2 शब्द समस्याओं को पढ़ना और डिकोड करना

चित्र 1 समस्या का समाधान करना।

शब्द समस्याओं को ‘पढ़ने’ के लिए जानकारी को ’डिकोड’ करना होता है, ताकि समझा जा सके कि गणितीय प्रतिरूप क्या है और इसलिए समाधान प्रदान करने के लिए किन विचारों की आवश्यकता है। कुछ शब्द समस्याओं में अप्रासंगिक जानकारी होती है और कुछ में नहीं। अपने विद्यार्थियों के मस्तिष्क को इस बात के लिए प्रशिक्षित करना ज़रूरी है कि वे किसी शब्द समस्या में गणितीय जानकारी की प्रासंगिकता (या प्रासंगिकता के स्तर) को पहचान सकें।

इस प्रक्रिया के पहले ही चरण में विद्यार्थी को मुख्य शब्दों की पहचान करने के लिए समस्या पर नज़र डालनी होती है। तत्पश्चात् विद्यार्थी को निर्णय लेना होता है कि कौन सी जानकारी प्रासंगिक है और कौन सी नहीं। तत्पश्चात विद्यार्थी समस्या का समाधान करना शुरू करने के लिए समस्या को छोटे–छोटे हिस्सों में पुनर्संगठित करता है। हो सकता है कि आपके कुछ विद्यार्थी हमेशा किसी शब्द समस्या के सभी शब्दों को न समझ पायें, खासकर अगर यह उनकी प्रथम भाषा में नहीं लिखी गई है। आपको उन्हें गणित की समस्या हल करने का प्रयास करने का आत्मविश्वास जगाना होगा, भले ही वे सभी हिंदी या अंग्रेज़ी शब्दों के बारे में आश्वस्त न हों।

गतिविधि 1 में आपका फोकस अपने विद्यार्थियों के मस्तिष्क को इस बात के लिए प्रशिक्षित करने पर होता है कि प्रासंगिक जानकारी की पहचान कैसे करें और फिर शब्द समस्याओं के टुकड़े और छोटे हिस्सों में कैसे करें। यह गतिविधि तब विशेष रूप से कारगर होती है, जब विद्यार्थी जोड़ों या छोटे समूहों में काम करते हैं।

इस यूनिट में अपने विद्यार्थियों के साथ गतिविधियों के उपयोग का प्रयास करने के पहले अच्छा होगा कि आप सभी गतिविधियों को पूरी तरह (या आंशिक रूप से) स्वयं करके देखें। यह और भी बेहतर होगा यदि आप इसका प्रयास अपने किसी सहकर्मी के साथ करें क्योंकि जब आप अनुभव पर विचार करेंगे तो आपको मदद मिलेगी। स्वयं प्रयास करने से आपको शिक्षार्थी के अनुभवों के भीतर झांकने का मौका मिलेगा, जो परोक्ष रूप से आपके शिक्षण और एक शिक्षक के रूप में आपके अनुभवों को प्रभावित करेगा। जब आप तैयार हों, तो अपने विद्यार्थियों के साथ गतिविधियों का उपयोग करें। पाठ के बाद, सोचें कि गतिविधि किस तरह हुई और उससे क्या सीख मिली। इससे आपको सीखने वाले विद्यार्थियों पर ध्यान केंद्रित रखने वाला अधिक शैक्षिक वातावरण बनाने में मदद मिलेगी।

गतिविधि 1: मुख्य शब्द और समस्याओं के टुकड़े करना

अपने विद्यार्थियों से एक या दो अन्य विद्यार्थियों के साथ मिलकर काम करने को कहें। सुनिश्चित करें प्रत्येक विद्यार्थी किसी के साथ काम कर रहा है। फिर अपने विद्यार्थियों से कहें कि वे नीचे दी गई प्रत्येक शब्द समस्या को पढ़ें और उन मुख्य शब्दों या वाक्यांशों की सूची बनाएं, जो उन्हें समस्या हल करने में मदद कर सकते हैं। इसके बाद उन्हें समस्याओं को सूचनाओं के अधिक सरल टुकड़ों में बांट देना चाहिए।

  1. एक वर्गाकार उद्यान में किनारे–किनारे आठ फुट चौड़ी पैदल चलने की ट्रैक है। अगर उद्यान का एक किनारा दस मीटर लंबा है, तो हामिद द्वारा उद्यान के दो चक्कर लगाने पर तय की गई दूरी का पता लगाएं।
  2. कविता को उसके 16वें जन्मदिन पर उसके चाचा ने कुछ पैसे दिए थे। उसने इस पैसे से एक स्टोर से रु. 950 प्रति पैंट की दर से दो जीन्स खरीदीं जो 20 प्रतिशत छूट दे रहा था। खरीद के बाद उसके पास रु. 150 बचे हुए थे। उसके चाचा ने कितनी धनराशि दी थी?
चित्र 2 दुकान में सजे हुए जीन्स।
  1. रीता मंगलवार को रु. 280 में 3 किलो आम और 12 केले खरीदती हैं। उसी दुकान से तीन दिनों के बाद, राहुल रु. 300 में 2 किलो आम और 12 केले खरीदता है। वह समीकरण लिखिए जिससे 1 किलो आम और एक दर्जन केलों का दाम पता चल सके।

