2 संभावनाओं के बारे में सोचने के लिए प्रतिस्थापन का उपयोग करना
प्रतिस्थापन एक सशक्त और आवश्यक चिंतन औजार है। वास्तविक जीवन में, प्रतिस्थापन का उपयोग निरंतर होता है: उदाहरण के लिए, कल के भोजन से अलग तरह का भोजन बनाने के लिए यह तय करना कि आज के भोजन में कौन सी जड़ी बूटी और मसाले उपयोग किए जाएँ; परिवहन का कौन सा साधन उपयोग करें (क्या आप पैदल चलेंगे, या रिक्शा या बस लेंगे?), या कौन सी साड़ी पहनें। प्रतिस्थापन में संभावनाओं और विकल्पों के साथ–साथ सीमाओं पर भी विचार करना शामिल है। उदाहरण के लिए, अपनी ड्रेस बदलते समय रेशमी साड़ी को कैल्क्यूलेटर से बदलना बहुत ठीक नहीं होगा, लेकिन इस बात के लिए ठीक हो सकता है कि आप अपने पैसे कहाँ खर्च करेंगे। प्रतिस्थापन इसलिए आनन्ददायक जीवन हेतु परिवर्तन की सुविधा देता है।
गणित में प्रतिस्थापन की चितंन प्रक्रिया वास्तविक जीवन के ही समान है। इसमें उदाहरणों, विकल्पों और संभावनाओं पर विचार करने के साथ–साथ सीमाओं और प्रतिबंधों से अवगत रहना शामिल है।
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प्रतिस्थापन के साथ काम करते समय शिक्षण के अवसर
गणित में अपने अध्ययन के लिए विद्यार्थियों को प्रतिस्थापन का कौशल सीखना होगा – अभ्यास पुस्तक के कई अभ्यास और समस्याओं में विद्यार्थियों को यह कौशल दिखाने को कहा जाता है।
विद्यार्थियों को प्रतिस्थापन वाले सवाल हल करने के लिए देने से गणित सीखने के वे अन्य अवसर भी प्राप्त होते हैं, जो बहुत स्पष्ट नहीं होते, लेकिन जो समान महत्वपूर्ण और लाभप्रद होते हैं। इनमें से कुछ, जिन पर आगे खोजबीन होगीं।
- किसी बीजगणितीय व्यंजक का मतलब समझने के लिए कहानियाँ बनाकर गणितीय व्यंजकों को जीवंत बनाने के लिए प्रतिस्थापन एक औजार है। गतिविधि 3 इसका एक उदाहरण है।
- प्रतिस्थापन किसी विशिष्ट संख्यात्मक उदाहरण को व्यापक बनाने का एक औजार है। गतिविधि 4 इसका एक उदाहरण है।
- गणितीय संबंध, गुणधर्म और सीमाएँ पता करने के लिए प्रतिस्थापन। गतिविधि 4 में इसके कुछ उदाहरण हैं।
कल्पनाशीलता के विकास के लिए प्रतिस्थापन का उपयोग करना।
बीजगणित और इसके व्यंजकों को अक्सर गणित की भाषा माना जाता है, क्योंकि वे संबंध बताते हैं। बीजगणितीय व्यंजकों में फेरबदल पर पाठ्यपुस्तक से कई पृष्ठ का अभ्यास करते समय, विद्यार्थियों को इसे भावपूर्ण भाषा के रूप में न पहचानने के लिए माफ किया जा सकता है।
अगली गतिविधि का लक्ष्य बीजगणितीय व्यंजकों को पढ़ने में कुछ आनंद प्रस्तुत करना है। इसमें विद्यार्थियों को इस बारे में अपनी स्वयं की कहानियाँ बताने के लिए कहा जाता है कि व्यंजक का क्या अर्थ होता है और यह कौन सी स्थिति बताता है। इसका अर्थ है कि प्रतीकों को किसी वर्णन या कहानी से प्रतिस्थापित करके विद्यार्थियों को प्रतीकात्मक गणित को अर्थ देने को कहा जाता है। उदाहरण के लिए:
