2 गणित समझने के लिए संबंध जोड़ना

यह एक शिक्षिका की कहानी है, जिसने अपने माध्यमिक कक्षा के विद्यार्थियों के साथ गतिविधि 1 का प्रयास किया।

मैंने विद्यार्थियों को चार के समूहों में विभाजित किया, ताकि वे परस्पर सहायता कर सकें और उन्हें विचारों के समृद्ध संग्रहण का अधिक मौका़ मिल सके। मैंने प्रत्येक समूह के विद्यार्थियों के नाम के साथ दीवार पर नोटिस चिपका कर, उन्हें समूहों में व्यवस्थित किया। मैंने विद्यार्थियों के प्रत्येक समूह में ऐसे विद्यार्थियों का मिश्रण रखने का प्रयास किया, जो गणित सीखने के प्रति आश्वस्त थे और ऐसे विद्यार्थी भी जो उतना आश्वस्त नहीं थे। मेरा उद्देश्य था कि अधिक आत्मविश्वास वाले विद्यार्थी दूसरों की सहायता करेंगे।

पूर्ण संख्या के मामले में विद्यार्थियों ने बड़ी आसानी से गुणनखंडों को पा लिया, लेकिन व्यंजकों से जुड़ी संख्याओं के बारे में काफी़ बहस हुई। यह अधिकांश समूहों में हुआ, इसलिए मैंने सोचा कि पूरी कक्षा के सामने इन प्रश्नों पर चर्चा करना सहायक हो सकता है। पहले मैंने उनसे पूरी कक्षा के लिए एक छोटा प्रस्तुतिकरण तैयार करने के लिए कहा; ये रहा उसका परिणामः

• उन्होंने काफ़ी सटीकता से 60 के गुणनखंड के रूप में 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 तथा 60 की पहचान की – हालाँकि कुछ समूह उनमें से कुछ चूक गए थे, पर उन्होंने चूकने वाली संख्याओं को जल्दी से लिख लिया। इससे चर्चा होने लगी कि उन्हें व्यवस्थित होने की ज़रूरत है, और व्यवस्थित होने में कौन–सा दृष्टिकोण सहायक हो सकता है।
• दूसरे प्रश्न में, कुछ समूहों ने केवल तीन गुणनखंडों को पहचानाः 3 XY, 3, तथा X और Y .
• कई समूह अभाज्य गुणकों को नोटिस करने और यह समझाने में काफ़ी अच्छे रहे कि ये विशेष हैं, क्योंकि इन्हें केवल स्वयं द्वारा या 1 से विभाजित किया जा सकता है।

मैं वाक़ई चाहती थी कि विद्यार्थी संख्याओं और व्यंजकों के गुणनखंडों के बीच समानताओं को नोटिस करें। पहले क़दम के रूप में मैंने पूछा, ‘किस तरह भाज्य गुणक, अभाज्य गुणकों से अलग हैं?’

वे इससे थोड़ा चकित हो गए, इसलिए मैंने कहा, ‘ठीक है, उदाहरण के रूप में 60 के गुणनखंडों को देखो। अब अपना वाक्य इस प्रकार शुरू करो कि: ”भाज्य गुणक अलग हैं क्योंकि …“.–’ इसका उत्तर देने के लिए कई विद्यार्थी स्वेच्छा से आगे आए, लेकिन वह न तो स्पष्ट और ना ही संक्षिप्त लग रहा था – जो मेरे विचार में अच्छी चर्चा या शिक्षण को प्रोत्साहित नहीं करेगा। मैंने उन्हें ‘बोलने का ढाँचा’ देने का निर्णय लिया, जैसे कि भाषा शिक्षण में कभी–कभी लेखन ढाँचा दिया जाता है। इसलिए मैंने उनसे कहा, ‘पहले अपने साथी को सुनाने का प्रयास करो और फिर मैं तुमसे पूरी कक्षा को सुनाने के लिए कहूँगी।’

