5 विश्वास दिलाने के लिए शिक्षण
तर्क–वितर्क और निगमन के औपचारिक नियम जिनका उपयोग गणितीय प्रमाण में किया जाता है, उन्हें विद्यालय स्तर पर सिखाना आसान नहीं है। प्रयुक्त भाषा एकदम अलग होती है और अवधारणाओं को अक्सर विद्यार्थियों के अनुभव की दुनिया से परे माना जाता है। कुछ हद तक यह आश्चर्यजनक है, क्योंकि विचार और निगमन ऐसा कौशल और शक्तियाँ हैं जो हम सभी के पास होती हैं, साथ ही विश्वास दिलाने के विभिन्न स्तरों के बारे में जानना, जो कि कठिन है।
अगली दो गतिविधियों का लक्ष्य विद्यार्थियों के उन कौशलों और अनुभवों का उपयोग करना है, जो उनके पास अपने विचारों को अधिक व्यवस्थित और औपचारिक बनाने के लिए हर दिन के विचारों से आते हैं। इस तरह से यह उन बातों पर आधारित होता है, जो विद्यार्थी पहले से जानते हैं और करते हैं। पहली वाली में यह पता करने के लिए कि क्या कथन मान्य है और कब मान्य है, ’हमेशा सत्य, कभी कभार सत्य या कभी सत्य नहीं’ के कार्य डिजाइन का उपयोग किया जाता है।
फिर इस गतिविधि के परिणामों का उपयोग अगली वाली में किया जाता है, जहाँ विद्यार्थी अपने विचार और तर्क–वितर्क में कठिनाई के भिन्न स्तरों पर काम करते हैं। यहाँ पर कार्य डिजाइन ’स्वयं को विश्वास दिलाएँ, मित्र को विश्वास दिलाएँ, रामानुजन को विश्वास दिलाएँ’ की विधि का उपयोग करती है।
जिन लोगों को विश्वास दिलाना है, उन्हें अलग करने से विद्यार्थियों को अधिक सटीक बनने में मदद मिलती है। स्वयं को विश्वास दिलाना अक्सर आसान होता हैः आप अनुभवसिद्ध साक्ष्य से खुश हो सकते हैं और प्रयुक्त भाषा ढीली और अस्पष्ट हो सकती है, क्योंकि इसकी जोर से व्याख्या करने की कोई आवश्यकता नहीं है। किसी मित्र को विश्वास दिलाने के लिए भाषा में अधिक सटीकता की आवश्यकता होती है, क्योंकि विचार को संचार और प्रयुक्त तर्कों की वैधता के लिए सुव्यवस्थित और शब्दों में व्यक्त होना चाहिए। हालाँकि आपका मित्र आपकी बात को अभी भी स्वीकार करने को इच्छुक हो सकता है, क्योंकि वे आपके मित्र हैं, यद्यपि वे आपको स्वयं से अधिक चुनौती दे सकते हैं। महान भारतीय गणितज्ञ रामानुजन को विश्वास दिलाने के लिए ठोस गणितीय औचित्य की आवश्यकता होगी, क्योंकि वे अपने तर्क–वितर्क से कमियाँ निकालने का प्रयास करेंगे। रामानुजन को विश्वास दिलाने के लिए तर्कों को स्वीकृत और स्थापित गणितीय कथनों पर आधारित होना चाहिए, क्योंकि केवल वही अविवादित हैं।
गतिविधि 4: हमेशा सत्य, कभी–कभी सत्य या कभी भी सत्य नहीं
तैयारी
नीचे दिए गए कथनों के लिए विद्यार्थियों के पास इन विषयों के बारे में कुछ ज्ञान होना आवश्यक है। उनको चुनें, जो आपकी कक्षा के लिए प्रासंगिक हों।
गतिवधि
अपने विद्यार्थियों को निम्न बताएँ:
- निम्न कथनों को पढ़ें। इनमें से कौन से हमेशा सत्य हैं, कभी–कभी सत्य हैं या कभी भी सत्य नहीं हैं? अपने साथी से अपने कारणों की चर्चा करें।
a.यदि p एक अभाज्य संख्या है, तो p + 1 एक संयुक्त संख्या होगी।
b.वृत्त की N जीवाएँ वृत्तीय क्षेत्र को N + 1 अनाच्छादित भागों में विभाजित करती है।
- c.यदि दो गोलों का आयतन समान है, तो वे गोले सर्वांगसम होंगे।
- d.किसी त्रिभुज का केंद्रक त्रिभुज के भीतर होता है।
- e.अभाज्य संख्याएँ अनंत होती हैं।
- अपने स्वयं के कुछ और कथन बनाएँ और उन्हें अपने साथी को दें। इनमें से कौन से हमेशा सत्य हैं, कभी–कभी सत्य हैं या कभी भी सत्य नहीं हैं?
