3 गलतफहमियाँ पता करने के लिए सामान्यीकरण का उपयोग करना
जब आपको 2(3 – 8) जैसे व्यंजक दिखाई दें, तो आप तुरंत देख सकते हैं कि इसे (2 × 3) – (2 × 8) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है क्योंकि यह बंटन के नियम का एक उदाहरण है जहाँ a(b – c) = a × b – a × c है।
ऐसे पैटर्न और सामान्यीकरण का पता लगाना गणित में मददगार होता है क्योंकि इससे समस्याओं का समाधान करना आसान हो जाता है। नकारात्मक पक्ष यह है कि कभी–कभी आपको कुछ पैटर्न दिखाई देगा और इसलिए आप इसे सामान्यीकृत कर देंगे, जबकि वास्तव में यह एक विशेष स्थिति है और केवल कुछ ही परिस्थितियों में सही होगी। अगली गतिविधि आपको संख्यात्मक व्यंजकों से सामान्यीकृत बीजगणित लिखने के कुछ उदाहरण देती है।
गतिविधि 4: विशिष्ट को सामान्यीकृत रूप से प्रतिस्थापित करना
अपने विद्यार्थियों को निम्न बताएँ:
- नीचे वे व्यंजक और समीकरण दिए गए हैं जो बीजगणितीय व्यंजकों और समीकरणों द्वारा अपनाए जा सकने वाले सामान्यीकृत रूप के उदाहरण हैं। इनमें से कुछ समीकरण हैं, न कि केवल व्यंजक – सुनिश्चित करें कि आपको अंतर पता हैं।
- 2 (3 – 8)
- 12 + (13 + 81) = (12 + 13) + 81
- 2 + 2 = 2 × 2
- (–7) = 7
- 42 + 0 = 42
- 23 × 1 = 23
- 120 का 5 प्रतिशत
- (12 + 51)/(12 × 51)
- 2 + 3 = 3 + 2
- इनके लिए सामान्य बीजगणितीय व्यंजक या समीकरण लिखें। उनमें से कुछ के एक से अधिक हल हैं, इसलिए खोज़ी बनें!
- क्या ये हमेशा सत्य होंगे? क्या आप यह कह सकते हैं कि वे किसी भी संख्या के लिए मान्य होंगे?
आप मुख्य संसाधन ‘निगरानी करना और फीडबैक देना’ पर भी एक नजर डाल सकते हैं।
केस स्टडी 3: श्रीमती अग्रवाल गतिविधि 4 के उपयोग के बारे में बताती हैं
मोहित ने तुरंत पकड़ा कि पहला व्यंजक, 2 (3 – 8) घटाव पर बंटन गुणधर्म का एक उदाहरण था, और उसके अनुसार यह संख्या के किसी भी मान के लिए सही रहेगा। उसने सामान्य रूप को a(b – c) = a × b – a × c के रूप में बताया।
उदाहरण 2 + 2 = 2 × 2 से एक रोचक चर्चा निकली और सूचकांकों के बारे में और इस बारे में कि ‘की घात’ का क्या अर्थ होता है, कुछ गलतफहमियाँ सामने आईं जब रीमा ने कहा कि ‘= 22’ को उस समीकरण में जोड़ा जा सकता है। प्रश्न 6 और 7 में विद्यार्थियों ने सर्वसमिका के बारे में सोचा और कुछ इस बात से आश्चर्यचकित थे कि ये सभी संक्रियाओं के लिए समान नहीं थे – अंतगणितीय उदाहरणों के साथ काम करते समय वास्तव में उन्हें इस बारे में पता था लेकिन सामान्यीकृत रूप उपयोग करते समय शायद वे इसे भूल गए!
- हालाँकि यह कार्य आजमाकर मैं खुश थी, लेकिन मुझे इस बात का अंदाजा नहीं था कि इससे मुझे विद्यार्थियों की इतनी गलतफहमियों का पता चलेगा। मैं अभी भी यह सोच रही हूँ कि इस गतिविधि ने ऐसा क्यों होने दिया। क्या यह चर्चा थी, या ‘साधारण’ उदाहरण? पाठ्यपुस्तक से अभ्यास करते समय यह इतना क्यों नहीं हुआ? जब मैं कक्षा में अपने विद्यार्थियों का मूल्यांकन करने के तरीकों के बारे में सोचती हूँ, तो मुझे याद रखना चाहिए, कि ऐसे कार्यों का उपयोग करना, जो विद्यार्थियों को किसी असामान्य लेकिन आवश्यक रूप से कठिन संदर्भ में नहीं हैं और लागू करने के लिए कहते हैं, जो उन्हें पता है, तो मुझे उनके ज्ञान को स्पष्ट रूप से मूल्यांकित करने की सुविधा देती है।
 विचार के लिए रुकें
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2 संभावनाओं के बारे में सोचने के लिए प्रतिस्थापन का उपयोग करना