जब वे इसे पूरा कर लें, तब अपने विद्यार्थियों से इन प्रश्नों का उत्तर देने के लिए कहें:

  • आपके विचार से जो भी मुख्य शब्द या वाक्यांश उपयोगी हैं, उनके लिए इसका कारण बताइए।
  • आपको यह निर्णय लेने में किससे मदद मिली कि कौन सा आंकिक डेटा उपयोगी है और कौन सा नहीं? क्या आपसे कोई उपयोगी जानकारी छूटी?
  • क्या कोई ऐसी जानकारी थी, जिसे आपको ’उपयोगी’ या ’उपयोगी नहीं’ के रूप में वर्गीकृत करना मुश्किल था? आप इस जानकारी को कैसे स्वीकार या अस्वीकार करेंगे?
  • आपको किसी शब्द समस्या को सूचना के छोटे टुकड़ों में बांटने में क्या कठिन या आसान लगा?

  • क्या आपने मुख्य शब्दों की पहचान करने या टुकड़े करने से पहले उपरोक्त में से किसी समस्या का पूर्वानुमान किया था? पूर्वानुमान लगाना कैसे उपयोगी था?

पाठ की समाप्ति से पहले , विद्यार्थियों से कहें कि अपने उत्तरों को एकत्र करें और इस प्रकार की समस्याओं को हल करने के बारे में मिलकर अच्छे सामान्य विचार बनाएं।

केस स्टडी 1: गतिविधि 1 के उपयोग का अनुभव श्रीमती अनुपमा बताती हैं

यह एक शिक्षिका की कहानी है, जिसने अपने माध्यमिक कक्षा के विद्यार्थियों के साथ गतिविधि 1 का प्रयास किया।

मेरी कक्षा को शब्द समस्याओं में बहुत कठिनाई होती है। विद्यार्थी गणित के सवालों का जल्दी से उत्तर देना चाहते हैं, लेकिन शब्द समस्याएं हमेशा उन्हें धीमा कर देती हैं। चूंकि परीक्षाओं में शब्द समस्याओं का उत्तर देना अत्यधिक महत्वपूर्ण होता है, इसलिए मैंने शब्द समस्याओं को हल करने में अपने विद्यार्थियों की मदद करने के लिए कुछ समय निकालने का निर्णय लिया। सबसे पहले मैंने उनसे पूछा कि शब्द समस्याओं को हल करने में उन्हें किन कौशलों की आवश्यकता हैं। वे पहले तो इसका उत्तर नहीं दे सके, तो मैंने उनसे कहा कि वे जोड़े बनाकर प्रश्नों पर चर्चा करें। उनके उत्तर थे कि आपको निम्नलिखित करना चाहिएः

  • ध्यान से समस्या को पढ़ें
  • पहचानें कि संदर्भ क्या है और गणित हल करने के लिए क्या महत्वपूर्ण है

  • महत्वपूर्ण शब्दों, संख्याओं और जानकारी को नोट करें, हो सके, तो एक रेखाचित्र बनाकर उस पर जानकारी दर्ज करें
  • असंगत शब्दों और संख्याओं पर ध्यान न दें
  • सोचें कि इसे हल करने के लिए किस प्रकार की गणित का उपयोग होगा, फिर उसका अनुप्रयोग करें
  • जांच करके तय करें कि कौन सा उत्तर सही लगता है
  • इस प्रकार उत्तर दें जो पूछे गए प्रश्न से संबंधित लगे – जैसे मापन की उपयुक्त इकाइयों का प्रयोग करना।

तत्पश्चात् मैंने कक्षा से गतिविधि 1 में दी गई समस्याओं को देखने को कहा। वे केवल प्रश्नों का उत्तर देना चाहते थे, लेकिन मैं चाहता था कि वे प्रक्रिया के बारे में सोचें और समस्या के समाधान के लिए उन कौशलों का प्रयोग करें, जो हमने निकाले थे। इसलिए हमने मिलकर कविता द्वारा जीन्स की खरीददारी से संबंधित दूसरे प्रश्न को देखा।

तत्पश्चात् मैंने कक्षा से गतिविधि 1 में दी गई समस्याओं को देखने को कहा। वे केवल प्रश्नों का उत्तर देना चाहते थे, लेकिन मैं चाहता था कि वे प्रक्रिया के बारे में सोचें और समस्या के समाधान के लिए उन कौशलों का प्रयोग करें, जो हमने निकाले थे। इसलिए हमने मिलकर कविता द्वारा जीन्स की खरीददारी से संबंधित दूसरे प्रश्न को देखा।

पहले मैंने उनसे जानकारी को टुकड़ों में बांटने के लिए कहा। हमें महत्वपूर्ण जानकारी के ये टुकड़े मिलेः

  • कविता को कुछ धन दिया गया।
  • उसने दो जोड़ी जींस खरीदी।
  • जीन्स की प्रत्येक जोड़ी की कीमत है रु. 950.
  • उसके पास अब बचे थे रु. 150.
  • उसके चाचा ने कितनी धनराशि दी थी ?

