतिकी की व्याख्या के लिए एक गणितीय मॉडल तैयार करने पर काम कर रहे हैं। आपने अपने चर (बदलने वाली मात्रा) और स्थिरांक (न बदलने वाली मात्रा) को पहले ही पहचान लिया है जो नेहरू प्लेस में भूमिका अदा करते हैं।
- अगला चरण यह पहचानना है कि किस प्रकार चर एक – दूसरे से और स्थिरांकों से किस प्रकार संबंधित हैं। इसे प्रबंधित करने योग्य रखने के लिए , विद्यार्थियों के प्रत्येक समूह को यह तय करना चाहिए कि किन चार चरों पर वह ध्यान देंगे। अब अपने विद्यार्थियों को यह बताएँ :
- इन चरों का दिमागी नक्शा बनाएँ और इन विचारों को जोड़ते हुए पंक्तियाँ लिखें कि आपके अनुसार वे कैसे संबंधित हो सकते हैं। दिमागी नक्शे में कुछ स्थिरांक जोड़ें, यदि आप समझते हैं कि वे संबंध में एक भूमिका निभाते हैं। याद रखें कि इसके लिए कोई सही या गलत जवाब नहीं है! उदाहरण के लिए, आप यह सोच सकते हैं कि इस बात को ध्यान में रखते हुए पुलिस अधिकारियों की संख्या बदलनी चाहिए कि किसी समय पर कितने आगंतुक (खरीदार) मौजूद हैं, या दुकानों या कारों की संख्या के आधार पर।
- अब तय करें कि आपके समूह द्वारा ऊपर बताए संबंधों में आप किन परिमाणकों का उपयोग करेंगे। इसे गणितीय व्यंजक के रूप में लिखें। उदाहरण के लिए, आप यह कह सकते हैं कि आपको हर दस दुकानों 100 आगंतुकों या 50 कारों के लिए एक पुलिस अधिकारी लगेगा; इस स्थिति में आप पुलिस अधिकारियों की संख्या के मॉडल को इस प्रकार लिख सकते हैं: s/10 + v/100 + c/50। याद रखें कि कोई सही या गलत जवाब नहीं है!
- जब विद्यार्थी कुछ गणितीय व्यंजक तैयार कर लें, तो उन्हें उनकी मॉडलिंग के लिए कुछ संभावित परिणाम सोचने के लिए कहें। उन्हें यह करने को कहें:
इन चरों के लिए मानों की श्रेणी का अनुमान लगाएँ। जिन स्थितियों में आपको श्रेणी का अनुमान लगाने में परेशानी आए, परेशानी के कारणों को पहचानें। उदाहरण के लिए, एस्केलेटर की संख्या एक से कम नहीं हो सकती, क्योंकि आपके पास आधा एस्केलेटर नहीं हो सकता। आपके पास अनंत एस्केलेटर भी नहीं हो सकते, क्योंकि वे अत्यधिक स्थान लेते हैं। एस्केलेटर की अधिकतम संख्या का अनुमान लगाना कठिन है,, क्योंकि यह कई कारणों पर निर्भर करेगा।
- तय करें कि किन चरों को आप आसानी से नियंत्रित कर सकते हैं? किसी चर को नियंत्रित करने का अर्थ यह हो सकता है कि इसकी श्रेणी को सीमित किया जा सकता है या यह कि इसके मान को स्थिति को बहुत प्रभावित किए बिना स्थिर किया जा सकता है।
- गतिविधि के अंत में, पूरी कक्षा को इस बिंदु के बारे में चर्चा करने को कहें: वास्तव में, मॉडलिंग में उपयोग किए जाने वाले परिमाणक आँकड़ों पर आधारित होंगे। यदि आपको इसे संगठित करना होता, तो आप किस प्रकार सूचना एकत्रित कर पाते?