उन्होंने कुछ मिनटों के उस प्रकार एक दूसरे के अपनी सोच को शब्दों में ढालने का अभ्यास किया। मैंने यह भी नोटिस किया कि उनमें से कुछ अपनी कही हुई बात को अपनी अभ्यास पुस्तिकाओं में लिख रहे थे, शायद इसलिए कि पूछे जाने पर यह न भूलें कि उन्हें क्या कहना है। लग रहा था कि बोलने के ढाँचे ने वाक़ई उनकी मदद की, क्योंकि जब उनके वाक्यों को साझा करने की बारी आई, तब उनके जवाब स्पष्ट और संक्षिप्त थे और उन्होंने सटीक तरीक़े से गणितीय भाषा का उपयोग किया। वे यह नोटिस करने और अभिव्यक्त करने में कामयाब रहे कि भाज्य गुणक ऐसी संख्या हैं, जिन्हें आगे अन्य संख्याओं के गुणनफलों में विघटित किया जा सकता है, जब तक कि केवल अभाज्य गुणकों का उपयोग न किया जाए। मुझे बेहद ख़ुशी हुई! लेकिन उन्होंने अभी भी इस प्रकार के गुणनखंडों और व्यंजकों के गुणनखंडों के बीच संबंध नहीं जोड़ा था।

मेरे मन में पहला विचार बस यह आया कि उन्हें बता दूँ – मेरा ज्ञान उनमें बाँट दूँ। लेकिन वे इतने उत्साह से भरे और अपने विचार बताने के लिए पूरी तरह मग्न थे कि मैं उन्हें बता नहीं पाई। मैं चाहती थी कि वे स्वयं हल ढूँढ़ें, और स्वयं पता लगाने – गणितीय संरचनाओं और उनके संबंधों की सुंदरता को देखने का आनंद महसूस करें। लेकिन मैं कौन से सवाल पूछ सकती थी, ताकि वे संख्याओं के गुणनखंड और व्यंजकों के गुणनखंडों के बीच के संबंध के बारे में जान सके? मेरे मन में कई सवाल और दृष्टिकोण उभरे, लेकिन वे काफी़ जटिल थे, या फिर ‘उन्हें बताना कि वे क्या हैं’ वाले छिपे सवाल! क्या होगा अगर मैं उन्हें बता देती कि मैं वाक़ई उनसे क्या करवाना चाहती थी? इसलिए मैंने कहाः

और उन्होंने 3xy के नामौजूद गुणनखंडों को ढूँढ़ ही लिया। उन्होंने 3x⁴ – 27x² के लिएः उसे 3x²(x² – 9) के रूप में पुनः लिखते हुए और फिर गुणनखंडों की 3, x, x², (x²−9), x(x² − 9), x²(x² − 9) तथा 3x²(x² − 9) के रूप में पहचान करते हुए, गुणनखंडों को पा ही लिया।

केवल उसके बाद हम प्रयुक्त पद्धतियों के बारे में विचार करने के लिए आगे बढ़े। हमें वह अगले पाठ में करना पड़ा, क्योंकि हमारे पास समय नहीं बचा था। यह कोई समस्या नहीं थी, क्योंकि अगले पाठ में मैं वापस पिछले पाठ के बारे में सोचने के लिए उनसे कह सकी। मैंने उनसे अपनी अभ्यास पुस्तिकाओं को देखने के लिए कहा कि उन्होंने क्या किया था और उनकी क्या सोच रही थी, और फिर से अपने विचार दर्ज करने के लिए कहा। विधियों के विवरण समझने का कार्य सुगमता से संपन्न हुआ, शायद इसलिए कि हमने पहले ही उसके बारे में बहुत विचार किया था। हमने पूरी कक्षा के साथ विभिन्न विधियाँ साझा कीं, और यदि किसी विधि में कोई कमी थी या कोई विधि अधिक जटिल थी, तो उन्होंने परस्पर एक दूसरे को सुधारा। हमने दरअसल ‘श्रीमती कपूर की कक्षा में सुझाई गई विधि’ के साथ समापन किया, और उसे कागज़ के बड़े टुकड़े पर लिखा और फिर दीवार पर प्रदर्शित किया।