फिर हमने हर चरण में शामिल गणित को देखा। मैंने कक्षा से कहा कि वे हर शब्द या वाक्यांश का अर्थ बताएं और और यह भी बताए कि यह किस गणितीय अर्थ को बताने क कोशिश कर रहा है। पहली बार मुझे उनकी मदद करनी पड़ी, लेकिन उसके बाद वे इसे समझ गएः

  • ‘कविता को कुछ धन दिया गया।’ यह ’अज्ञात’ है – माना कि यह x है।
  • ‘उसने दो जोड़ी जीन्स खरीदी।’ उसे जो भी खर्च करना है उसे x में से घटाना होगा।
  • ’जीन्स की प्रत्येक जोड़ी की कीमत रु. 950 है।’ अतः, उसने खर्च किए 2 × 950 = रु. 1900।

  • ’उसके पास अब रु. 150 बचे थे।’ इसे होना चाहिए x .1900।

  • ‘उसके चाचा ने कितनी धनराशि दी थी?’ यह x है।

जब हमने ऐसा कर लिया, तो विद्यार्थियों ने उसी ढंग से दो अन्य शब्द समस्याओं को भी हल किया, उन्हें छोटे टुकड़ो में बांटा और जो वे कर रहे थे, उसके गणितीय अर्थों को लिखने की कोशिश की। उन्हें बहुत जल्द ही समझ आ गया कि पहले प्रश्न का उत्तर देने के लिए उनको यह जानना होगा कि हामिद रास्ते पर कहां चल रहा था, और मापन फीट तथा मीटर में थे, इसलिए कुछ रूपांतरण करने की आवश्यकता होगी। तीसरे प्रश्न पर यह विवाद भी हुआ कि क्या इस बात से कोई फर्क पड़ता है कि दुकान पर दो बार जाने के बीच तीन दिनों का अंतर था, इसलिए हमने शब्द समस्याओं में अप्रासंगिक सूचनाओं के बारे में चर्चा की।

गृहकार्य के लिए मैंने विद्यार्थियों से कहा कि वे मज़े के लिए खुद कुछ ऐसी शब्द समस्याएं बनाएं, जिनमें कुछ अच्छा गणित और कुछ ऐसी अप्रासंगिक सूचनाएं हों, जो बिल्कुल स्पष्ट न हों।

अधिक विचारों के लिए संसाधन 2, ’जोड़ी में किए कार्य का उपयोग करना’ को पढ़ें।

आपके शिक्षण अभ्यास के बारे में सोचना

जब आप अपनी कक्षा के साथ ऐसी कोई गतिविधि करें, तो बाद में सोचे कि क्या ठीक रहा और कहाँ गड़बड़ हुई। ऐसे सवाल की ओर ध्यान दें, जिसमें विद्यार्थियों की रुचि दिखाई दी और वे आगे बढ़ते हुए नजर आएं और वे जिनका स्पष्टीकरण करने की आवश्यकता थी। ऐसी बातें ऐसी ’स्क्रिप्ट’ पता करने में सहायक होती हैं, जिससे आप विद्यार्थियों में गणित के प्रति रुचि जगा सकें और उसे मनोरंजक बना सकें। यदि विद्यार्थियों को समझ नहीं आ रहा है और वे कुछ नहीं कर पा रहे हैं, तो इसका मतलब है कि उनकी इसमें सम्मिलित होने की रुचि नहीं है। जब भी आप गतिविधियां करें, इस विचार करने वाले अभ्यास का उपयोग करें। जैसे श्रीमती चक्रवर्ती ने कुछ छोटी–छोटी चीजें की, जिनसे काफी फर्क पड़ा ।

विचार के लिए रुकें

ऐसे चिंतन को गति देने वाले अच्छे प्रश्न निम्नलिखित हैं:

  • आपकी कक्षा में इसका प्रदर्शन कैसा रहा?
  • विद्यार्थियों से किस प्रकार की प्रतिक्रिया अप्रत्याशित थी? क्यों?
  • अपने विद्यार्थियों की समझ का पता लगाने के लिए आपने क्या सवाल किए?
  • क्या आपने कार्य में किसी भी तरीके का संशोधन किया? अगर हाँ, तो इसके पीछे आपका क्या तर्क था?

1 शब्द समस्याओं के साथ होने वाली परेशानियां

3 शब्दों से बीजगणित और बीजगणित से शब्दों तक