गतिविधि 5: स्वयं को विश्वास दिलाएँ, अपने मित्र को विश्वास दिलाएँ, रामानुजन को विश्वास दिलाएँ
अपने विद्यार्थियों से कहें:
याद रखें कि रामानुजन आपके कारणों में कमियाँ निकालने का प्रयास करेगा।
- गतिविधि 4 को फिर से करें, लेकिन अपने साथी से अपने कारणों की केवल चर्चा करने के बजाए अब आपको औचित्य भी बताना होगा जोः
- आपको स्वयं को विश्वास दिलाए
- मित्र को विश्वास दिलाए
- रामानुजन को विश्वास दिलाए।
- कक्षा के साथ आपका सबसे अधिक विश्वास दिलाने वाला औचित्य साझा करें। क्या अन्य विद्यार्थी आपके तर्कों से सहमत हैं?
केस स्टडी 4: श्रीमती आशा गतिविधि 4 और 5 के उपयोग पर अपने अनुभव बताती हैं
मैंने गतिविधि 4 – इस बात पर चर्चा कि कोई कथन हमेशा, कभी–कभी सत्य होता है या कभी सत्य नहीं होता – को विद्यार्थियों को तीन और चार के समूहों में बाँटकर करने का निर्णय किया, क्योंकि मैंने सोचा कि इससे उन्हें और विचार एकत्र करने का अवसर मिलेगा। मैंने देखा कि इस स्थिति में तीन के समूहों ने बेहतर काम किया – वे एक–दूसरे के साथ अधिक जुड़े हुए थे – जबकि चार विद्यार्थियों के समूह में कुछ जुड़े हुए नहीं थे और केवल सुन रहे थे। गतिविधि 5 के लिए, मैंने उन्हें युग्म में काम करने को कहा ताकि हर बच्चे को अपना औचित्य बताने का अवसर और समय मिले। इन कामों के बारे में एक अच्छी बात यह है कि ये विद्यार्थियों को अपनी राय देने और औचित्य बताने के लिए बाध्य करते हैं, भले ही पहले वे केवल सुनने का ही काम कर रहे थे।
जब मैंने विद्यार्थियों से पूछा कि क्या स्वयं को, मित्र को, या रामानुजन को विश्वास दिलाते समय उनके तर्कों में कोई अंतर था, तो उन्होंने कहा कि कुछ स्थितियों में उन्हें अधिक सटीक और समग्र बनने की आवश्यकता हुई। हालाँकि कुछ अन्य स्थितियों में विद्यार्थियों ने महसूस किया कि वे अपने तर्क में कारण नहीं बता पाए क्योंकि उन्हें कोई कारण सूझा ही नहीं – उन्हें बस इतना पता था कि कथन सही है, क्योंकि मैंने पहले उन्हें यह बताया था! तार्किक प्रमाण तैयार करने में मदद कर सकने वाले चरण सोचने में मदद करने के लिए मैंने सोचा कि कक्षा में किसी के पास कोई सुझाव होगा और हो सकता है कि मेरे बजाय कोई विद्यार्थी इसे साझा करे तो वे अधिक आलोचनात्मक रूप से पेश आएँगे। मैंने समूहों से वे कथन बताने को कहा जिनके साथ यह हुआ था और अन्य विद्यार्थियों पूछा कि क्या उन्होंने कोई औचित्य बताया था। औचित्य को पूरी कक्षा को समझाया गया और मैंने सभी विद्यार्थियों से कहा कि औचित्य में उसी तरह कमियाँ निकालें जिस तरह कोई असली गणितज्ञ करता है। इसके बाद मैं उन विद्यार्थियों के पास वापस गई जो अटक गए थे और उन्होंने बताया कि चर्चा से उन्हें अपनी उलझन से निकलने में मदद मिली।
अपनी कक्षा में शिक्षण के लिए प्रश्नोत्तरी और बातचीत का उपयोग करने के बारे में अधिक जानकारी के लि, संसाधन 2 और 3 देखें।
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4 गणितीय गुणधर्मों के बारे में विद्यार्थियों को सोचने में मदद करने वाली कार्य डिजाइन