- व्यंजक लोगों के किसी समूह (x) के बारे में हो सकता है, जो समान संख्या में कई बसों (n) में सवार हुए। कुछ लोग देर से आए और हर बस को अन्य तीन लोगों को बैठाना पड़ा।
- व्यंजक 1.3(2100m), व्यंजक 1.3 [3(700)m] से आया हो सकता है और उन 700 अंतरिक्ष एलियन के बारे में हैं, जो उदयपुर में उतरे हैं। वे पहली बार भारत आए हैं। उन्होंने देखा कि यहाँ चाय नाम का एक पेय लोगों को बहुत पसंद है , जो 1 रु. प्रति कप मिलता है। उन्होंने चाय पी जो उन्हें इतनी पसंद आई कि हर एक ने तीन–तीन कप पी। वे चाय की गुणवत्ता और चायवाले की सेवा से इतने खुश हुए कि पैसे देते समय उन्होंने 30 प्रतिशत टिप दी।
गतिविधि 3: इसका क्या मतलब हो सकता है।
अपने विद्यार्थियों को निम्न बताएँ।
यहाँ पर पाठ्यपुस्तक से लिए गए कुछ बीजगणितीय व्यंजक दिए गए हैं:
- 30u + 44v
- 3x +1
अपनी कल्पनाशीलता का उपयोग करें और एक कहानी बनाएँ कि हर व्यंजक का क्या मतलब हो सकता है। व्यंजक किस स्थिति को दिखा रहा हो सकता है? यह और किस बारे में हो सकता है?
आप मुख्य संसाधन ‘कहानी कहना, गीत, रोल–प्ले और नाटक’ पर भी एक नजर डालना चाह सकते हैं।
केस स्टडी 2: गतिविधि 3 के उपयोग का अनुभव श्रीमती कपूर बताती हैं
- किसी व्यंजक को फिट करने के लिए किसी वास्तविक कहानी के बारे में सोचना मुझे खुद भी आसान नहीं लगा। लेकिन मैंने पाया कि बस में सवार लोगों और अत्यधिक चाय पीने वाले एलियन के बारे में दिए गए उदाहरणों ने मेरी वास्तव में मदद की और अन्य उदाहरण सोचने के लिए मुझे अधिक स्वतंत्रता और रचनात्मक रूप से सोचने का अवसर दिया। मैंने यह तय किया कि चूँकि इसने मेरे लिए बहुत अच्छा काम किया, मैं इसे आगे बढ़ाकर अपने विद्यार्थियों के साथ इसी तरीके का उपयोग करूँगी। इसलिए मैंने ब्लैकबोर्ड पर बस और एलियन की कहानियों के बारे में लिखते हुए गतिविधि की शुरुआत की, उन्हें कहानी के बारे में सोचने को कुछ समय (बहुत ज्यादा नहीं) दिया और फिर कक्षा के साथ साझा किया।
- फिर मैंने गतिविधि 3 के व्यंजकों को ब्लैकबोर्ड पर लिखा। राहुल ने तुरंत सोचा कि व्यंजक 3x + 1 इस बारे में कहानी बता सकता है कि तीन कप चाय बनाने की लागत क्या होगी: पानी और चाय के लिए x रुपए, और किसी चीज़ के लिए 1 रुपए स्थिर लागत। कुछ विद्यार्थी सहमत हुए और कुछ नहीं, लेकिन बाद में हुई चर्चा रोचक थी। इससे मुझे महसूस हुआ कि चर्चा शुरू करने के लिए एकदम सही उत्तरों के बजाय थोड़े गलत उदाहरण के साथ काम करना ज्यादा प्रभावी होता है।
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1 वास्तविक जीवन के संदर्भ में चर और स्थिरांक