केस स्टडी 1: श्रीमती अपराजिता गतिविधि 1 के बारे में अपने अनुभव बताती हैं
यह एक अध्यापिका की कहानी है, जिसने अपने माध्यमिक कक्षा के विद्यार्थियों के साथ गतिविधि 1 और 2 को आजमाया।
- मैं यह गतिविधियाँ अपने विद्यार्थियों के साथ करना चाहती थी, क्योंकि मैंने सोचा कि गणित को वास्तविक जीवन में देखने और संगठित करने का यह एक सुंदर उदाहरण था। पहले हमने पूरी कक्षा के साथ कुछ उदाहरण सोचे। मैंने सीधे उनसे इन्हें चरों और स्थिरांकों में अलग–अलग करने को कहा। इस प्रारंभिक चर्चा ने उन्हें सजग कराया कि यह निर्धारित करना हमेशा आसान नहीं होता। उदाहरण के लिए कार पार्किंग की संख्या को स्थिरांक माना जा सकता है; हालाँकि, यदि आपने लंबे समय से परिस्थिति को देखा है – उदाहरण के लिए दो वर्षों से – तो यह चर बन सकता है, क्योंकि सैद्धांतिक रूप से, यदि स्थान और पैसा होता तो अधिक कार पार्किंग बनाई जा सकती थीं।
- अधिक उदाहरण ढूँढने और यह कारण सोचने के लिए उन्होंने युग्मों में काम किया कि कब व क्यों उदाहरण चर था और कब स्थिरांक। उनके उदाहरणों और वर्गीकरणों को ब्लैकबोर्ड पर लिखा गया। इनका उपयोग फिर गतिविधि 2 पर कार्य करने के लिए किया गया: इस बारे में सोचना कि वे एक–दूसरे से कैसे संबंधित हैं और इसे व्यंजकों के रूप में लिखकर और गुणांकों का निर्णय करके गणितीय रूप में रिकॉर्ड कैसे करें। एक विद्यार्थी ने कहा कि उसने किसी अनुपात को प्रदर्शित करने के लिए गुणांकों पर कभी विचार नहीं किया और यह कि अब उसे अचानक यह समझ आ गया कि व्यंजकों के साथ काम करते समय ये नियम क्यों होते हैं।
- पहली बार, विद्यार्थियों को यह विचार असहज लगा कि इसमें कोई भी सही या गलत उत्तर नहीं हो सकता। हालाँकि, समान चरों और स्थिरांकों वाले संभावित व्यंजकों के बारे में कुछ विचार साझा करने के बाद, वे यह देख पाए कि यह ऐसा क्यों था और वे अपने उत्तरों में अधिक रचनात्मक बने।
- चूँकि मैं वास्तव में इन गतिविधियों द्वारा विद्यार्थियों को यह बताना चाहती थी कि वास्तविक जीवन में गणित को कैसे देखा और पहचाना जा सकता है, इसलिए मैंने गृहकार्य में उन्हें रात में उनके सामने आने वाली किसी स्थिति के साथ यही बात करने को कहा। उदाहरण के लिए, बस स्टॉप पर प्रतीक्षा करते समय, परिजनों के साथ भोजन करते समय या अपना गृहकार्य करते समय चरों और स्थिरांकों को पहचानना और यह देखना कि वे एक–दूसरे से कैसे संबंधित हैं।
आपके शिक्षण अभ्यास के बारे में सोचना
अपनी कक्षा के साथ ऐसा कोई अभ्यास करने पर बाद यह सोचें कि क्या ठीक रहा और कहाँ गड़बड़ी हुई। ऐसे सवाल की ओर ध्यान दें, जिसमें विद्यार्थियों की रुचि दिखाई दे और वे आगे बढ़ते हुए नजर आएं और वे जिनका स्पष्टीकरण करने की आवश्यकता हो। ऐसे चिंतन से वह ‘स्क्रिप्ट’ मिल जाती है, जिसकी मदद से आप विद्यार्थियों के मन में गणित के प्रति रुचि जगा सकते हैं और उसे मनोरंजक बना सकते हैं। अगर विद्यार्थियों को समझ नहीं आ रहा है और वे कुछ नहीं कर पा रहे हैं, तो इसका मतलब है कि उनकी इसमें सम्मिलित होने की रुचि नहीं है। जब भी आप गतिविधियां करें, इस चिंतनशील अभ्यास का उपयोग करें यह ध्यान देते हुए, जैसे श्रीमती अपराजिता ने किया, कि कुछ छोटी–छोटी चीजों से काफी फर्क पड़ता है।
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आप इस इकाई में क्या सीख सकते हैं